1、专题突破（一）选择、填空压轴题例12019柳州定义:形如a+bi的数称为复数(其中a和b为实数,i为虚数单位,规定i2=-1),a称为复数的实部,b称为复数的虚部.复数可以进行四则运算,运算的结果还是一个复数.例如(1+3i)2=12+213i+(3i)2=1+6i+9i2=1+6i-9=-8+6i,因此,(1+3i)2的实部是-8,虚部是6.已知复数(3-mi)2的虚部是12,则实部是()A.-6B.6C.5D.-5【方法点析】“新定义型问题”关键要把握两点:一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法;二是根据问题情境的变化,通过认真思考,合理进行思想方法的迁移.C类型一新定义与阅读理解型
2、问题解析(3-mi)2=32-23mi+(mi)2=9-6mi+m2i2=9-m2-6mi,复数(3-mi)2的实部是9-m2,虚部是-6m,-6m=12,m=-2,9-m2=9-(-2)2=9-4=5.故选C.例22019自贡阅读下列材料:小明为了计算 1+2+22+22017+22018的值,采用以下方法:设S=1+2+22+22017+22018,则2S=2+22+22018+22019.-得,2S-S=S=22019-1.请仿照小明的方法解决以下问题:(1)1+2+22+29=;(2)3+32+310=;(3)求1+a+a2+an的和(a0,n是正整数,请写出计算过程).【方法点析】解
3、决阅读理解问题的关键是要认真仔细地阅读给定的材料,弄清材料中隐含了什么新的数学知识、结论,或揭示了什么数学规律,或暗示了什么新的解题方法,然后展开联想,将获得的新信息、新知识、新方法进行迁移,建模应用,解决题目中提出的问题.例22019自贡阅读下列材料:小明为了计算 1+2+22+22017+22018的值,采用以下方法:设S=1+2+22+22017+22018,则2S=2+22+22018+22019.-得,2S-S=S=22019-1.请仿照小明的方法解决以下问题:(1)1+2+22+29=;解析令S=1+2+22+29,则2S=2+22+210,-得,2S-S=S=210-1.210-
4、1例22019自贡阅读下列材料:小明为了计算 1+2+22+22017+22018的值,采用以下方法:设S=1+2+22+22017+22018,则2S=2+22+22018+22019.-得,2S-S=S=22019-1.请仿照小明的方法解决以下问题:(2)3+32+310=;例22019自贡阅读下列材料:小明为了计算 1+2+22+22017+22018的值,采用以下方法:设S=1+2+22+22017+22018,则2S=2+22+22018+22019.-得,2S-S=S=22019-1.请仿照小明的方法解决以下问题:(3)求1+a+a2+an的和(a0,n是正整数,请写出计算过程).
5、题型精练图Z1-1BD图Z1-264.2019白银定义:等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”.若等腰三角形ABC中,A=80,则它的特征值k=.6图Z1-356.2019枣庄对于实数a,b,定义关于“”的一种运算:a b=2a+b.例如3 4=23+4=10.(1)则4 (-3)的值为;(2)x (-y)=2,(2y)x=-1,x+y的值为.解析根据题意得:4 (-3)=24+(-3)=5.0 x37.2020乐山改编我们用符号x表示不大于x的最大整数.例如:1.5=1,-1.5=-2,那么:(1)当-1x2时,x的取值范围是;(2)当-1x2时,函数y=x
6、2-2ax+3的图象始终在函数y=x+3的图象上方或图象上,则实数a的取值范围是.解析(1)根据符号x表示不大于x的最大整数,得到-1x2时,x=0,1,2;当x=0时,0 x1;当x=1时,1x2;当x=2时,2x3;从而x的取值范围是0 x3;7.2020乐山改编我们用符号x表示不大于x的最大整数.例如:1.5=1,-1.5=-2,那么:(2)当-1x0;方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=-1,x2=3;2a+b=0;当x0时,y随x的增大而减小.类型三代数多结论问题图Z1-20【方法点析】对于二次函数y=ax2+bx+c(a0),二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小:当a0时,抛
7、物线开口向上;当a0)时,对称轴在y轴左边;当a与b异号(即ab0时,抛物线与x轴有2个交点;=b2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;=b2-4ac0;a-b+c0;ax2+bx+c+1=0有两个相等的实数根;-4ab0;a-b+c=0;一元二次方程ax2+bx+c+2=0(a0)有两个不相等的实数根;当x3时,y0.上述结论中正确的是.(填上所有正确结论的序号)图Z1-22解析由图可知,对称轴x=1,与x轴的一个交点为(3,0),b=-2a,与x轴另一个交点为(-1,0),a0,b0时,x3正确.故答案为.4.2019贵港我们定义一种新函数:形如y=|ax2+bx+c|(a0,b2-4
8、ac0)的函数叫做“鹊桥”函数.小丽同学画出了“鹊桥”函数y=|x2-2x-3|的图象(如图Z1-23所示),并写出下列五个结论:图象与坐标轴的交点为(-1,0),(3,0)和(0,3);图象具有对称性,对称轴是直线x=1;当-1x1或x3时,函数值y随x值的增大而增大;当x=-1或x=3时,函数取得最小值0;当x=1时,函数取得最大值4.其中正确结论的个数是.图Z1-234解析(-1,0),(3,0)和(0,3)坐标都满足函数y=|x2-2x-3|,是正确的;从图象可知图象具有对称性,对称轴可用对称轴公式求得是直线x=1,因此也是正确的;根据函数的图象和性质,发现当-1x1或x3时,函数值y
9、随x值的增大而增大,因此也是正确的;函数图象的最低点就是与x轴的两个交点,根据y=0,求出相应的x的值为x=-1或x=3,因此也是正确的;从图象上看,当x3时,函数值要大于当x=1时的y=|x2-2x-3|=4,因此是不正确的.故答案是:4.5.2019贺州已知抛物线y=ax2+bx+c(a0)的对称轴是直线x=1,其部分图象如图Z1-24所示,下列说法中:abc0;a-b+c0;3a+c=0;当-1x0,正确的是(填写序号).图Z1-24图Z1-257.2018新疆如图Z1-26,已知抛物线y1=-x2+4x和直线y2=2x.我们规定:当x取任意一个值时,x对应的函数值分别为y1和y2.若y
10、1y2,取y1和y2中较小值为M;若y1=y2,记M=y1=y2.当x2时,M=y2;当xb)的长方形,用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开,把它分成四块形状和大小完全相同的小长方形,然后按图那样拼成一个正方形,则中间空余的部分的面积是()图Z1-37A.abB.(a+b)2C.(a-b)2D.a2-b2C图Z1-38B图Z1-39D图Z1-40B图Z1-41D6.2019天水如图Z1-42,在矩形ABCD中,AB=3,AD=5,点E在DC上,将矩形ABCD沿AE折叠,点D恰好落在BC边上的点F处,那么sinEFC的值为.图Z1-427.2019资阳如图Z1-43,在ABC中,已知AC=3,BC=4
11、,点D为边AB的中点,连接CD,过点A作AECD于点E,将ACE沿直线AC翻折到ACE的位置.若CEAB,则CE=.图Z1-438.2019山西如图Z1-44,在ABC中,BAC=90,AB=AC=10 cm,点D为ABC内一点,BAD=15,AD=6 cm,连接BD,将ABD绕点A按逆时针方向旋转,使AB与AC重合,点D的对应点为点E,连接DE,DE交AC于点F,则CF的长为cm.图Z1-44图Z1-45D类型六动点最值问题图Z1-46图Z1-4716【方法点析】找点关于线的对称点实现“折”转“直”,求线段和的最小值需要用到三个基本知识:两点之间,线段最短;轴对称的性质;线段垂直平分线上的点
12、到线段两端点的距离相等.常见情况有三种:“两点一线”型、“一点两线”型和“两点两线”型.平面上最短路径问题:(1)归于“两点之间的连线中,线段最短”.凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时,大都应用这一模型.(2)归于“三角形两边之差小于第三边”.凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时,大都应用这一模型.(3)平面图形中,直线同侧两点到直线上一点距离之和最短问题大都应用轴对称的性质.题型精练图Z1-48D2.如图Z1-49,在等边三角形ABC中,AB=4,点P是BC边上的动点,点P关于直线AB,AC的对称点分别为M,N,则线段MN长的取值范围是.图Z1-49图Z1-503.如图Z1-50,AO
13、B的边OB与x轴正半轴重合,点P是OA上的一动点,点N(3,0)是OB上的一定点,点M是ON的中点,AOB=30,要使PM+PN最小,则点P的坐标 为.图Z1-514.如图Z1-51,矩形ABOC的顶点A的坐标为(-4,5),D是OB的中点,E是OC上的一点,当ADE的周长最小时,点E的坐标是.图Z1-525.如图Z1-52,M的半径为2,圆心M的坐标为(3,4),点P是M上的任意一点,PAPB,且PA,PB与x轴分别交于A,B两点,若点A、点B关于原点O对称,则AB的最小值为.66.如图Z1-53,在矩形纸片ABCD中,AB=2,AD=3,点E是AB的中点,点F是AD边上的一个动点,将AEF
14、沿EF所在直线翻折,得到AEF,则AC的长的最小值是.图Z1-537.如图Z1-54所示,MON=40,P为MON内一点,A为OM上一点,B为ON上一点,当PAB的周长取最小值时,APB的度数为.图Z1-541008.如图Z1-55,在平面直角坐标系中,已知点A(1,0),B(1-a,0),C(1+a,0)(a0),点P在以D(4,4)为圆心,1为半径的圆上运动,且始终满足BPC=90,则a的最大值是.图Z1-5569.2020龙东地区如图Z1-56,在边长为1的菱形ABCD中,ABC=60,将ABD沿射线BD方向平移,得到EFG,连接EC,GC.求EC+GC的最小值为.图Z1-56类型七几何
15、中的计算问题一利用锐角三角函数求线段长基本思路:构造直角三角形,保留角、保留边转化求解.图Z1-582.如图Z1-58,ABC是等边三角形,延长BC到点D,使CD=AC,连接AD.若AB=2,则AD的长为.图Z1-593.如图Z1-59,在ABC中,AB=AC=4,将ABC绕点A顺时针旋转30,得到ACD,延长AD交BC的延长线于点E,则DE的长为.基本思路:熟悉基本图形,判定相似,建立方程求解.二利用相似求线段长C5.2019安徽如图Z1-61,在RtABC中,ACB=90,AC=6,BC=12,点D在边BC上,点E在线段AD上,EFAC于点F,EGEF交AB于点G.若EF=EG,则CD的长
16、为()A.3.6B.4C.4.8D.5图Z1-61B图Z1-626.如图Z1-62,在ABC中,BC的垂直平分线MN交AB于点D,CD平分ACB.若AD=2,BD=3,则AC的长为.基本思路:在直角三角形中,利用勾股定理,建立方程求解.三利用勾股定理求线段长8.如图Z1-63,在矩形ABCD中,AD=8,对角线AC与BD相交于点O,AEBD,垂足为点E,且AE平分BAC,则AB的长为.图Z1-639.如图Z1-64,在ABC中,AC=3,BC=4,若AC,BC边上的中线BE,AD垂直相交于O点,则AB=.图Z1-6410.如图Z1-65,在四边形ABCD中,AB=AD,BC=DC,A=60,点
17、E为AD边上一点,连接BD,CE,CE与BD交于点F,且CEAB,若AB=8,CE=6,则BC的长为.图Z1-65图Z1-66图Z1-671类型八规律问题一周期型(求商看余数)1.观察下列各式:21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,通过观察,你认为22020的个位数字应该是.6解析 观察数据21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,得个位数字每4个是一次循环,按顺序分别是2,4,8,6.因为20204=505,所以22020的个位数字是6.图Z1-682.弹性小球从点P(0,3)出发,沿图Z1-68所示方向运动,每当小球碰到矩形OABC的边时
18、反弹,反弹时反射角等于入射角.若小球第1次碰到矩形的边时的点为P1,第2次碰到矩形的边时的点为P2,第n次碰到矩形的边时的点为Pn,则点P3的坐标是,点P2020的坐标是.(8,3)(5,0)解析 如图,根据反射角与入射角相等作出图形,可知:(1)当小球第3次碰到矩形的边时,点P3的坐标为(8,3);(2)每6次反弹为一个循环组依次循环,20206=3364,当小球第2020次碰到矩形的边时点P2020的坐标为(5,0).二函数表达式型3.用同样大小的黑色棋子按图Z1-69所示的方式摆放图形,按照这样的规律摆下去,则第n个图形需棋子个(用含n的代数式表示).图Z1-69(3n+1)图Z1-70
19、4.2020柳州如图Z1-70,每一幅图中有若干个菱形,第1幅图中有1个菱形,第2幅图中有3个菱形,第3幅图中有5个菱形,依照此规律,第6幅图中有个菱形.115.如图Z1-71,将一张足够大的等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形,称为第一次操作;然后,将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形,共得到7个小三角形,称为第二次操作;再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形,共得到10个小三角形,称为第三次操作;,根据以上操作,若要得到100个小三角形,则需要操作的次数是.图Z1-7133解析 第一次操作后,三角形共有4个;第二次操作后,三角形共有4+3=7(个);第三次操作后,三角形
20、共有4+3+3=10(个);第n次操作后,三角形共有4+3(n-1)=3n+1(个).当3n+1=100时,解得n=33.要得到100个小三角形,需要操作的次数是33.6.下列图形都是由几个黑色和白色的正方形按一定规律组成的,图Z1-72中有2个黑色正方形,图中有5个黑色正方形,图中有8个黑色正方形,图中有11个黑色正方形,按此规律,图中黑色正方形的个数是.图Z1-7229解析 根据图形的对称性找规律.因为图中有2个黑色正方形,2=3-1,图中有5个黑色正方形,5=6-1,图中有8个黑色正方形,8=9-1,所以图中有(3n-1)个黑色正方形,所以图中黑色正方形的个数是310-1=29.三幂指数
21、型7.如图Z1-73,在第1个A1BC中,B=30,A1B=CB;在边A1B上任取一点D,延长CA1到A2,使A1A2=A1D,得到第2个A1A2D;在边A2D上任取一点E,延长A1A2到A3,使A2A3=A2E,得到第3个A2A3E,按此做法继续下去,则第n个三角形中以An为顶点的内角度数是(用含n的式子表示).图Z1-738.图Z1-74中的螺旋形由一系列等腰直角三角形组成,其序号依次为,则序号为n的等腰直角三角形的斜边长为(用含n的式子表示).图Z1-74四坐标系综合型9.如图Z1-75,在平面直角坐标系中,已知点A(-3,0),B(0,4),对OAB连续作旋转变换,依次得到1,2,3,4,则2020的直角顶点的坐标为.图Z1-75(8076,0)
