1、一、知识结构一、知识结构 二、知识考点二、知识考点三、典型例题三、典型例题一、知识结构一、知识结构 点点和和圆圆的的位位置置关关系系不不在在同同一一直直线线上上的的三三点点确确定定一一个个圆圆四四点点共共圆圆的的条条件件垂垂径径定定理理圆圆周周角角定定理理圆圆心心角角圆圆周周角角弧弧弦弦弦弦心心距距间间关关系系定定理理对对称称性性圆圆扇扇形形弧弧形形面面积积圆圆柱柱圆圆锥锥展展开开图图圆圆的的周周长长弧弧长长圆圆圆的圆的定义定义圆的圆的性质性质直线与圆的直线与圆的有关性质有关性质圆与圆的圆与圆的位置关系位置关系圆的有圆的有关计算关计算相相交交外外离离相相切切内内切切外外切切内内含含相相切切相相
2、离离相相交交切切线线的的性性质质内内心心外外心心切切线线的的判判定定二、知识考点二、知识考点考点一：圆的定义及其性质考点一：圆的定义及其性质1 1、圆的定义有两种方式、圆的定义有两种方式(1)(1)在一个平面内，线段在一个平面内，线段OAOA绕它固定的一个端点绕它固定的一个端点O O旋旋转一周，另一个端点转一周，另一个端点A A随之旋转所形成的图形叫做圆。随之旋转所形成的图形叫做圆。固定的端点叫圆心，线段固定的端点叫圆心，线段OAOA叫做半径；叫做半径；(2)(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合；圆是到定点的距离等于定长的点的集合；2 2、圆的对称性、圆的对称性(1)(1)圆是轴对称图形，
3、经过圆心的每一条直线都是圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；它的对称轴；(2)(2)圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；(3)(3)圆是旋转对称图形。圆绕圆心旋转任意角度，圆是旋转对称图形。圆绕圆心旋转任意角度，都能和原来的图形重合，这就是圆的旋转不变性；都能和原来的图形重合，这就是圆的旋转不变性；考点二：垂径定理及推论考点二：垂径定理及推论1 1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧且平分弦所对的两条弧2 2、推论：平分弦、推论：平分弦(不是直径不是直径)的直径垂直于弦，的直径垂
4、直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；平分弦所对的一条心，并且平分弦所对的两条弧；平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；考点三：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系考点三：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系1 1、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等；的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等；2 2、推论：同圆或等圆中：、推论：同圆或等圆中：A A、两个圆心角相
5、等；、两个圆心角相等；B B、两条弧相等；、两条弧相等；C C、两条弦相等；、两条弦相等；D D、两条弦的弦、两条弦的弦心距相等（四项中有一项成立，则其余对应的三心距相等（四项中有一项成立，则其余对应的三项都成立）；项都成立）；考点四：圆心角与圆周角考点四：圆心角与圆周角1 1、定义：顶点在圆心上的角叫圆心角；顶点在圆、定义：顶点在圆心上的角叫圆心角；顶点在圆上，角的两边和圆都相交的角叫圆周角；上，角的两边和圆都相交的角叫圆周角；2 2、性质：、性质：(1)(1)圆心角的度数等于它所对弧的度数；圆心角的度数等于它所对弧的度数；(2)(2)一条弧所对的圆周角的度数等于它所对圆心角一条弧所对的圆周
6、角的度数等于它所对圆心角的度数的一半；的度数的一半；(3)(3)同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等，所对的弦也相等；相等的圆周角所对的弧相等，所对的弦也相等；(4)(4)半圆半圆(或直径或直径)所对的圆周角是是直角，所对的圆周角是是直角，9090的的圆周角所对的弦是直径；圆周角所对的弦是直径；考点五：圆的性质的应用考点五：圆的性质的应用1 1、垂径定理的应用：用垂径定理进行计算或证、垂径定理的应用：用垂径定理进行计算或证明，常需作出圆心到弦的垂线段明，常需作出圆心到弦的垂线段(即弦心距即弦心距)，则，则垂足为弦的中点，再利用
7、解半径、弦心距和弦的垂足为弦的中点，再利用解半径、弦心距和弦的一半组成的直角三角形来达到求解的目的；一半组成的直角三角形来达到求解的目的；2 2、借助同弧、等弧所对圆周角相等，所对圆心、借助同弧、等弧所对圆周角相等，所对圆心角相等进行角的等量代换；也可在同圆或等圆中，角相等进行角的等量代换；也可在同圆或等圆中，由相等的圆周角所对的弧相等，进行弧由相等的圆周角所对的弧相等，进行弧(或弦或弦)的的等量代换；等量代换；考点六：过三点的圆考点六：过三点的圆1 1、经过三点作圆：、经过三点作圆：(1)(1)经过在同一直线上的三点不经过在同一直线上的三点不能作圆；能作圆；(2)(2)经过不在同一直线上的三
8、点，有且只有经过不在同一直线上的三点，有且只有一个圆；一个圆；2 2、三角形的外接圆：经过三角形各顶点的圆叫做、三角形的外接圆：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫做三角形的外心；三角形的外接圆；外接圆的圆心叫做三角形的外心；这个三角形叫做这个圆的内接三角形；这个三角形叫做这个圆的内接三角形；3 3、三角形外接圆的作法：、三角形外接圆的作法：(1)(1)确定外心：作任意两确定外心：作任意两边的中垂线，交点即为外心；边的中垂线，交点即为外心；(2)(2)确定半径：两边中确定半径：两边中垂线的交点到三角形任一个顶点的距离作为半径；垂线的交点到三角形任一个顶点的距离作为半径；考点七
9、：直线与圆的位置关系考点七：直线与圆的位置关系1 1、直线与圆的位置关系和有关概念、直线与圆的位置关系和有关概念(1)(1)直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时的直线叫做圆的割线；这时的直线叫做圆的割线；(2)(2)直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，唯一的公共点叫做切点，这时的直线叫做圆的切线；唯一的公共点叫做切点，这时的直线叫做圆的切线；(3)(3)直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离；直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离；2 2直线和圆的位置关系的性质与判定直线和圆的位置关系的性质与判
10、定如果如果OO的半径为的半径为r r，圆心，圆心O O到直线到直线l l的距离为的距离为d d，那么：，那么：(1)(1)直线直线l l和和OO相交相交drdrdr；考点八：切线的判定和性质考点八：切线的判定和性质1 1、切线的判定方法、切线的判定方法(1)(1)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；(2)(2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；(3)(3)过半径外端点且和这条半径垂直的直线是圆的切线；过半径外端点且和这条半径垂直的直线是圆的切线；2 2、切线的性质、切线的性质(1)(1)切线的性质定理：圆的切线垂直于
11、经过切点的半径；切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径；(2)(2)推论推论1 1 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心；经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心；(3)(3)推论推论2 2 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；考点九：切线长定理考点九：切线长定理1 1、切线长：在经过圆外一点的切线上，这点和、切线长：在经过圆外一点的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长；切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长；2 2、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平
12、分这它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角；两条切线的夹角；考点十：两圆的位置关系考点十：两圆的位置关系设设R R、r r为两圆的半径，为两圆的半径，d d为圆心距：为圆心距：(1)(1)两圆外离两圆外离dRdRr r；(2)(2)两圆外切两圆外切d dR Rr r；(3)(3)两圆相交两圆相交R RrdRrdr)r(Rr)；(5)(5)两圆内含两圆内含dRdr)r(Rr)(注意：两圆内含时，如果注意：两圆内含时，如果d d为为0 0，则两圆为同心圆，则两圆为同心圆)；考点十一：多边形的内切圆考点十一：多边形的内切圆1 1、与三角形、与三角形(多边形多边形)内切圆有关的一些概
13、念内切圆有关的一些概念(1)(1)和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形；圆的外切三角形；(2)(2)和多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，和多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形；这个多边形叫做圆的外切多边形；2 2、三角形的内心的性质：三角形的内心是三角形、三角形的内心的性质：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，它到三边的距离相等，且在三条角平分线的交点，它到三边的距离相等，且在三角形内部；三角形内部；考点
14、十二：弧长、扇形的面积考点十二：弧长、扇形的面积1 1、如果弧长为、如果弧长为l l，圆心角为，圆心角为n n，圆的半径为，圆的半径为r r，那么弧长的计算公式为：那么弧长的计算公式为：l=l=；2 2、由组成圆心角的两条半径和圆心角所对弧围成、由组成圆心角的两条半径和圆心角所对弧围成的图形叫做扇形。若扇形的圆心角为的图形叫做扇形。若扇形的圆心角为n n，所在圆，所在圆半径为半径为r,r,弧长为弧长为l,l,面积为面积为S,S,则则S S ,或或S Slrlr；180180n n r r360360n n r r2 2考点十三：圆柱和圆锥考点十三：圆柱和圆锥1 1、圆柱的侧面展开图是矩形，这个
15、矩形的长等于、圆柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的长等于圆柱的底面圆的周长圆柱的底面圆的周长c c，宽是圆柱的母线长，宽是圆柱的母线长(或高或高)l)l，如果圆柱的底面半径是如果圆柱的底面半径是r r，则，则S S圆柱侧圆柱侧clcl ；2 2圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的弧长等圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的弧长等于圆锥的底面周长于圆锥的底面周长c c，扇形的半径等于圆锥的母线长，扇形的半径等于圆锥的母线长l l。若圆锥的底面半径为若圆锥的底面半径为r r，这个扇形的圆心角为，这个扇形的圆心角为，则，则 360360，S S圆锥侧圆锥侧 clcl ，S S圆锥全圆锥全 l lr r2 2
16、1 1rlr2rlrl2考点十四：有关阴影部分的面积计算考点十四：有关阴影部分的面积计算1 1、规则图形：按规则图形的面积公式求；、规则图形：按规则图形的面积公式求；2 2、不规则图形：采用、不规则图形：采用“转化转化”的数学思想方的数学思想方法，把不规则图形的面积采用法，把不规则图形的面积采用“割补法割补法”、“等积变形法等积变形法”、“平移法平移法”、“旋转法旋转法”等等转化为规则图形的面积后再求。转化为规则图形的面积后再求。考点十五：圆的综合测试题考点十五：圆的综合测试题 此类题型是每一届中考试题中的重头戏，一考学此类题型是每一届中考试题中的重头戏，一考学生对数学知识理解的全面性、准确性
17、、清晰性、明确生对数学知识理解的全面性、准确性、清晰性、明确性、可操作性，二考查学生心智、个性、运用、观念、性、可操作性，二考查学生心智、个性、运用、观念、精神等方面是否和谐协调地得到了发展，三考学生是精神等方面是否和谐协调地得到了发展，三考学生是否能做到数学知识的互相交叉，相互依存，终究就在否能做到数学知识的互相交叉，相互依存，终究就在于考查学生知识与能力、过程与方法、情感态度与价于考查学生知识与能力、过程与方法、情感态度与价值观等学习目标的达成情况。值观等学习目标的达成情况。补充知识：补充知识：1、同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等；、同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等；2、圆内接四边形对
18、角互补（四点共圆的条件）；、圆内接四边形对角互补（四点共圆的条件）；3、相交弦定理：同圆中如果有两条弦相交，那、相交弦定理：同圆中如果有两条弦相交，那么一条弦被交点所分的两部分长的乘积等于另一条弦么一条弦被交点所分的两部分长的乘积等于另一条弦被交点所分的两部分长的乘积；被交点所分的两部分长的乘积；4、割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这、割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等；一点到每条割线与圆交点的距离的积相等；5、弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的、弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角；圆周角；6、切割线定理：从圆外一点引圆的一条切线和、切
19、割线定理：从圆外一点引圆的一条切线和一条割线，则切线长的平方是这点到割线与圆相交点一条割线，则切线长的平方是这点到割线与圆相交点的两条线段长的乘积。的两条线段长的乘积。【提示】主要考圆心角、圆周角、【提示】主要考圆心角、圆周角、弧等相关知识和等腰三角形的性质，弧等相关知识和等腰三角形的性质，重点在于辅助线的作法。重点在于辅助线的作法。【例【例1 1】如图，已知在如图，已知在ABC中，中，ABAC，以，以AB为为直径作半圆直径作半圆O，交，交BC于点于点D。若。若BAC400，则，则 的度数是多少度？的度数是多少度？【例【例2 2】如图，在直角坐标系中，】如图，在直角坐标系中，A A的圆心的圆心
20、A A的的坐标为（坐标为（-1-1，0 0），半径为），半径为1 1，点，点P P为直线为直线 上的动点，过点上的动点，过点P P作作AA的切线，切点为的切线，切点为Q Q，则切，则切线长线长PQPQ的最小值是多少？的最小值是多少？【提示】主要考查切线的性质，【提示】主要考查切线的性质，掌握过切点的半径与切线垂直掌握过切点的半径与切线垂直是解题的关键，利用垂直构造是解题的关键，利用垂直构造直角三角形解决有问题直角三角形解决有问题【例【例3 3】如图，】如图，ABAB是是OO的直径，的直径，CDCD，EFEF是是OO的弦，且的弦，且ABCDEFABCDEF，AB=10AB=10，CD=6CD=6
21、，EF=8EF=8。求图中阴影部分的面积。求图中阴影部分的面积。（提示：运用图形变换、转化（提示：运用图形变换、转化等方法解决圆中的相关问题）等方法解决圆中的相关问题）【例【例4 4】如图，已知：】如图，已知：ABAB是是O O的直径，点的直径，点C C在在O O上，上，CDCD是是O O的切线，的切线，ADADCDCD于点于点D D，E E是是ABAB延长线上一点，延长线上一点，CECE交交O O于点于点F F，连结连结OCOC，ACAC。(1)(1)求证：求证：ACAC平分平分DAODAO；(2)(2)若若DAO=105DAO=105，E=30E=30；求求OCEOCE的度数；的度数；若若
22、OO的半径为的半径为2 2 ，求线段，求线段EFEF的长。的长。（提示：切线性质、平行线的判定和性（提示：切线性质、平行线的判定和性质、垂径定理、等腰直角三角形的性质、质、垂径定理、等腰直角三角形的性质、三角函数）三角函数）【例【例5】如图如图,AB,AB是是OO的直径的直径,点点C C在在ABAB的延长线上的延长线上,ADAD平分平分CAECAE交交OO于点于点D D，且，且AECDAECD，垂足为点，垂足为点E E。（1）求证：直线）求证：直线CE是是 O的切线；的切线；（2）若）若BC=3，CD=3 ，求弦，求弦AD的长。的长。（提示：图中的计算问题（提示：图中的计算问题圆心角、圆圆心角
23、、圆周角、构造平行线进行运用、切的的判周角、构造平行线进行运用、切的的判定、勾股定理、相似三角形的判定与性定、勾股定理、相似三角形的判定与性质）质）特别是：特别是：弦切角在此题中的运用弦切角在此题中的运用能帮助学生很准确地识别三角形相似，能帮助学生很准确地识别三角形相似，从而找出要求的边与其他已知和未知的从而找出要求的边与其他已知和未知的边的关系来解决问题边的关系来解决问题【例【例6 6】如图】如图l l，在，在APEAPE中，中，PAE=90PAE=90，POPO是是APEAPE的角的角平分线，以平分线，以O O为圆心、为圆心、OAOA为半径作圆交为半径作圆交AEAE于点于点G G(1)(1
24、)求证：直线求证：直线PEPE是是OO的切线；的切线；(2)(2)在图在图2 2中，设中，设PEPE与与OO相切于点相切于点H H，连结，连结AHAH，点，点D D是是OO的的劣弧劣弧 上的一点，过点上的一点，过点D D作作OO的切线，交的切线，交PAPA于点于点B B，交，交PEPE于点于点C C，已知，已知PBCPBC的周长为的周长为4 4，tanEAH=.tanEAH=.求求EHEH的长。的长。（提示：切线的判定及性（提示：切线的判定及性质、相似三角形的判定及质、相似三角形的判定及性质、三角函数）性质、三角函数）特别是：特别是：弦切角定弦切角定理和切割线定理在此题中理和切割线定理在此题中
25、的运用能帮助学生很准确的运用能帮助学生很准确地识别三角形相似从而解地识别三角形相似从而解决所求问题。决所求问题。【例【例7 7】如图，如图，CE是是 O的直径，的直径，BD切切 O于于点点D，DEBO，CE的延长线交的延长线交BD于点于点A（1）求证：直线）求证：直线BC是是 O的切线；的切线；（2）若）若AE=2，tanDEO=，求，求AO的长的长（提示：与圆有关的位置关系、三角函（提示：与圆有关的位置关系、三角函数、全等三角形的判定、平行线的性质、数、全等三角形的判定、平行线的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、几何代数法的运用）与性
26、质、勾股定理、几何代数法的运用）【例【例8 8】如图，在】如图，在ABCABC中，以中，以ACAC为直径作为直径作OO交交BCBC于于点点D D，交，交ABAB于点于点G G，且，且D D是是BCBC中点，中点，DEABDEAB，垂足为，垂足为E E，交交ACAC的延长线于点的延长线于点F F。(1)(1)求证：直线求证：直线EFEF是是OO的切线；的切线；(2)CF=5(2)CF=5，cosA=cosA=，求，求BEBE的长。的长。（提示：三角形中位线的判定及性质、平行（提示：三角形中位线的判定及性质、平行线的性质、切的判定、圆中的计算问题和与线的性质、切的判定、圆中的计算问题和与圆有关的位
27、置关系、垂直平分线的性质、三圆有关的位置关系、垂直平分线的性质、三角函数、平行线分线段成比例定理）角函数、平行线分线段成比例定理）【例【例9】如图，在】如图，在 O中，中，AB是直径，点是直径，点D是是 O上上一点，点一点，点C是是 的中点，弦的中点，弦CEAB于点于点F，过点，过点D的切线交的切线交EC的延长线于点的延长线于点G，连接，连接AD，分别交，分别交CF、BC于点于点P、Q，连接，连接AC给出下列结论：给出下列结论：BAD=ABC；GP=GD；点点P是是ACQ的外心；的外心；APAD=CQCB。其中正确的是其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）（写出所有正确结论的序号）(提示：切
28、线的性质、圆周提示：切线的性质、圆周角定理、三角形的外接圆角定理、三角形的外接圆与外心、相似三角形的判与外心、相似三角形的判定与性质、弦切角）定与性质、弦切角）辅助线（圆口诀）辅助线（圆口诀）半径与弦长计算，弦心距来中间站；圆上若有一切线，切点圆心半径连；半径与弦长计算，弦心距来中间站；圆上若有一切线，切点圆心半径连；切线长度的计算，勾股定理最方便；要想证明是切线，半径垂线仔细辨；切线长度的计算，勾股定理最方便；要想证明是切线，半径垂线仔细辨；是直径，成半圆，想成直角径连弦；弧有中点圆心连，垂径定理要记全；是直径，成半圆，想成直角径连弦；弧有中点圆心连，垂径定理要记全；圆周角边两条弦，直径和弦
29、端点连；弦切角边切线弦，同弧对角等找完；圆周角边两条弦，直径和弦端点连；弦切角边切线弦，同弧对角等找完；要想作个外接圆，各边作出中垂线；还要作个内接圆，内角平分线梦圆；要想作个外接圆，各边作出中垂线；还要作个内接圆，内角平分线梦圆；如果遇到相交圆，不要忘作公共弦；内外相切的两圆，经过切点公切线；如果遇到相交圆，不要忘作公共弦；内外相切的两圆，经过切点公切线；若是添上连心线，切点肯定在上面；要作等角添个圆，证明题目少困难；若是添上连心线，切点肯定在上面；要作等角添个圆，证明题目少困难；辅助线，是虚线，画图注意勿改变；假如图形较分散，对称旋转去实验；辅助线，是虚线，画图注意勿改变；假如图形较分散，对称旋转去实验；基本作图很关键，平时掌握要熟练；解题还要多心眼，经常总结方法显；基本作图很关键，平时掌握要熟练；解题还要多心眼，经常总结方法显；切勿盲目乱添线，方法灵活多应变；分析综合方法选，困难再多也会减；切勿盲目乱添线，方法灵活多应变；分析综合方法选，困难再多也会减；虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。
