1、中点问题八中点问题八个类型个类型：构造构造中位线；中位线；直角三角形斜边中线；直角三角形斜边中线；等腰三角形等腰三角形“三线合一三线合一”；垂直平分线性质垂直平分线性质1、多个中点或平行中点、多个中点或平行中点2、直角斜边中点、直角斜边中点3、等腰底边中点、等腰底边中点4、同同一边遇垂直一边遇垂直中点中点被中线分割成的两个小三角形面积相等；被中线分割成的两个小三角形面积相等；垂径定理垂径定理 及圆周角定理及圆周角定理中点坐标公式中点坐标公式6、三角形面积中点三角形面积中点7、圆圆+弦或弧的中点弦或弧的中点8.、平面直角坐标系中，两点中点、平面直角坐标系中，两点中点倍长中线构造全等；倍长中线构造
2、全等；5、中线或与中点有关的线段中线或与中点有关的线段一一出现多个中点或平行中点时出现多个中点或平行中点时，构造中位线，构造中位线在三角形中，如果有中点，可构造三角形的中位线在三角形中，如果有中点，可构造三角形的中位线，利用利用三角形三角形中位线的性质定理：中位线的性质定理：DEBC且且DE BC，ADEABC，解决线段之间的相等或比例关系及平行问，解决线段之间的相等或比例关系及平行问题题.121.如如左左图图，M是是ABC的边的边BC的中点，的中点，AN平分平分BAC，BNAN于点于点N，且，且AB8，MN3，则，则AC的长是的长是()A.12 B.14 C.16 D.18DB2.如如右右图
3、图，在，在RtABC中，中，B90，AB2 ，BC3，点点D，E分别是分别是AB，AC的中点，延长的中点，延长BC至点至点F，使，使CF BC，连接连接DF，EF，则，则EF的长为的长为.14512二二已知直角三角形斜边中点已知直角三角形斜边中点，构造，构造斜边中线斜边中线在直角三角形中，当遇见斜边中点时，经常会作斜边上的中线，在直角三角形中，当遇见斜边中点时，经常会作斜边上的中线，利用利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即得到，即得到CDADBD AB，而且可以得到两个等腰三角形：，而且可以得到两个等腰三角形：ACD和和BCD，可简记为，可简记为“直
4、角中点，等腰必出现直角中点，等腰必出现”.123.如如左左图图，在，在 RtABC中，中，ACB90，CD是是AB边上的边上的中线，且中线，且CD5，则，则ABC的中位线的中位线EF的长是的长是()A.4 B.C.5 D.52125C4.如右图如右图，在，在 RtABC中，中，ACB90，点，点D，E分别是边分别是边AB，AC的中点，延长的中点，延长BC至点至点F，使，使 ，若，若AB10，则则EF的长是（的长是（）A.5 B.4 C.3 D.2CFBC12A三三 等腰三角形等腰三角形中遇到底边上的中点中遇到底边上的中点，利用利用“三线合一三线合一”性质性质 如图，等腰三角形中有底边上的中点时
5、，常作边的中线，如图，等腰三角形中有底边上的中点时，常作边的中线，利用等腰三角形利用等腰三角形底边中线、高线、顶角平分线底边中线、高线、顶角平分线“三线合一三线合一”的的性质得到：性质得到：BADCAD，ADBC，BD=CD,解决解决线段相线段相等及平行问题、角度之间的相等问题等及平行问题、角度之间的相等问题.5.如如左左图图，在，在ABC中，中，D是是AB上一点，上一点，ADAC，AECD，点，点E为垂足，为垂足，F是是BC的中点，若的中点，若BD16，则，则EF的的长为长为.86.如如右右图图，在，在ABC中，中，ABAC5，BC6，M为为BC的中的中点，点，MNAC于点于点N，则，则MN
6、的长为的长为.125四四遇到三角形一边垂直过这边中点时，遇到三角形一边垂直过这边中点时，利用垂直平分线性质利用垂直平分线性质如图，当三角形一边垂线过这边中点时，可以考虑用如图，当三角形一边垂线过这边中点时，可以考虑用垂直平分线性质垂直平分线性质得到：得到：AE=BE,证明线段间的数量关系。证明线段间的数量关系。中点中点遇垂直遇垂直，必必等腰等腰7.如图，如图，在在RtABC中中，ACB=90,BC=6,AB的垂直平分线的垂直平分线 交交AB于于D，交，交AC于于E，若，若CD=5,则则 AE=_4258.如图，如图，在在ABC中中,AD是高，是高，CE是中线，点是中线，点G是是CE的中点，的中
7、点，DG CE,垂足为垂足为G.求证求证:DC=BE证明：连接证明：连接DE,AD是高，是高，CE是中线，是中线，DE=BE=AE,又又G是是CE的中点，的中点，DG CEDE=DCDC=BE五五遇到三角形一边上的中点遇到三角形一边上的中点(中线或与中点有关中线或与中点有关的线段的线段)，倍倍长中线长中线法构造全等三角形法构造全等三角形 如图，当遇见中线或者中点时，可以尝试用倍长中线法构如图，当遇见中线或者中点时，可以尝试用倍长中线法构造全等三角形，造全等三角形，证线段间的数量关系，该类型经常会与中位线证线段间的数量关系，该类型经常会与中位线定理一起综合应用定理一起综合应用.9.如图，已知如图
8、，已知AB24，ABBC于点于点B，ABAD于点于点A，AD10，BC20.若点若点E是是CD的中点，则的中点，则AE的长是的长是.F1310.如图，在如图，在ABC中，中，AD是是BC边上的中线，边上的中线，E是是AD上一点，延长上一点，延长BE交交AC于点于点F，AFEF，求证求证：ACBE.(证证法法1)证明：如解图证明：如解图，延长，延长AD到点到点G，使，使DGAD，连接，连接BG.BDCD，BDGCDA，ADGD，ADCGDB(SAS)10.如图，在如图，在ABC中，中，AD是是BC边上的中线，边上的中线，E是是AD上一点，延上一点，延长长BE交交AC于点于点F，AFEF，求证：，
9、求证：ACBE.BEBG，BEAC.ACGB，GEAF，又又AFEF，EAFAEF，AEFBED，GBED.10.如图，在如图，在ABC中，中，AD是是BC边上的中线，边上的中线，E是是AD上一点，上一点，延长延长BE交交AC于点于点F，AFEF，求证：，求证：ACBE.GBED，BECG.ACGC.ACBE.(证证法法2)2)证明：如解图证明：如解图，延长，延长EDED到点到点G G，使得，使得DGDGDEDE，连接，连接CGCG.点点D是是BC的中点的中点，BDCD.BDECDG，BEDCGD(SAS)AFEF，FAEAEFBEG.GEAF.六六中线等分三角形面积中线等分三角形面积AD是是
10、ABC的中线，则的中线，则SABDSACD SABC.(ABD与与ACD是等底同高的两个三角形是等底同高的两个三角形)12A11.在在ABC中，点中，点D，E，F分别为分别为BC，AD，CE的中点，的中点，且且SABC16，则，则SDEF()A.2 B.8 C.4 D.1七七遇到圆中弦（或弧）的中点，利用垂径定理和圆遇到圆中弦（或弧）的中点，利用垂径定理和圆周角定理周角定理（点（点E是弦是弦AB的中点）的中点）（点（点C是是 AB的中点）的中点）如图如图,(1)圆心圆心O是直径的中点，常与是直径的中点，常与已知中点连接，或过已知中点连接，或过 点点O作一边的平行线或垂线构造中位线作一边的平行线
11、或垂线构造中位线解题解题.(2)圆中遇到圆中遇到弦的中点弦的中点，联想，联想“垂径定理垂径定理”，出现，出现 “四中点一垂直四中点一垂直”解决相应问题；解决相应问题；(3)圆中遇到圆中遇到弧的中点弧的中点，利用利用“一等四等一等四等”，“垂径定理垂径定理”解决相应问题；解决相应问题；12.如左如左图图，AB是是 O的直径，的直径，C是是 O上上 的一点，的一点，OD BC于点于点D，AC=6,则则OD的长为的长为 （）A.2 B.3 C.3.5 D.413.如右如右图图，AB是半圆是半圆O的直径，的直径，ABC的两边的两边AC,BC分别分别交半圆于交半圆于D,E,且点且点E为为BC的中点的中点
12、，若若BAC=50，则，则C=_.B65八八平面直角坐标系中的中点坐标平面直角坐标系中的中点坐标如如图，在平面直角坐标系中，已知图，在平面直角坐标系中，已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，设，设点点M为线段为线段AB的中点，则点的中点，则点M的坐标为的坐标为 .xxyy 121222（,）设设 M(x,y )CDDCBDACMD,21)(12121yyyyxxx21x2,22121yyyxxx2,22121yyyxxx中点坐标公式：C14.点点A的坐标为的坐标为(2，0)，点，点B的坐标的坐标(0，4)，那么线段，那么线段AB的的中点中点C的坐标为的坐标为()A.(1，2)B.(1，2)C.(1，2)D.(1，2)15.设线段设线段CD的中点为点的中点为点N，其坐标为，其坐标为(3，2)，若端点，若端点C的坐的坐标为标为(7，3)，则端点，则端点D的坐标为的坐标为()A.(1，1)B.(2，4)C.(2，1)D.(1，4)A
