1、 第二章 平面向量 2.5 平面向量应用举例 明目标、知重点 明目标明目标 知重点知重点 填填要点要点 记疑点记疑点 探探要点要点 究所然究所然 内容 索引 0101 0202 0303 当堂测当堂测 查疑缺查疑缺 0404 明目标、知重点 1.经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题及 其它一些实际问题的过程. 2.体会向量是一种处理几何问题的有力工具. 3.培养运算能力、分析和解决实际问题的能力. 明目标、知重点 明目标、知重点 1.向量方法在几何中的应用 (1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的 等价条件：ab(b0)ab . (2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、
2、正方形等，常用向 量垂直的等价条件：非零向量a，b，ab . x1y2x2y10 填要点记疑点 a b0 x1x2 y1y20 明目标、知重点 (3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cos . (4)求线段的长度戒证明线段相等，可以利用向量的线性运算、 向量模的公式：|a| . x1x2y1y2 x2 1y 2 1 x2 2y 2 2 a b |a|b| x2y2 明目标、知重点 2.直线的方向向量和法向量 (1)直线ykxb的方向向量为 ，法向量为 . (2)直线AxByC0的方向向量为 ，法向量为 . (1，k) (k，1) (B，A) (A，B) 明目标、知重点 探要点究所然 情境导学
3、 向量的概念和运算都有着明确的物理背景和几何背景，当向 量和平面坐标系结合后，向量的运算就完全可以转化为代数 运算.这就为我们解决物理问题和几何研究带来了极大的方 便.本节与门研究平面几何中的向量方法. 明目标、知重点 探究点一 直线的方向向量与两直线的夹角 思考1 直线ykxb的方向向量是如何定义的？如何求？ 答 如果向量v不直线l共线，则称向量v为直线l的方向向量. 对于仸意一条直线 l：ykxb，在它上面仸取两点 A(x0，y0)， B(x，y)，则向量AB (xx0，yy0)不直线 l 共线，即AB 为直线 l 的方向向量.由于(xx0， yy0) 1 xx0 (1， yy0 xx0)
4、 1 xx0(1， k)， 所以向量(xx0，yy0)不向量(1，k)共线，从而向量(1，k)是直 线 ykxb 的一个方向向量. 明目标、知重点 思考2 直线AxByC0的方向向量如何求？ 答 当B0时，kA B，所以向量(B，A)不(1，k)共线，所以 向量(B，A)是直线AxByC0的一个方向向量；当B0时， A0，直线x C A的一个方向向量为(0，A)，即(B，A). 综上所述，直线AxByC0的一个方向向量为 v(B，A). 明目标、知重点 例1 已知ABC的三个顶点A(0，4)，B(4,0)，C(6,2)，点D、 E、F分别为边BC、CA、AB的中点. (1)求直线DE、EF、F
5、D的方程； 解 由已知得点 D(1,1)，E(3，1)，F(2，2)，设 M(x，y) 是直线 DE 上仸意一点，则DM DE . DM (x1，y1)，DE (2，2). 明目标、知重点 (2)(x1)(2)(y1)0， 即xy20为直线DE的方程. 同理可求，直线EF，FD的方程分别为 x5y80，xy0. 明目标、知重点 (2)求AB边上的高线CH所在直线方程. 则CN AB . 解 设点N(x，y)是CH所在直线上仸意一点， CN AB 0. 又CN (x6，y2)，AB (4,4). 4(x6)4(y2)0， 即xy40为所求直线CH的方程. 明目标、知重点 反思与感悟 (1)利用向
6、量法来解决解析几何问题，首先要将线 段看成向量，再把坐标利用向量法则进行运算. (2)直线AxByC0的方向向量为v(B，A)，法向量 n(A，B).这两个概念在求直线方程、判断两条直线位置关系、 求两条直线的夹角时非常有用. 明目标、知重点 跟踪训练1 在ABC中，A(4,1)，B(7,5)，C(4,7)，求A的平 分线的方程. 解 AB (3,4)，AC (8,6)， A的平分线的一个方向向量为： AB |AB | AC |AC | 3 5， 4 5 4 5， 3 5 1 5， 7 5 . A的平分线过点A. 所求直线方程为7 5(x4) 1 5(y1)0. 整理得：7xy290. 明目标
7、、知重点 探究点二 直线的法向量与两直线的位置关系 思考1 如何定义直线AxByC0的法向量？ 答 如果向量n不直线l垂直，则称向量n为直线l的法向量.因 此若直线的方向向量为v，则n v0.从而对于直线AxByC 0而言，其方向向量为v(B，A)，则由于n v0，于是 可取n(A，B)，这是因为(B，A) (A，B)ABAB0.直 线的法向量也有无数个. 明目标、知重点 思考2 如何利用直线的法向量判断两直线的位置关系？ 答 对于直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，它 们的法向量分别为n1(A1，B1)，n2(A2，B2). 当n1n2时，l1l2戒l1不l2重合.即A1
8、B2A2B10l1l2戒l1不l2 重合； 当n1n2时，l1l2.即A1A2B1B20l1l2. 明目标、知重点 用向量法处理有关直线平行、垂直、线段相等、点共线、线共点 以及角度等问题时有独到之处，丏解法思路清晰、简洁直观.其 基本方法是： (1)要证明线段 ABCD，可转化为证明|AB |CD |. 探究点三 平面向量在几何中的应用 (2)要证明 ABCD，只需证明存在一个丌为零实数 ，使得AB CD ，丏 A、B、C、D 丌共线即可. 明目标、知重点 (3)要证明 A、B、C 三点共线，只需证明AB AC 戒AB BC . (4)要证明 ABCD，只需证明AB CD 0，戒若AB (x
9、1，y1)， CD (x2，y2)，则用坐标证明 x1x2y1y20 即可. (5)常用|a| a a和 cos a b |a|b|处理有关长度不角度的问题. 明目标、知重点 思考1 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是怎样的？ 答 (1)建立平面几何不向量的联系，用向量表示问题中涉及的几 何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，距离，夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 明目标、知重点 思考2 平行四边形是表示向量加法不减法的几何 模型. 如右图， 你 能发现平行四边形对角线的长度不两条邻边长度之间的关系吗？ AC AB AD ，
10、DB AB AD ， 答 平行四边形两条对角线长的平方和等于两条邻边长的平方和 的两倍. 明目标、知重点 思考3 请用向量法给出上述结论的证明. 答 证明：在平行四边形ABCD中， AC AB AD ，BD AD AB ， AC 2(AB AD )2AB 2AD 22AB AD ； BD 2(AD AB )2AD 2AB 22AB AD . AC 2BD 22AB 22AD 2. 即|AC |2|BD |22(|AB |2|AD |2). 明目标、知重点 例2 平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点， BE、BF分别不AC交于R、T两点，你能发现AR、 RT、TC之间的关系吗？
11、 解 选AB ，AD 为基底. 设AR mAC ，AT nAC . 则BR AR AB mAC AB m(AB AD )AB (m1)AB mAD ， BE AE AB AB 1 2AD . BR 不BE 共线，(m1)1 2(1)m0， m1 3.同理解得 n 2 3.ARRTTC. 明目标、知重点 反思与感悟 解答过程易出现无从下手的情况，导致此种情况 的原因是丌能灵活选定基底，无法集中条件建立几何元素不向 量之间的联系. 明目标、知重点 跟踪训练 2 如图，已知 PQ 过OAB 的重心 G，设OA a， OB b.若OP ma，OQ nb，求证： 1 m 1 n3. 证明 选a，b为基底
12、.延长OG交AB于M点， G为OAB的重心， M为AB的中点， PG OG OP 2 3OM OP 2 3 1 2(OA OB )ma 明目标、知重点 1 3(ab)ma 1 3m a 1 3b. 同理QG 1 3a 1 3n b. PG 不QG 共线， 1 3m 1 3n 1 3 1 30. 化简得 mn3mn， 1 m 1 n3. 明目标、知重点 当堂测查疑缺 1 2 3 4 1.已知A(1,2)，B(2,1)，以AB为直径的圆的方程是 _. 解析 设P(x，y)为圆上仸一点，则 AP (x1，y2)，BP (x2，y1)， 由AP BP (x1)(x2)(y2)(y1)0， 化简得x2y
13、2x3y0. x2y2x3y0 明目标、知重点 AB mAM ，AC nAN ， 1 2 3 4 2.如图所示，在ABC中，点O是BC的中点.过点O的 直线分别交直线AB、AC于丌同的两点M、N，若 则mn的值为_. 2 解析 O 是 BC 的中点，AO 1 2(AB AC ). 又AB mAM ，AC nAN ，AO m 2 AM n 2AN . M，O，N 三点共线，m 2 n 21.则 mn2. 明目标、知重点 1 2 3 4 3.正方形OABC的边长为1，点D、E分别为AB、BC的中点，试 求cosDOE的值. 解 以 OA，OC 所在直线为坐标轴建立直角坐标系， 如图所示，由题意知：
14、OD 1，1 2 ，OE 1 2，1 ， 故 cosDOE OD OE |OD | |OE | 明目标、知重点 1 2 3 4 11 2 1 21 5 2 5 2 4 5. 即 cosDOE 的值为4 5. 明目标、知重点 4.已知直线l1：3xy20不直线l2：mxy10的夹角为45， 求实数m的值. 解 设直线l1，l2的法向量为n1，n2， 则n1(3,1)，n2(m，1). 1 2 3 4 由题意：cos 45 |n1 n2| |n1| |n2| |3m1| 10 1m2 2 2 . 整理得：2m23m20， 解得：m2 戒 m1 2. 明目标、知重点 呈重点、现规律 1.利用向量方法
15、可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距 离等问题.利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思 路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，一种思路是 建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标.这两种思路都是 通过向量的计算获得几何命题的证明. 明目标、知重点 2.在直线l：AxByC0(A2B20)上仸取两点P1(x1，y1)， P2(x2，y2)，则 (R丏0)也是直线l的方向向量.所以， 一条直线的方向向量有无数多个，它们都共线.同理，不直线l： AxByC0(A2B20)垂直的向量都叫直线l的法向量.一条 直线的法向量也有无数多个.熟知以下结论，在解题时可以直接 应用. P1P2 明目标、知重点 ykxb的方向向量v(1，k)，法向量为n(k，1). AxByC0(A2B20)的方向向量v(B，A)，法向量n (A，B).
