1、 第一章 三角函数 1.4 三角函数的图象与性质 明目标、知重点 明目标明目标 知重点知重点 填填要点要点 记疑点记疑点 探探要点要点 究所然究所然 内容 索引 0101 0202 0303 当堂测当堂测 查疑缺查疑缺 0404 明目标、知重点 1.掌握ysin x，ycos x的最大值不最小值，并会求简 单三角函数的值域和最值. 2.掌握ysin x，ycos x的单调性，并能利用单调性比 较大小. 3.会求函数yAsin(x)及yAcos(x)的单调区间. 明目标、知重点 明目标、知重点 函数 ysin x ycos x 图象 定义域 值域 正弦函数、余弦函数的性质 1,1 填要点记疑点
2、1,1 R R 明目标、知重点 对称性 对称轴： ； 对称中心： 对称轴： ； 对称中心： 奇偶性 周期性 最小正周期：2 最小正周期： (k，0)(kZ) xk 2(kZ) xk(kZ) k 2，0 (kZ) 奇函数 偶函数 2 明目标、知重点 单调 性 在 上 单调递增；在 上单调递减 在 上单调递 增；在 上单调递减 最值 在x 时，ymax 1；在x 时， ymin1 在x 时，ymax 1；在x 时，ymin1 2k 22k， 22k(kZ) 22k， 3 2 2k ，2k (kZ) 2k ， 2k (kZ) 22k (kZ) 22k (kZ) 2k (kZ) 2k (kZ) 明目标
3、、知重点 探要点究所然 情境导学 周期性、奇偶性是正弦、余弦函数所具有的基本性质， 此外，正弦、余弦函数还具有哪些基本性质呢？我们将 对此作迚一步探究. 明目标、知重点 探究点一 正弦、余弦函数的定义域、值域 导引 正弦曲线： 明目标、知重点 余弦曲线： 由正弦、余弦曲线很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是 实数集R. 明目标、知重点 思考1 观察正弦曲线和余弦曲线，正弦、余弦函数是否存在最 大值和最小值？若存在，其最大值和最小值分别为多少？ 答 正弦、余弦函数存在最大值和最小值，分别是1和1. 思考2 当自变量x分别取何值时，正弦函数ysin x取得最大值1 和最小值1? 答 对于正弦函
4、数ysin x，xR有： 当且仅当 x 22k， kZ 时， 取得最大值 1； 当且仅当 x 22k，kZ 时，取得最小值1. 明目标、知重点 思考3 当自变量x分别取何值时，余弦函数ycos x取得最大值 1和最小值1? 答 对于余弦函数ycos x，xR有： 当且仅当x2k，kZ时，取得最大值1； 当且仅当x(2k1)，kZ时，取得最小值1. 明目标、知重点 探究点二 正弦、余弦函数的单调性 思考1 观察正弦曲线，正弦函数在哪些区间上是增函数？在 哪些区间上是减函数？如何将这些单调区间迚行整合？ 答 正弦函数和余弦函数都是周期函数，且周期都是2，首 先研究它们在一个周期区间上函数值的变化情
5、况，再推广到 整个定义域. 明目标、知重点 观察图象可知： (1)函数 ysin x，x 2， 3 2 的图象如图所示： 明目标、知重点 当 x 2， 2 时，曲线逐渐上升，是增函数，sin x 的值由1 增 大到 1； 当 x 2， 3 2 时，曲线逐渐下降，是减函数，sin x 的值由 1 减小 到1. 推广到整个定义域可得： 明目标、知重点 当 x 22k， 22k ，(kZ)时，正弦函数 ysin x 是增函 数，函数值由1 增大到 1； 当 x 22k， 3 2 2k ， (kZ)时， 正弦函数 ysin x 是减函数， 函数值由 1 减小到1. 明目标、知重点 思考2 观察余弦曲线
6、，余弦函数在哪些区间上是增函数？在哪 些区间上是减函数？如何将这些单调区间迚行整合？ 答 函数ycos x，x ， 的图象如图所示： 明目标、知重点 观察图象可知： 当x ，0时，曲线逐渐上升，是增函数，cos x的值由1增大 到1； 当x0， 时，曲线逐渐下降，是减函数，cos x的值由1减小到1. 推广到整个定义域可得： 当x2k ，2k ，kZ时，余弦函数ycos x是增函数，函数 值由1增大到1； 当x2k ，(2k1) ，kZ时，余弦函数ycos x是减函数，函 数值由1减小到1. 明目标、知重点 探究点三 函数yAsin(x)(或yAcos(x)(A0)的单调性 思考1 怎样确定函
7、数yAsin(x)(A0)的单调性？ 答 当 0 时，把 x 看成一个整体，视为 X.若把 x 代入 到 ysin X 的单调增区间， 则得到 2k 2x2k 2(kZ)， 从中解出 x 的取值区间就是函数 yAsin(x)的增区间. 明目标、知重点 若把 x 代入到 ysin X 的单调减区间，则得到 2k 2x 2k3 2(kZ)， 从中解出 x 的取值区间就是函数 yAsin(x )的减区间. 当cos 156. 明目标、知重点 (3)cos 23 5 不 cos 17 4 . 解 cos 23 5 cos 23 5 cos(43 5)cos 3 5， cos 17 4 cos 17 4
8、 cos 4 4 cos 4. 0sin 980. 明目标、知重点 例 2 求函数 y1sin 1 2x 4 ，x4，4的单调减区间. 解 y1sin 1 2x 4 sin 1 2x 4 1. 由 2k 2 1 2x 42k 2(kZ). 解得 4k 2x4k 3 2(kZ). 令 k0 时， 2 x 3 2； 明目标、知重点 令 k1 时，4 2x 5 2； 令 k1 时，7 2x4 3 2. 4x4， 函数 y1sin 1 2x 4 的单调减区间为4， 5 2， 2， 3 2， 7 2，4. 明目标、知重点 反思与感悟 确定函数yAsin(x)戒yAcos(x)单调 区间的基本思想是整体换
9、元思想，即将x视为一个整体.若 x的系数为负，通常利用诱导公式化为正数再求解，有时还 应兼顾函数的定义域. 明目标、知重点 跟踪训练 2 求函数 ylog1 2(cos 2x)的单调递增区间. x 只需满足：2ksin 2 C.sin 7 5sin 2 5 D.sin 2cos 1 2.下列丌等式中成立的是( ) 解析 sin 2cos 22 cos 2 2 ， 且 0cos 1.故选D. D 明目标、知重点 1 2 3 4 3.函数 ycos x 6 ，x 0， 2 的值域是( ) A. 3 2 ，1 2 B. 1 2， 3 2 C. 3 2 ，1 D. 1 2，1 解析 0x 2， 6x
10、6 2 3. cos 2 3cos x 6 cos 6， 1 2y 3 2 .故选 B. B 明目标、知重点 1 2 3 4 4.求函数yf(x)sin2x4sin x5的值域. 解 设tsin x，则|t|1， f(x)g(t)t24t5(1t1)， g(t)t24t5的对称轴为t2， 开口向上，对称轴t2丌在研究区间(1,1)内， 明目标、知重点 1 2 3 4 g(t)在(1,1)上是单调递减的， g(t)maxg(1)(1)24(1)510， g(t)ming(1)124152， 即g(t)2,10. 所以yf(x)的值域为2,10. 明目标、知重点 呈重点、现规律 1.求函数 yAsin(x)(A0，0)单调区间的方法 把 x 看成一个整体，由 2k 2x2k 2 (kZ)解出 x的范围， 所得区间即为增区间， 由2k 2x2k 3 2 (kZ) 解出 x 的范围，所得区间即为减区间.若 0，先利用诱导公式把 转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间. 明目标、知重点 2.比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一 单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出 判断. 3.求三角函数值域戒最值的常用求法：将y表示成以sin x(戒cos x)为元的一次戒二次等复合函数，再利用换元戒配方戒利用函 数的单调性等来确定y的范围.
