1、河北专版圆的综合题动点问题常分为单动点问题和双动点问题,一般是探索某个几何图形中一个或几个点在运动变化过程中形成的等量关系或变量关系、图形的特殊状态、图形之间的特殊关系等.解题时,必须关注动点的运动方向、范围(直线、射线、线段)和速度,以便确定是否需要分类讨论.类型一动点问题（2018,25）例例1 2019唐山古冶区一模如图Z8-1,AB为半圆O的直径,且AO=4,点C在半圆上,OCAB,垂足为点O,P为半圆上任意一点,过点P作PEOC于点E,设OPE的内心为M,连接OM.(1)求OMP的度数.(2)随着点P在半圆上位置的改变,CMO的大小是否改变?请说明理由.(3)当点P在半圆上从点B运动
2、到点A时,直接写出内心M所经过的路径长.图Z8-1例例1 2019唐山古冶区一模如图Z8-1,AB为半圆O的直径,且AO=4,点C在半圆上,OCAB,垂足为点O,P为半圆上任意一点,过点P作PEOC于点E,设OPE的内心为M,连接OM.(2)随着点P在半圆上位置的改变,CMO的大小是否改变?请说明理由.图Z8-1例例1 2019唐山古冶区一模如图Z8-1,AB为半圆O的直径,且AO=4,点C在半圆上,OCAB,垂足为点O,P为半圆上任意一点,过点P作PEOC于点E,设OPE的内心为M,连接OM.(3)当点P在半圆上从点B运动到点A时,直接写出内心M所经过的路径长.图Z8-1【方法点析】解决动点
3、问题的关键是“化动为静”,即把动点问题转化为普通的几何计算或几何证明问题.如本题(3),该题的难点是怎样理解点M的运动路线,当点P在半径OC的右侧和左侧的半圆上时,点M的运动路线分别在以AC,BC为直径的圆弧上,因此要分类讨论.|题型精练|1.2019保定一模在ABC中,AB=AC=5,BC=8,点M是ABC的中线AD上一点,以M为圆心作M.设半径为r.(1)如图Z8-2,当点M与点A重合时,分别过点B,C作M的切线,切点为点E,F.求证:BE=CF;(2)如图,若点M与点D重合,且半圆M恰好落在ABC的内部,求r的取值范围;(3)当M为ABC的内心时,求AM的长.图Z8-2解:(1)如图,连
4、接AE,AF.BE和CF分别是O的切线,BEA=CFA=90.又AB=AC,AE=AF,RtBAE RtCAF(HL).BE=CF.1.2019保定一模在ABC中,AB=AC=5,BC=8,点M是ABC的中线AD上一点,以M为圆心作M.设半径为r.(2)如图,若点M与点D重合,且半圆M恰好落在ABC的内部,求r的取值范围;图Z8-21.2019保定一模在ABC中,AB=AC=5,BC=8,点M是ABC的中线AD上一点,以M为圆心作M.设半径为r.(3)当M为ABC的内心时,求AM的长.图Z8-22.2019秦皇岛海港区模拟如图Z8-3,半圆D的直径AB=4,线段OA=7,O为原点,点B在数轴的
5、正半轴上运动,点B在数轴上所表示的数为m.(1)当半圆D与数轴相切时,m=.(2)半圆D与数轴有两个公共点,设另一个公共点是C.直接写出m的取值范围是;当BC=2时,求AOB与半圆D的公共部分的面积.(3)当AOB的内心、外心与某一个顶点在同一条直线上时,求tanAOB的值.图Z8-32.2019秦皇岛海港区模拟如图Z8-3,半圆D的直径AB=4,线段OA=7,O为原点,点B在数轴的正半轴上运动,点B在数轴上所表示的数为m.(2)半圆D与数轴有两个公共点,设另一个公共点是C.直接写出m的取值范围是;图Z8-32.2019秦皇岛海港区模拟如图Z8-3,半圆D的直径AB=4,线段OA=7,O为原点
6、,点B在数轴的正半轴上运动,点B在数轴上所表示的数为m.(2)半圆D与数轴有两个公共点,设另一个公共点是C.当BC=2时,求AOB与半圆D的公共部分的面积.图Z8-32.2019秦皇岛海港区模拟如图Z8-3,半圆D的直径AB=4,线段OA=7,O为原点,点B在数轴的正半轴上运动,点B在数轴上所表示的数为m.(3)当AOB的内心、外心与某一个顶点在同一条直线上时,求tanAOB的值.图Z8-3图Z8-4图Z8-4图Z8-4动线问题通常与动点问题相结合,解题时仍然要根据动点或动线的速度,正确表示图中线段之间的长度及函数关系,分情况考虑运动中图形的位置、形状、数量等关系,选择方程、函数或构造直角三角
7、形、相似三角形来解决问题.类型二线段旋转问题（2017,23/2013,24）例例2 2018秦皇岛青龙一模 如图Z8-5,在等边三角形AOB中,将扇形COD按图方式摆放,使扇形的半径OC,OD分别与OA,OB重合,OA=OB=2,OC=OD=1,固定等边三角形AOB不动,让扇形COD绕点O逆时针旋转,线段AC,BD也随之变化,设旋转角为.(0360)(1)当OCAB时,旋转角=度;发现:(2)线段AC与BD有何数量关系,请仅就图给出证明;应用:(3)当A,C,D三点共线时,求BD的长;拓展:(4)P是线段AB上任意一点,在扇形COD的旋转过程中,请直接写出线段PC的最大值与最小值.图Z8-5
8、解：(1)60或240解析如图中,ABO是等边三角形,AOB=COD=60.当点D在线段AO和线段AO的延长线上时,OCAB,此时旋转角=60或240.例例2 2018秦皇岛青龙一模 如图Z8-5,在等边三角形AOB中,将扇形COD按图方式摆放,使扇形的半径OC,OD分别与OA,OB重合,OA=OB=2,OC=OD=1,固定等边三角形AOB不动,让扇形COD绕点O逆时针旋转,线段AC,BD也随之变化,设旋转角为.(0360)发现:(2)线段AC与BD有何数量关系,请仅就图给出证明;图Z8-5例例2 2018秦皇岛青龙一模 如图Z8-5,在等边三角形AOB中,将扇形COD按图方式摆放,使扇形的半
9、径OC,OD分别与OA,OB重合,OA=OB=2,OC=OD=1,固定等边三角形AOB不动,让扇形COD绕点O逆时针旋转,线段AC,BD也随之变化,设旋转角为.(0360)应用:(3)当A,C,D三点共线时,求BD的长;图Z8-5例例2 2018秦皇岛青龙一模 如图Z8-5,在等边三角形AOB中,将扇形COD按图方式摆放,使扇形的半径OC,OD分别与OA,OB重合,OA=OB=2,OC=OD=1,固定等边三角形AOB不动,让扇形COD绕点O逆时针旋转,线段AC,BD也随之变化,设旋转角为.(00),用含x的代数式表示BN的长,并求x的取值范围.探究当半圆K与矩形ABCD的边相切时,求sin的值
10、.图Z8-123.2015河北26题 在平面内,矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图Z8-12摆放,分别延长DA和QP交于点O,且DOQ=60,OQ=OD=3,OP=2,OA=AB=1.将线段OD及矩形ABCD的位置固定,将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时针方向开始旋转,设旋转角为(060).发现(2)在OQ旋转过程中,简要说明是多少时,点P,A间的距离最小?并求出这个最小值.图Z8-123.2015河北26题 在平面内,矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图Z8-12摆放,分别延长DA和QP交于点O,且DOQ=60,OQ=OD=3,OP=2,OA=AB=1.将线段OD及矩形ABCD的位置
11、固定,将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时针方向开始旋转,设旋转角为(060).发现(3)如图,当点P恰好落在BC边上时,求及S阴影.图Z8-123.2015河北26题 在平面内,矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图Z8-12摆放,分别延长DA和QP交于点O,且DOQ=60,OQ=OD=3,OP=2,OA=AB=1.将线段OD及矩形ABCD的位置固定,将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时针方向开始旋转,设旋转角为(060).拓展如图,当线段OQ与CB边交于点M,与BA边交于点N时,设BM=x(x0),用含x的代数式表示BN的长,并求x的取值范围.图Z8-123.2015河北26题 在平
12、面内,矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图Z8-12摆放,分别延长DA和QP交于点O,且DOQ=60,OQ=OD=3,OP=2,OA=AB=1.将线段OD及矩形ABCD的位置固定,将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时针方向开始旋转,设旋转角为(060).探究当半圆K与矩形ABCD的边相切时,求sin的值.图Z8-12折叠问题的本质是轴对称,在解折叠问题时,要紧紧抓住对称的特征:折叠前后的图形全等,对应部分相等,以及对应点的连线被对称轴垂直平分.对于圆中的折叠问题,除用好轴对称的性质,还要注意圆的特殊性,找准其解题关键突破口,作出折叠后的弧所在圆的圆心.突破难点后,问题便转化成我们熟悉的显性圆的常规问题,然后,综合利用圆的各种性质、相关定理、公式,使问题得以解决.类型四折叠问题（2014,25）图Z8-13解：(1)8图Z8-13解：(2)030图Z8-13图Z8-13图Z8-14图Z8-14图Z8-14|题型精练|图Z8-15图Z8-15图Z8-15图Z8-16图Z8-16图Z8-17图Z8-17图Z8-18图Z8-18图Z8-18
