1、32.2 直线的两点式方程直线的两点式方程 32.3 直线的一般式方程直线的一般式方程 学案学案 新知自解新知自解 1会利用两点式求直线方程会利用两点式求直线方程 2掌握直线方程的一般式掌握直线方程的一般式 3能根据所给条件求直线方程，并能在几种形式间相互转化能根据所给条件求直线方程，并能在几种形式间相互转化 直线的两点式、截距式方程直线的两点式、截距式方程 两点式两点式 截距式截距式 条件条件 P1(x1，y1)和和 P2(x2，y2) 在在 x 轴上的截距是轴上的截距是 a，在，在 y 轴上轴上 的截距是的截距是 b 图形图形 方程方程 (x2x1，y2y1) _ 适用范围适用范围 不表示
2、不表示_坐标轴的直线坐标轴的直线 不表示不表示_坐标轴的直线坐标轴的直线 及过及过_的直线的直线 yy1 y2y1 xx1 x2x1 x a y b 1 平行于平行于 平行于平行于 原点原点 线段的中点坐标公式线段的中点坐标公式 若点若点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，设，设 P(x，y)是线段是线段 P1P2的中点，则的中点，则 _， _. x1+ x2 2 y 1+ y2 2 直线的一般式方程直线的一般式方程 1直线与二元一次方程的关系直线与二元一次方程的关系 在平面直角坐标系中的直线与二元一次方程的对应关系如下：在平面直角坐标系中的直线与二元一次方程的对应关系如下： 2直线的一
3、般式方程直线的一般式方程 式子：关于式子：关于 x，y 的二元一次方程的二元一次方程_； 条件：条件：A，B_； 简称：一般式简称：一般式 AxByC0 不同时为零不同时为零 3直线的一般式方程与其他四种形式的直线的一般式方程与其他四种形式的转化转化 化解疑难化解疑难 认识直线的一般式方程认识直线的一般式方程 (1)方程是关于方程是关于 x，y 的二元一次方程；的二元一次方程； (2)方程中等号的左侧自左向右一般按方程中等号的左侧自左向右一般按 x，y，常数的先后顺序排列；，常数的先后顺序排列； (3)x 的系数一般不为分数和负数；的系数一般不为分数和负数； (4)平面直角坐标系内的任何一条直
4、线都有一个二元一次方程与它相对应，平面直角坐标系内的任何一条直线都有一个二元一次方程与它相对应， 即直线的一般式方程可以表示任何一条直线即直线的一般式方程可以表示任何一条直线. 1下面四个说法中正确的是下面四个说法中正确的是( ) A经过定点经过定点 P0(x0，y0)的直线都可以用方程的直线都可以用方程 yy0k(xx0)表示表示 B经过任意两个不同的点经过任意两个不同的点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程的直线都可以用方程(y y1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示表示 C不经过原点的直线都可以用方程不经过原点的直线都可以用方程x a y b 1 表示表示 D
5、经过定点经过定点 A(0，b)的直线都可以用方程的直线都可以用方程 ykxb 表示表示 解析：解析： A 错，直线斜率不存在或斜率为错，直线斜率不存在或斜率为 0 时，不能用点斜式表示直线方时，不能用点斜式表示直线方 程；程；C 错，错，a，b 中有一个或两个都为中有一个或两个都为 0 时，不能用截距式表示直线方程；时，不能用截距式表示直线方程；D 错，错， 斜率不存在时，不能用斜截式表示直线方程斜率不存在时，不能用斜截式表示直线方程 答案：答案： B 2过过 P1(2,0)，P2(0,3)两点的直线的方程是两点的直线的方程是( ) A.x 3 y 2 1 B.x 2 y 3 0 C.x 2
6、y 3 1 D.x 2 y 3 1 解析：解析： 利用截距式方程利用截距式方程 答案：答案： C 3方程方程 3x2y4 的截距式方程是的截距式方程是_ 解析：解析： 方程可化为方程可化为x 4 3 y 2 1. 答案：答案： x 4 3 y 2 1 教案教案 课堂探究课堂探究 利用两点式求直线方程利用两点式求直线方程自主练透型自主练透型 三角形的三个顶点是三角形的三个顶点是 A(1,0)，B(3，1)，C(1,3)，求三角形三边，求三角形三边 所在直线的方程所在直线的方程 解析：解析： 由两点式，直线由两点式，直线 AB 所在直线方程为：所在直线方程为：y 1 0 1 x3 13，即 ，即
7、x 4y10. 同理，直线同理，直线 BC 所在直线方程为：所在直线方程为： y3 13 x 1 31，即 ，即 2xy50. 直线直线 AC 所在直线方程为：所在直线方程为： y3 03 x1 11，即 ，即 3x2y30. 归纳升华归纳升华 求直线的求直线的两点式方程的策略以及注意点两点式方程的策略以及注意点 1当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两 点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴，若满足，则考虑用两点式点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴，若满足，则考虑用两点式 求方程求方程 2由于减
8、法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的 顺序错位而导致错误 在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系顺序错位而导致错误 在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系. 1四边形的顶点为四边形的顶点为 A(1,0)，B(0，2)，C(2,0)，D(1,2)，求这个四边形，求这个四边形 四条边所在的直线方程四条边所在的直线方程 解析：解析： 由截距式，得由截距式，得 AB 边所在直线为：边所在直线为： x 1 y 2 1，即：，即：2xy20， BC 边所在直线为：边所在直线为：x 2 y 2 1， 即即 xy
9、20， 由两点式，得由两点式，得 CD 边所在直线为：边所在直线为： y0 20 x 2 12，即： ，即：2xy40， AD 边所在直线为：边所在直线为：y 0 20 x 1 11， ， 即：即：xy10. 直线的截距式方程及应用直线的截距式方程及应用多维探究型多维探究型 直线直线 l 过点过点 P 4 3， ，2 ，且与，且与 x 轴、轴、y 轴的正半轴分别交于轴的正半轴分别交于 A、B 两点，两点， O 为坐标原点为坐标原点 (1)当当AOB 的周长为的周长为 12 时，求直线时，求直线 l 的方程的方程 (2)当当AOB 的面积为的面积为 6 时，求直线时，求直线 l 的方程的方程 解
10、析：解析： (1)设直线设直线 l 的方程为的方程为 x a y b 1(a0，b0)， 由题意知，由题意知，ab a2b212. 又因为直线又因为直线 l 过点过点 P 4 3， ，2 ， 所以所以 4 3a 2 b 1，即，即 5a232a480， 解得解得 a14， b13， a212 5 ， b29 2， ， 所以直线所以直线 l 的方程为的方程为 3x4y120 或或 15x8y360. (2)设直线设直线 l 的方程为的方程为x a y b 1(a0，b0)， 由题意知，由题意知，ab12， 4 3a 2 b 1， 消去消去 b，得，得 a26a80， 解得解得 a14， b13，
11、 a22， b26， 所以直线所以直线 l 的方程为的方程为 3x4y120 或或 3xy60. 归纳升华归纳升华 用截距式方程解决问题的优点及注意事项用截距式方程解决问题的优点及注意事项 1由截距式方程可直接确定直线与由截距式方程可直接确定直线与 x 轴和轴和 y 轴的交点的坐标，因此用截轴的交点的坐标，因此用截 距式画直线比较方便距式画直线比较方便 2在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时， 经常使用截距式经常使用截距式 3但当直线与坐标轴平行时，有一但当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点
12、时，个截距不存在；当直线通过原点时， 两个截距均为零在这两种情况下都不能用截距式，故解决问题过程中要注意两个截距均为零在这两种情况下都不能用截距式，故解决问题过程中要注意 分类讨论分类讨论. 2 求经过点 求经过点 A(2,2)， 并且和两坐标轴围成的三角形面积是， 并且和两坐标轴围成的三角形面积是 1 的直线方程的直线方程 解析：解析： 设直线在设直线在 x 轴、轴、y 轴上的截距分别是轴上的截距分别是 a、b， 则有则有 S1 2|a b| 1. ab 2.设直线的方程是设直线的方程是x a y b 1， 直线过点直线过点(2,2)，代入直线方程得，代入直线方程得 2 a 2 b 1， 即
13、即 b 2a a2. ab 2a2 a2 2.当当 2a2 a2 2 时，化简得时，化简得 a2a20，方程无解；，方程无解； 当当 2a2 a2 2 时，化简得时，化简得 a2a20， 解得解得 a1， b2， 或或 a2， b1. 直线方程是直线方程是 x 1 y 2 1 或或x 2 y 1 1， 即即 2xy20 或或 x2y20. 直线方程的一般式应用直线方程的一般式应用多维探究型多维探究型 (1)已知直线已知直线 l1： 2x(m1)y40 与直线与直线 l2： mx3y20 平行，平行， 求求 m 的值；的值； (2)当当 a 为何值时，直线为何值时，直线 l1：(a2)x(1a)
14、y10 与直线与直线 l2：(a1)x (2a3)y20 互相垂直？互相垂直？ 解析：解析： (1)法一：法一：l1：2x(m1)y40. l2：mx3y20. 当当 m0 时，显然时，显然 l1与与 l2不平行不平行 当当 m0 时，时，l1l2， 需需 2 m m 1 3 4 2. 解得解得 m2 或或 m3.m 的值为的值为 2 或或3. 法二：法二：令令 23m(m1)，解得，解得 m3 或或 m2. 当当 m3 时，时，l1：xy20，l2：3x3y20， 显然显然 l1与与 l2不重合，不重合，l1l2. 同理当同理当 m2 时，时，l1：2x3y40，l2：2x3y20， l1与
15、与 l2不重合，不重合，l1l2， m 的值为的值为 2 或或3. (2) 法一：法一：由题意，直线由题意，直线 l1l2， 若若 1a0，即，即 a1 时，时， 直线直线 l1：3x10 与直线与直线 l2：5y20，显然垂直，显然垂直 若若 2a30，即，即 a3 2时， 时， 直线直线 l1：x5y20 与直线与直线 l2：5x40 不垂直不垂直 若若 1a0， 且， 且 2a30， 则直线， 则直线 l1， l2的斜率的斜率 k1， k2都存在，都存在， k1a 2 1a， ， k2 a1 2a3，当 ，当 l1l2时，时，k1 k21， 即即 a 2 1a a1 2a3 1，所以，所
16、以 a1. 综上可知，当综上可知，当 a1 或或 a1 时，直线时，直线 l1l2. 法二：法二：由直线由直线 l1l2， 所以所以(a2)(a1)(1a)(2a3)0， 解得解得 a 1. 将将 a 1 代入方程，均满足题意代入方程，均满足题意 故当故当 a1 或或 a1 时，直线时，直线 l1l2. 归纳升华归纳升华 1直线直线 l1：A1xB1yC10，直线，直线 l2：A2xB2yC20， (1)若若 l1l2A1B2A2B10 且且 B1C2B2C10(或或 A1C2A2C10) (2)若若 l1l2A1A2B1B20. 2 与直线 与直线 AxByC0 平行的直线方程可设为平行的直
17、线方程可设为 AxBym0， (mC)， 与直线与直线 AxByC0 垂直的直线方程可设为垂直的直线方程可设为 BxAym0. 3(1)求与直线求与直线 3x4y10 平行且过点平行且过点(1,2)的直线的直线 l 的方程；的方程； (2)求经过点求经过点 A(2,1)且与直线且与直线 2xy100 垂直的直线垂直的直线 l 的方程的方程 解析：解析： (1) 法一：法一：设直线设直线 l 的斜率为的斜率为 k， l 与直线与直线 3x4y10 平行，平行，k3 4. 又又l 经过点经过点(1,2)，可得所求直线方程为，可得所求直线方程为 y23 4(x 1)，即，即 3x4y11 0. 法二
18、：法二：设与直线设与直线 3x4y10 平行的直线平行的直线 l 的方程为的方程为 3x4ym0. l 经过点经过点(1,2)， 3142m0，解得，解得 m11. 所求直线方程为所求直线方程为 3x4y110. (2) 法一：法一：设直线设直线 l 的斜率为的斜率为 k. 直线直线 l 与直线与直线 2xy100 垂直，垂直， k (2)1， k1 2. 又又l 经过点经过点 A(2,1)， 所求直线所求直线 l 的方程为的方程为 y11 2(x 2)，即，即 x2y0. 法二：法二：设与直线设与直线 2xy100 垂直的直线方程为垂直的直线方程为 x2ym0. 直线直线 l 经过点经过点 A(2,1)， 221m0，m0. 所求直线所求直线 l 的方程为的方程为 x2y0. 谢谢观看！谢谢观看！
