1、人教版九年级数学中考复习专题中考复习专题运动产生的等腰三角形运动产生的等腰三角形考点梳理已知点已知点A、B和直线和直线l，在，在l上求点上求点P，使，使PAB为等腰三角为等腰三角形形（1）以点）以点A为圆心，线段为圆心，线段AB长为半径作圆，与长为半径作圆，与l的交点的交点P1，P4即为所求点即：即为所求点即：AP=AB（2）以点以点B为圆心，线段为圆心，线段AB长为半径作圆，与长为半径作圆，与l的交点的交点P2，P5即为所求即为所求P点即：点即：BP=BA（3）作）作AB的垂直平分线，与的垂直平分线，与l的交点的交点P3即为所求即为所求P点点，即，即PA=PB 方法指导：分别表示出点分别表示
2、出点A A、B B、P P的坐标，再表示出线段的坐标，再表示出线段ABAB、BPBP、A AP P的长度，由的长度，由ABABAPAP、ABABBPBP、BPBPAPAP，分别列方程解出坐标，分别列方程解出坐标 ，其中运用的知识点有，其中运用的知识点有勾勾股定理或相似建立等量关系。股定理或相似建立等量关系。解题思路：例抛物线例抛物线yax2bx3与与x轴的交点为轴的交点为A(1，0)，B(4，0)，与，与y轴的交点为轴的交点为C(0，3)(1)求该抛物线的表达式及其对称轴；求该抛物线的表达式及其对称轴；典例精讲(1)解：解：抛物线过点抛物线过点A(1，0)，B(4，0)，设抛物线设抛物线的表达
3、式为的表达式为ya(x1)(x4)(a0)，将点将点C(0，3)代入得代入得a(01)(04)3，解得，解得a ，抛物线的表达式为抛物线的表达式为 ，即，即 ，抛物线对称轴为直线抛物线对称轴为直线 ；(2)如图如图，D为为OB段上的一动点，连接段上的一动点，连接CD，若，若CDBD，求点，求点D的坐标；的坐标；温馨提示：温馨提示：点点D在在x轴上，可设出轴上，可设出D点坐标，由点坐标，由CDBD列出列出方程，求解方程，求解D点坐标；点坐标；(3)如图如图，P为抛物线对称轴上一点，为抛物线对称轴上一点，且且COP是以是以CO为底的等腰三角形，求点为底的等腰三角形，求点P的坐标；的坐标；解：解：点
4、点D为为OB段上的动点，设点段上的动点，设点D(d，0)(0d4)，BD4d，在在RtCOD中，中，OC3，ODd，CD2OC2OD232d2，BDCD，BD2CD2，(4d)232d2，解得，解得d ，点点D的坐标为的坐标为(，0)；(3)如图如图，P为抛物线对称轴上一点，且为抛物线对称轴上一点，且COP是以是以CO为底的等腰三角形，为底的等腰三角形，求点求点P的坐标；的坐标；温馨提示温馨提示解：由解：由(1)知抛物线的对称轴为直线知抛物线的对称轴为直线x ，点点P在对称轴上，在对称轴上，设点设点P坐标为坐标为(，y)，要使，要使COP是以是以CO为底的等腰三角形，则为底的等腰三角形，则PC
5、PO，如解图如解图，过过OC的中点的中点E作作PECO，PE与对称轴直线与对称轴直线x 的交点即为所求点的交点即为所求点P.连接连接CP、PO，点点C坐标为坐标为(0，3)，OC的中点的中点E的纵坐标为的纵坐标为 ，即点即点P的纵坐标为的纵坐标为 ，点点P的坐标为的坐标为()；例题解图(4)如图如图，在抛物线的对称轴上是否存在一点，在抛物线的对称轴上是否存在一点G，使得，使得COG是以是以CO为腰的等为腰的等腰三角形，若存在，求点腰三角形，若存在，求点G的坐标；若不存在，请的坐标；若不存在，请说明理由；说明理由；例题图温馨提示温馨提示解：存在理由如下：解：存在理由如下：如解图如解图，设对称轴直
6、线，设对称轴直线x 与与x轴交点为轴交点为F，()当点当点C为顶点时，以点为顶点时，以点C为圆心，为圆心，OC长为半径画弧，与对称轴直线长为半径画弧，与对称轴直线x 交于交于G1、G2两点，连接两点，连接CG1、CG2，过点，过点C作作CHG1G2于点于点H，CG1CO3，CHOF 点点G1坐标为坐标为()，同理得同理得 ，点点G2坐标为坐标为()；()当点O为顶点时，以点O为圆心，OC长为半径画弧，与对称轴直线x 交于G3，G4两点，连接OG3、OG4.由解图可知OG3OC3，在RtOFG3中，点G3坐标为()，同理得点同理得点G4坐标为坐标为 ，综上所述，满足条件的点综上所述，满足条件的点
7、G坐标共有坐标共有4个，分别为个，分别为例题解图(5)如图如图，连接，连接BC，在线段，在线段BC上是否存在点上是否存在点M，使，使COM是等腰三角形，若是等腰三角形，若存在，求出点存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；的坐标；若不存在，请说明理由；例题图温馨提示：温馨提示：未明确说明等腰三角形的腰和底，故要分类未明确说明等腰三角形的腰和底，故要分类讨论：讨论：OMOC；MCOC；CMOM.分别求分别求解，若有解，则存在；若无解，则不存在解，若有解，则存在；若无解，则不存在解：存在理由如下：设直线BC的表达式为yk1xb1(k10)，将点C(0，3)，B(4，0)代入表达式中，得 ，解得 ，直线BC的表达式为 ，点M在线段BC上，设点M的坐标为()，其中0m4，如解图，过点M分别作x轴、y轴的垂线MN、MP，交x轴于点N，交y轴于点P，连接OM，在RtMON、RtMPC中，根据勾股定理得要使COM是等腰三角形，则分三种情况讨论：()当OMOC时，则 ，解得 (舍去)，此时点M的坐标为()；例题解图()当当MCOC时，时，则则m2(m)29，解得解得 (舍去舍去)，此时点此时点M的坐标为的坐标为()；()当当CMOM时，时，则则解得解得m52，此时点，此时点M的坐标为的坐标为(2，)，综上所述，满足条件的点综上所述，满足条件的点M的坐标分别为的坐标分别为 ；
