1、专题突破(四)函数图象与性质探究题类型一与函数相关的类型(2020,24/2016,26/2015,26)此类题目通常给出或通过已知条件能够确定出一个函数解析式,需要我们用描点法正确画出函数图象,通过函数图象进一步研究函数的性质.此类新定义的函数通常和一次函数、二次函数、反比例函数有一定的联系.因此,熟练掌握这三类函数的定义和性质是解题的基础,能将研究这三类函数的思路迁移到新函数上,进而利用图象得到新函数的性质是解题的关键.x-4-2-1011.21.25y11.52367.58x2.752.834568y87.563m1.51图Z4-1解:(2)2图Z4-1解:(3)如图所示.图Z4-1直线
2、x=2图Z4-1解:(4)6x3图Z4-2图Z4-2解:(3)如图所示.图Z4-2当x3时,y随x的增大而减小(答案不唯一).图Z4-2y1y3y2任意实数图Z4-3图Z4-3解:(4)通过图象直观得出函数的图象与x轴正半轴交点的横坐标.故答案为:0.3或2.7.解:(1)x0图Z4-4解:(3)根据描出的点可画出函数图象,如图:解:(4)1.85或0.60或-0.45图Z4-5解:(1)减小减小减小图Z4-5解:(2)根据表格描点,连成平滑的曲线,如图:图Z4-5图Z4-6ax2+b|x|+c(a,b,c是常数,a0)图Z4-6解:(2)图象如图所示.图Z4-6图Z4-6解:(4)-1,0解
3、析把x=3代入方程-x2+2|x|+1=-x+k,得-9+2|3|+1=-3+k,解得k=1,画出函数y=-x2+2|x|+1与y=-x+1的图象如图,观察图象可知该方程其他的实数根为-1,0.故答案为-1,0.类型二与几何相关的类型(2019,24/2018,24/2017,26)此类题目通常是给定几何背景下,由动点引发的两条或三条线段之间长度的变化关系.在研究几何图形中的各元素之间关系的过程中,首先根据动点的不同位置,经历画图、测量、列表的过程,分析量与量之间的关系;再经历描点和画函数图象的过程,探究变量之间的关系;最后利用函数图象确定满足题意的点,对坐标进行估值计算.图Z4-7位置1 位
4、置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7AN/cm0.003.534.585.004.584.000.00MN/cm5.003.532.000.002.003.005.00PM/cm1.001.231.572.243.183.745.00图Z4-7位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7AN/cm0.003.534.585.004.584.000.00MN/cm5.003.532.000.002.003.005.00PM/cm1.001.231.572.243.183.745.00图Z4-8PMANMN图Z4-7位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7AN/cm
5、0.003.534.585.004.584.000.00MN/cm5.003.532.000.002.003.005.00PM/cm1.001.231.572.243.183.745.00图Z4-8解:(2)如图所示.图Z4-7图Z4-81.23或4.06【方法点析】第(1)问根据函数的定义,区分自变量与因变量;第(2)问通常利用描点法作出函数图象;第(3)问通常在作图的基础上,依据图象确定特殊点坐标,进行估值计算.图Z4-9位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8位置9PC/cm4.073.102.141.681.260.890.761.262.14PA/cm0.001.002.00
6、2.503.003.544.005.006.00AQ/cm0.000.250.711.131.823.034.003.032.14在PC,PA,AQ的长度这三个量中,确定的长度是自变量,的长度和的长度都是这个自变量的函数;(2)在同一平面直角坐标系xOy中,画出(1)中所确定的函数的图象;(3)结合函数图象,解决问题:当AQ=PC时,PA的长度约为 cm.(结果保留一位小数)图Z4-10PAAQPC图Z4-9图Z4-10解:(2)如图.图Z4-9图Z4-10解:(3)2.8或6.0解析当AQ=PC时,即为两个函数图象的交点,从图上看,交点的横坐标大约为2.8 cm或6.0 cm,故答案为:2.
7、8或6.0(答案不唯一).题型精练图Z4-11位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7AP0.001.002.003.004.005.006.00PQ4.002.310.841.433.074.776.49AQ4.003.082.231.571.401.852.63在AP,PQ,AQ的长度这三个量中,确定的长度是自变量,的长度和的长度都是这个自变量的函数;(2)在同一平面直角坐标系xOy中,画出(1)中所确定的函数的图象;(3)结合函数图象,解决问题:当AQ=PQ时,线段AP的长度约为 cm.图Z4-12图Z4-11位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7AP0.0
8、01.002.003.004.005.006.00PQ4.002.310.841.433.074.776.49AQ4.003.082.231.571.401.852.63APAQPQ1.2020东城区一模如图Z4-11,P是线段AB上的一点,AB=6 cm,O是AB外一定点.连接OP,将OP绕点O顺时针旋转120得OQ,连接PQ,AQ.小明根据学习函数的经验,对线段AP,PQ,AQ的长度之间的关系进行了探究.下面是小明的探究过程,请补充完整:(2)在同一平面直角坐标系xOy中,画出(1)中所确定的函数的图象;图Z4-12图Z4-11解:(2)依据表格中的数据描点、连线即可得.1.2020东城区
9、一模如图Z4-11,P是线段AB上的一点,AB=6 cm,O是AB外一定点.连接OP,将OP绕点O顺时针旋转120得OQ,连接PQ,AQ.小明根据学习函数的经验,对线段AP,PQ,AQ的长度之间的关系进行了探究.下面是小明的探究过程,请补充完整:(3)结合函数图象,解决问题:当AQ=PQ时,线段AP的长度约为 cm.图Z4-12图Z4-11解:(3)0或3.07解析 当AQ=PQ时,即为两个函数图象的交点,从图上看,交点的横坐标大约为0 cm或3.07 cm,故答案为:0或3.07.图Z4-132.2020房山区一模如图Z4-13,在弧MN和弦MN所组成的图形中,P是弦MN上一动点,过点P作弦
10、MN的垂线,交弧MN于点Q,连接MQ.已知MN=6 cm,设M,P两点间的距离为x cm,P,Q两点间的距离为y1 cm,M,Q两点间的距离为y2 cm.小轩根据学习函数的经验,分别对函数y1,y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.下面是小轩的探究过程,请补充完整:(1)按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量,分别得到了y1,y2与x的几组对应值:上表中m的值为;(保留两位小数)x/cm0123456y1/cm02.242.833.002.832.240y2/cm02.453.464.24m5.4864.90(2)在同一平面直角坐标系xOy(图Z4-14)中,函数y1的图象如图,请你
11、描出补全后的表中y2各组数值所对应的点(x,y2),并画出函数y2的图象;(3)结合函数图象,解决问题:当MPQ有一个角是30时,MP的长度约为 cm.(保留两位小数)图Z4-14图Z4-13图Z4-132.2020房山区一模如图Z4-13,在弧MN和弦MN所组成的图形中,P是弦MN上一动点,过点P作弦MN的垂线,交弧MN于点Q,连接MQ.已知MN=6 cm,设M,P两点间的距离为x cm,P,Q两点间的距离为y1 cm,M,Q两点间的距离为y2 cm.小轩根据学习函数的经验,分别对函数y1,y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.下面是小轩的探究过程,请补充完整:(2)在同一平面直角坐标
12、系xOy(图Z4-14)中,函数y1的图象如图,请你描出补全后的表中y2各组数值所对应的点(x,y2),并画出函数y2的图象;解:(2)如图所示.图Z4-132.2020房山区一模如图Z4-13,在弧MN和弦MN所组成的图形中,P是弦MN上一动点,过点P作弦MN的垂线,交弧MN于点Q,连接MQ.已知MN=6 cm,设M,P两点间的距离为x cm,P,Q两点间的距离为y1 cm,M,Q两点间的距离为y2 cm.小轩根据学习函数的经验,分别对函数y1,y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.下面是小轩的探究过程,请补充完整:(3)结合函数图象,解决问题:当MPQ有一个角是30时,MP的长度约为
13、 cm.(保留两位小数)图Z4-14解:(3)1.50或4.503.2020西城区二模如图Z4-15,在ABC中,AE平分BAC交BC于点E,D是AB边上一动点,连接CD交AE于点P,连接BP.已知AB=6 cm,设B,D两点间的距离为x cm,B,P两点间的距离为y1 cm,A,P两点间的距离为y2 cm.小明根据学习函数的经验,分别对函数y1,y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.下面是小明的探究过程,请补充完整:(1)按照表中自变量x的值进行取点、画图、测量,分别得到了y1,y2与x的几组对应值,请补全表格;图Z4-15x/cm0123456y1/cm2.492.642.883.2
14、53.804.656.00y2/cm4.594.243.803.252.510.00(2)在同一平面直角坐标系xOy中,描出补全后的表中各组数值所对应的点(x,y1),(x,y2),并画出函数y1,y2的图象;(3)结合函数图象,回答下列问题:当AP=2BD时,AP的长度约为cm;当BP平分ABC时,BD的长度为cm.图Z4-15x/cm0123456y1/cm2.492.642.883.253.804.656.00y2/cm4.594.243.803.252.510.00图Z4-16解:(1)1.35(注:1.35是估计的数值,答案不唯一)3.2020西城区二模如图Z4-15,在ABC中,A
15、E平分BAC交BC于点E,D是AB边上一动点,连接CD交AE于点P,连接BP.已知AB=6 cm,设B,D两点间的距离为x cm,B,P两点间的距离为y1 cm,A,P两点间的距离为y2 cm.小明根据学习函数的经验,分别对函数y1,y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.下面是小明的探究过程,请补充完整:(2)在同一平面直角坐标系xOy中,描出补全后的表中各组数值所对应的点(x,y1),(x,y2),并画出函数y1,y2的图象;图Z4-15图Z4-16解:(2)如图.3.2020西城区二模如图Z4-15,在ABC中,AE平分BAC交BC于点E,D是AB边上一动点,连接CD交AE于点P,连
16、接BP.已知AB=6 cm,设B,D两点间的距离为x cm,B,P两点间的距离为y1 cm,A,P两点间的距离为y2 cm.小明根据学习函数的经验,分别对函数y1,y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.下面是小明的探究过程,请补充完整:(3)结合函数图象,回答下列问题:当AP=2BD时,AP的长度约为cm;图Z4-15图Z4-16解：(3)3.9解析当AP=2BD时,即y2=2x,在图中画出直线y=2x,该直线与y2的图象的交点即为所求,即图中空心点所示,空心点的纵坐标为3.9,故答案为3.9.3.2020西城区二模如图Z4-15,在ABC中,AE平分BAC交BC于点E,D是AB边上一动点,连接CD交AE于点P,连接BP.已知AB=6 cm,设B,D两点间的距离为x cm,B,P两点间的距离为y1 cm,A,P两点间的距离为y2 cm.小明根据学习函数的经验,分别对函数y1,y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.下面是小明的探究过程,请补充完整:(3)结合函数图象,回答下列问题:当BP平分ABC时,BD的长度为cm.图Z4-15图Z4-16解：(3)3
