1、专题九专题九 二次函数压二次函数压轴题轴题类型四类型四 直角三角形判定直角三角形判定问题问题例4(2018洛阳模拟)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y x2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C；抛物线yax2bxc关于直线x 对称，且经过A、C两点，与x轴交于另一点为B.(1)求抛物线的解析式；(2)若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，过点P作PMx轴交x轴于M,交AC于Q，求PQ的最大值，并求此时APC的面积；(3)在抛物线的对称轴上找出使ADC为直角三角形的点D，请直接写出点D的坐标3212典例精析例4题图 A(_，0)，B(_，0)，C(0，_)，设P点的横坐标为m，则P(m，)，Q
2、(m，)，D(_，m)，AO_，CO_，PQ (1)【自主作答【自主作答】412213222mm122m32422122mm热身小练习热身小练习解：解：(1)令y x20，解得x4，即点A的坐标为(4，0)，令x0，则y2，点C的坐标为(0，2)，点A、B关于直线x 对称，点B的坐标为(1，0)，抛物线yax2bxc经过点A、B、C，解得 ，故抛物线解析式为y x2 x2；1232201640ca b cab c 12322abc121232(2)【思维教练】设点Q的坐标为(m，m2)，P点坐标为(m，m2 m2)，由此得到PQ (m2)22，由二次函数最值的求法得到点P坐标，再由分割法可求得
3、：SP ACS四边形OCPMSPMASAOC.【自主作答】32121212(2)直线AC的解析式为y x2，设点P坐标为(m，m2 m2)，则点Q的坐标为(m，m2)，PQ(m2 m2)(m2)m22m (m2)22，当m2时，PQ最大2，此时点P(2，3)，SP ACS梯形OCPMSPMASAOC (23)2 23 245344；123212121212321212121212(3)【思维教练】要使ADC为直角三角形，需分三种情况：当点C为直角顶点；当点A为直角顶点；当点D为直角顶点，继而利用三角形相似而求得点D的坐标【自主作答】(3)点D的坐标为(，5)，(，5)，()，()【解法提示解法
4、提示】假设存在，设D点的坐标(，n)ADC为直角三角形分三种情况：当点C为直角顶点时，如解图，过点D1作D1Ny轴于点N，由CD1NACO，可得：，CN3，ON5即D1(，5)，同理当点A为直角顶点时可求D2(，5)，3232319,122319,122321NCOANDOC4322NC3232例4题解图当点D为直角顶点时：如解图，过点D3作NHy轴交y轴于点N，过点A作x轴的垂线交NH于点H，由CD3ND3AH，可得 ，整理得n22n ，解得n1 ，D3()，D4()，故点D的坐标为(，5)，(，5)，()，()3232319,122319,12233NCDHNDAH342232nn154192319,122319,122例4题解图【方法指导方法指导】探究直角三角形的存在性问题，具体做探究直角三角形的存在性问题，具体做法如下：法如下：(1)观察图形，判断顶点是否确定，若不确定，则需分类讨论；(2)结合题干，在图中找出所有满足条件的顶点，并画出图形；(3)设出含有题目参数的三角形顶点坐标，根据一次函数或二次函数解析式使其含有一个参数；(4)根据点的横坐标和纵坐标在平面直角坐标系中与线段的关系，表示出相关直角三角形每条边的长度，根据直角三角形的性质列出关系式，一般利用勾股定理或三角形相似建立等量关系，求出参数
