1、重难突破专题(四)新定义问题题型解读所谓“新定义”问题,主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号,要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解,根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.“新定义”问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点,在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力.解决“新定义”问题关键要把握两点:一是掌握问题原型的特点及其解决问题的思想方法;二是根据问题情境的变化,通过认真思考,合理进行思想方法的迁移.类型一新法则、新运算型【分层分析】先理解新定义的运算规则,再把每一个选项中的新定义运算转化为普通运算后解答,进而作出判断.答案D(1)M(-2)2,22
2、,-22=,minsin30,cos60,tan45=;【分层分析】(1)根据平均数的定义计算即可;三个数中最小的数即为所求.【分层分析】(2)根据定义得到三个数的最小数为-5,即3-2x,1+3x均大于等于-5,于是可以得到两个不等式,从而求出x的取值范围即可.【分层分析】(3)根据平均数的定义构建方程,解方程即可解决问题.【分层分析】(4)根据定义将问题转化为不等式组解决.【方法点析】此类问题在于读懂新法则或新运算规则,然后仿照范例进行运算,细心研读定义,细致观察范例是解题的关键.类型二新定义几何概念型例32019宁波定义:有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形,这两个角的夹边称为邻余线
3、.(1)如图Z4-1,在ABC中,AB=AC,AD是ABC的角平分线,E,F分别是BD,AD上的点.求证:四边形ABEF是邻余四边形;(2)如图,在54的方格纸中,A,B在格点上,请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF,使AB是邻余线,E,F在格点上;例32019宁波定义:有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形,这两个角的夹边称为邻余线.(3)如图,在(1)的条件下,取EF中点M,连结DM并延长交AB于点Q,延长EF交AC于点N.若N为AC的中点,DE=2BE,QB=3,求邻余线AB的长.例32019宁波定义:有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形,这两个角的夹边称为邻余线.(1)如图Z4
4、-1,在ABC中,AB=AC,AD是ABC的角平分线,E,F分别是BD,AD上的点.求证:四边形ABEF是邻余四边形;解:(1)证明:AB=AC,AD是ABC的角平分线,ADBC,ADB=90,DAB+DBA=90,FAB与EBA互余.四边形ABEF是邻余四边形.例32019宁波定义:有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形,这两个角的夹边称为邻余线.(2)如图,在54的方格纸中,A,B在格点上,请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF,使AB是邻余线,E,F在格点上;(2)如图所示,四边形ABEF即为所求.(答案不唯一)例32019宁波定义:有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形,这两个角的
5、夹边称为邻余线.(3)如图,在(1)的条件下,取EF中点M,连结DM并延长交AB于点Q,延长EF交AC于点N.若N为AC的中点,DE=2BE,QB=3,求邻余线AB的长.【方法点析】解决此类问题的关键在于仔细研读几何新概念,将新的几何问题转化为已知的三角形、四边形或圆的问题,从而解决问题.对于几何新概念弄清楚条件和结论是至关重要的.题型精练1.2020河南定义运算:mn=mn2-mn-1.例如:42=422-42-1=7.则方程1x=0的根的情况为()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.只有一个实数根答案A解析由新运算定义可得x2-x-1=0,=(-1)2-41(-1
6、)=50,方程有两个不相等的实数根,因此本题选A.答案B3.2020淮安如果一个数等于两个连续奇数的平方差,那么我们称这个数为“幸福数”.下列数中为“幸福数”的是()A.205B.250C.502D.520答案D答案A5.我们用符号x表示不大于x的最大整数.例如:1.5=1,-1.5=-2,那么:(1)当-1x2时,x的取值范围是 ;(2)当-1x2时,函数y=x2-2ax+3的图象始终在函数y=x+3的图象上方或图象上,则实数a的范围是.答案(1)0 x3解析(1)根据符号x表示不大于x的最大整数,得到-1x2时,x=0,1,2;当x=0时,0 x1;当x=1时,1x2;当x=2时,2x3;
7、从而x的取值范围是0 x3;5.我们用符号x表示不大于x的最大整数.例如:1.5=1,-1.5=-2,那么:(2)当-1x2时,函数y=x2-2ax+3的图象始终在函数y=x+3的图象上方或图象上,则实数a的范围是.答案答案图Z4-2答案图Z4-3图Z4-3图Z4-39.2019天水如图Z4-4,对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.(1)概念理解:如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,问四边形ABCD是垂美四边形吗?请说明理由.(2)性质探究:如图,四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,ACBD.试证明:AB2+CD2=AD2+BC2.(3)解决问题:如图,分别以RtACB的
8、直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE,连结CE,BG,GE.已知AC=4,AB=5,求GE的长.图Z4-49.2019天水如图Z4-4,对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.(1)概念理解:如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,问四边形ABCD是垂美四边形吗?请说明理由.图Z4-4解:(1)四边形ABCD是垂美四边形.理由:如图,连结AC,BD,AB=AD,点A在线段BD的垂直平分线上,CB=CD,点C在线段BD的垂直平分线上,直线AC是线段BD的垂直平分线,ACBD,即四边形ABCD是垂美四边形.9.2019天水如图Z4-4,对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.(2)性质探究:如图,四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,ACBD.试证明:AB2+CD2=AD2+BC2.图Z4-4(2)证明:在图中,ACBD,AOD=AOB=BOC=COD=90,由勾股定理得,AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2,AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2,AD2+BC2=AB2+CD2.9.2019天水如图Z4-4,对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.(3)解决问题:如图,分别以RtACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE,连结CE,BG,GE.已知AC=4,AB=5,求GE的长.图Z4-4
