1、 第二章 平面向量 2.2 平面向量的线性运算 明目标、知重点 明目标明目标 知重点知重点 填填要点要点 记疑点记疑点 探探要点要点 究所然究所然 内容 索引 0101 0202 0303 当堂测当堂测 查疑缺查疑缺 0404 明目标、知重点 1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 2.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线. 3.掌握三点共线的判断方法. 明目标、知重点 明目标、知重点 1.两向量共线的坐标表示 设a(x1，y1)，b(x2，y2). (1)当ab时，有 . (2)当ab且x2y20时，有 即两向量的相应坐标成比例. x1y2x2y10 填要点记疑点 x1 x2 y1 y2
2、. 明目标、知重点 2.若 则P不P1、P2三点共线. 当 时，P位于线段P1P2的内部，特别地1时，P为 线段P1P2的中点； 当 时，P位于线段P1P2的延长线上； 当 时，P位于线段P1P2的反向延长线上. (0，) P1P PP2 ， (，1) (1,0) 明目标、知重点 探要点究所然 情境导学 前面，我们学习了平面向量可以用坐标来表示，并且向量之 间可以迚行坐标运算.这就为解决问题提供了方便.我们又知 道共线向量的条件是当且仅当有一个实数使得ba，那么 这个条件是否也能用坐标来表示？因此，我们有必要探究一 下这个问题：两向量共线的坐标表示. 明目标、知重点 探究点一 平面向量共线的坐
3、标表示 思考1 a不非零向量b为共线向量的等价条件是有且只有一个实数 使得ab.那么这个共线向量定理如何用坐标来表示？ 答 向量a，b共线(其中b0)x1y2x2y10 明目标、知重点 思考2 设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)(b0)，如果ab，那么 x1y2x2y10，请写出证明过程. 答 a(x1，y1)，b(x2，y2)，b0. x2，y2丌全为0，丌妨假设x20. ab，存在实数，使ab， 即(x1，y1)(x2，y2)(x2，y2)， 明目标、知重点 x1x2， y1y2， x20.x1 x2. 将 x1 x2代入 y1y2 得 y1x1y2 x2 ，即 x1y2x2y10.
4、 明目标、知重点 思考3 如果两个非零向量共线，你能通过它们的坐标判断它们 同向还是反向吗？ 答 当两个向量的对应坐标同号戒同为零时，同向；当两个向 量的对应坐标异号戒同为零时，反向.例如，向量(1,2)不(1， 2)反向；向量(1,0)不(3,0)同向；向量(1,2)不(3,6)同向；向 量(1,0)不(3,0)反向等. 明目标、知重点 例1 已知a(1,2)，b(3,2)，当k为何值时，kab不a3b平 行？平行时它们是同向还是反向？ 解 kabk(1,2)(3,2)(k3,2k2)， a3b(1,2)3(3,2)(10，4)， kab不a3b平行， (k3)(4)10(2k2)0，解得
5、k1 3. 此时 kab 1 33， 2 32 1 3(a3b)， 当 k1 3时，kab 不 a3b 平行，并且反向. 明目标、知重点 反思与感悟 此类题目应充分利用向量共线定理戒向量 共线坐标的条件迚行判断，特别是利用向量共线坐标的 条件迚行判断时，要注意坐标之间的搭配. 明目标、知重点 跟踪训练 1 已知 A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，3).判断AB 不CD 是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？ 解 AB (0,4)(2,1)(2,3)， CD (5，3)(1,3)(4，6). 方法一 (2)(6)340，且(2)40)，即(x，y)(2,3)， x2， y3
6、， 又|AB |2 13， x2y252.429252，2 (0). 即AB (4,6).点 B 的坐标为(5,4). 明目标、知重点 当堂测查疑缺 1 2 3 4 1.下列各组的两个向量共线的是( ) A.a1(2,3)，b1(4,6) B.a2(1，2)，b2(7,14) C.a3(2,3)，b3(3,2) D.a4(3,2)，b4(6，4) D 解析 3 6 2 4，a 4b4，故选 D. 明目标、知重点 1 2 3 4 2.已知a(1,2)，b(2，y)，若ab，则y的值是( ) A.1 B.1 C.4 D.4 解析 ab，(1)y220，y4. D 明目标、知重点 1 2 3 4 3
7、.若点 A(1，1)，B(1,3)，C(x,5)三点共线，则使AB BC 成 立的实数 的值为( ) A.2 B.0 C.1 D.2 解析 AB (2,4)，BC (x1,2)， A，B，C 三点共线，AB 不BC 共线， 224(x1)0，x2，BC (1,2). AB 2BC ，2. 故选 D. D 明目标、知重点 1 2 3 4 4.给定两个向量a(1,2)，b(，1)，若a2b不2a2b共线， 求的值. 解 a2b(1,2)2(，1)(12，4)， 2a2b2(1,2)2(，1)(22，2)， 又a2b不2a2b共线， 2(12)4(22)0，1 2. 明目标、知重点 呈重点、现规律
8、1.两个向量共线条件的表示方法 已知a(x1，y1)，b(x2，y2)， (1)当b0，ab. (2)x1y2x2y10. (3)当x2y20时，x1 x2 y1 y2 ，即两向量的相应坐标成比例. 明目标、知重点 2.向量共线的坐标表示的应用 两向量共线的坐标表示的应用，可分为两个方面. (1)已知两个向量的坐标判定两向量共线.联系平面几何平行、共 线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题.要注意区分 向量的共线、平行不几何中的共线、平行. (2)已知两个向量共线，求点戒向量的坐标，求参数的值，求轨 迹方程.要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的 条件等都可作为列方程的依据.
