1、人教版九年级数学中考复习专题中考复习专题线段和差线段和差最值问题最值问题1确定线段长关系式确定线段长关系式(根据已知线段关系求点坐标根据已知线段关系求点坐标)：先在图中找出对应线段，弄：先在图中找出对应线段，弄清已知点和未知点；再联系二次函数和一次函数，设出未知点的坐标，使其只含清已知点和未知点；再联系二次函数和一次函数，设出未知点的坐标，使其只含一个未知数；继而表示出线段的长度一个未知数；继而表示出线段的长度(如果该线段与坐标轴平行的如果该线段与坐标轴平行的话，则利用横纵话，则利用横纵坐标相加减确定；如果与坐标轴不平行的话，先转化为在有边与坐标轴平行的三坐标相加减确定；如果与坐标轴不平行的话
2、，先转化为在有边与坐标轴平行的三角形中，再利用勾股定理、锐角三角函数或相似确定角形中，再利用勾股定理、锐角三角函数或相似确定)考点梳理2 2线段数量关系问题：根据前面所得的线段长的关系式，结合题干列出满足线线段数量关系问题：根据前面所得的线段长的关系式，结合题干列出满足线段数量关系的方程，解方程求解即可段数量关系的方程，解方程求解即可(注意排除不符合题意的数值注意排除不符合题意的数值)3 3线段最值问题：求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，线段最值问题：求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，首先联想到首先联想到“对称性质对称性质”，最常见的有以下模型：，最常见
3、的有以下模型：(1)(1)定直线与两定点定直线与两定点同侧和最小值问题同侧和最小值问题如图，两定点如图，两定点A、B位于直线位于直线l同侧，在直线同侧，在直线l上找一点上找一点P，使得，使得PAPB的值最小的值最小方法：将两定点同侧转化为异侧问题作点方法：将两定点同侧转化为异侧问题作点B关于直线关于直线l的对称点的对称点B，连接，连接A B，与直线与直线l的交点即为点的交点即为点P；也可作点；也可作点A关于直线关于直线l的对称点的对称点A，连接，连接BA同侧差最小值问题同侧差最小值问题如图，两定点如图，两定点A、B位于直线位于直线l同侧，在直线同侧，在直线l上找一点上找一点P，使得，使得|PA
4、PB|的值最的值最小小方法：当方法：当PAPB时，时，|PAPB|0.根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，连接相等，连接AB，作线段，作线段AB的垂直平分线与直线的垂直平分线与直线l的交点即为点的交点即为点P同侧差最大值问题同侧差最大值问题如图，两定点如图，两定点A、B位于直线位于直线l同侧，在直线同侧，在直线l上找一点上找一点P，使得，使得|PAPB|的值最大的值最大方法：根据三角形任意两边之差小于第三边，方法：根据三角形任意两边之差小于第三边，|PAPB|AB，则，则|PAPB|的的最大值为线段最大值为线段AB的长连接的长连接AB并延长，与直线
5、并延长，与直线l的交点即为点的交点即为点P异侧差最大值问题异侧差最大值问题如图，两定点如图，两定点A、B位于直线位于直线l异侧，在直线异侧，在直线l上找一点上找一点P，使得，使得|PAPB|的值最大的值最大方法：将异侧点转化为同侧，同方法：将异侧点转化为同侧，同即可解决作点即可解决作点B关于直线关于直线l的对称点的对称点B，连接连接AB并延长，与直线并延长，与直线l的交点即为点的交点即为点P例如图，抛物线例如图，抛物线yax2bxc(a0)与与x轴交于点轴交于点A，B(1，0)，与，与y轴交于点轴交于点C，直线直线y x2经过点经过点A、C.抛物线的顶点为抛物线的顶点为D，对称轴为直线，对称轴
6、为直线l.(1)求抛物线的表达式、顶点求抛物线的表达式、顶点D的坐标及对称轴的坐标及对称轴l；典例精析典例精析12(1)解：对于直线y x2，令y0，得x4，令x0，得y2，点A(4，0)，点C(0，2)，将将A，B，C三点的坐标代入抛物线解析式，三点的坐标代入抛物线解析式，得得解得解得抛物线的表达式为抛物线的表达式为 ，抛物线抛物线 可化为可化为顶点顶点D的坐标为的坐标为()，对称轴，对称轴l为直线为直线x ；16a4bc0abc0c2abc2(2)设点设点G是是y轴上一点，是否存在点轴上一点，是否存在点G，使得，使得GDGB的值最小，若存在，求出的值最小，若存在，求出点点G的坐标；若不存在
7、，请说明理由；的坐标；若不存在，请说明理由；温馨提示：温馨提示：要使要使GDGB的值最小，一般是通过轴对称作出的值最小，一般是通过轴对称作出对称点来解决对称点来解决 解：存在如解图，要使GDGB的值最小，取点B关于y轴的对称点B，点B的坐标为(1，0)连接BD，直线BD与y轴的交点G即为所求的点，解：如解图解：如解图，由点，由点E在在x轴上，可设点轴上，可设点E的坐标为的坐标为(e，0)，连接，连接CE，则则AEAOOE4e，在在RtCOE中，根据勾股定理得中，根据勾股定理得CE2OC2OE24e2，CEAE，CE2AE2，4e2(4e)2，解得解得e ，点点E的坐标为的坐标为(，0)；(3)
8、在直线在直线l上是否存在一点上是否存在一点F，使得，使得BCF的周长最小，若存在，求出点的周长最小，若存在，求出点F的坐的坐标及标及BCF周长的最小值；若不存在，请说明理由；周长的最小值；若不存在，请说明理由；【温馨提示】【温馨提示】要使要使BCF周长最小，周长最小，BC长为定值，即要使长为定值，即要使CFBF的值最小的值最小存在要使BCF的周长最小，即BCBFCF最小，如解图所示，连接BC.在RtOBC中，OB1，OC2，由勾股定理得BC ，为定值，当BFCF最小时，BCF的周长最小，点点B与点与点A关于直线关于直线l对称，对称，AFBF，则则BFCFAFCF，直线直线AC与对称轴与对称轴l
9、的交点即为所求的点的交点即为所求的点F，连接，连接BF，将将x 代入直线代入直线y x2，得，得y 2 ，点点F的坐标为的坐标为(，)，在在RtAOC中，由中，由AO4，OC2，根据勾股定理得，根据勾股定理得AC 2 ，BCF周长的最小值为周长的最小值为BCAC3 ；(4)点点S为为y轴上任意一点，轴上任意一点，K为直线为直线AC上一点，连接上一点，连接BS，BK，是否存在点，是否存在点S，K使得使得BSK的周长最小，若存在，求出的周长最小，若存在，求出S，K的坐标，并求出的坐标，并求出BSK周长的最小周长的最小值；若不存在，请说明理由；值；若不存在，请说明理由；【温馨提示】【温馨提示】要求要
10、求BSK周长的最小值，可分别作点周长的最小值，可分别作点B关关于于y轴和直线轴和直线AC的两个对称点的两个对称点B、B，连接，连接BB与与y轴和轴和直线直线AC交点即为使得交点即为使得BSK的周长最小的点的周长最小的点S、K，最小，最小值即线段值即线段BB的长的长解：存在如图，作点解：存在如图，作点B关于关于y轴的对称点轴的对称点B，关于直线，关于直线AC的对称点的对称点B，连接，连接BB与与y轴、直线轴、直线AC的交点即为的交点即为BSK周长最小时的周长最小时的S、K，连接，连接BB交交AC于点于点E，B(1，0)，B(1，0)，直线直线AC的表达式为的表达式为y x2，设直线设直线BB的表
11、达式为的表达式为y2xk，将将B(1，0)代入得代入得k2，直线BB的表达式为y2x2，联立 解得E(，)，如图，过点E作EFx轴于点F，过点E作EGx轴，过点B作BGEG，则F(，0)，BF ，EF ，点B与点B关于直线AC对称，BEEB，EGx轴，y x2y2x2xyFBEGEB，EFx轴，BGEG，BFEEGB90，在BFE和EGB中，BFEEGB，EGBF ，BGEF ，B()，即B()，设直线BB的表达式为ykxb，BFEEGB90FBEGEBBEEB将将 代入得代入得解得解得直线直线BB的表达式为的表达式为令令x0，得，得y ，S(0，)，联立联立解得解得K(1，)，BB 4，综上所述，存在点S(0，)，点K(1，)使得BSK的周长最小，最小值为4；
