1、第第12讲二次函数及其图象与性质讲二次函数及其图象与性质考点考点1 二次函数的概念及解析式二次函数的概念及解析式1.一般地一般地,形如形如y=_(a,b,c是常数是常数,a0)的函数的函数,叫做叫做二次函数二次函数.2.二次函数解析式的三种形式二次函数解析式的三种形式(1)一般式一般式:y=ax2+bx+c(a,b,c为常数为常数,a0).(2)顶点式顶点式:y=_(a,h,k为常数为常数,a0),顶点坐标是顶点坐标是(h,k).(3)交点式交点式:y=_,其中其中x1,x2是二次函数与是二次函数与x轴的交轴的交点的横坐标点的横坐标,a0.ax2+bx+ca(x-h)2+ka(x-x1)(x-
2、x2)考点考点2 二次函数的图象及性质二次函数的图象及性质1.二次函数的图象与性质二次函数的图象与性质向上向上向下向下低低高高减小减小增大增大增大增大减小减小2.二次函数图象的特征与二次函数图象的特征与a,b,c的的关系关系 y左侧左侧右侧右侧温馨提示温馨提示某些某些特殊形式代数式的值或符号特殊形式代数式的值或符号1.ab+c即为即为x=_时时y的值的值.2.4a2b+c即为即为x=_时时y的值的值.12考点考点3 确定函数解析式确定函数解析式1.方法方法:待定系数法待定系数法y=a(x-x1)(x-x2)2.顶点式的几种特殊形式顶点式的几种特殊形式(a0)(1)y=ax2(2)_y=ax2+
3、k(3)_(4)_y=a(x-h)2y=a(x-h)2+k3.几种特殊的二次函数的图象几种特殊的二次函数的图象特征特征 考点考点4 抛物线的变换抛物线的变换1.二次函数二次函数y=ax2+c的图象的平移的图象的平移(“上加下减上加下减,左加右减左加右减”)上下平移上下平移m个单位个单位y=ax2+cm;左右平移左右平移n个单位个单位y=a(xn)2+c.2.二次函数二次函数y=ax2+bx+c的图象的翻折的图象的翻折(1)关于关于x轴对称轴对称y=ax2+bx+cy=-ax2-bx-c;y=a(x-h)2+ky=-a(x-h)2-k;(2)关于关于y轴对称轴对称y=ax2+bx+cy=ax2-
4、bx+c;y=a(x-h)2+ky=a(x+h)2+k.3.二次函数二次函数y=ax2+bx+c的图象的旋转的图象的旋转(1)绕顶点旋转绕顶点旋转180(即两条抛物线关于其顶点成中心对称即两条抛物线关于其顶点成中心对称)y=ax2+bx+cy=-ax2-bx-c;y=a(x-h)2+ky=-a(x-h)2+k.(2)将抛物线绕原点旋转将抛物线绕原点旋转180(即两条抛物线关于原点成中心即两条抛物线关于原点成中心对称对称)y=ax2+bx+cy=-ax2+bx-c;y=a(x-h)2+ky=-a(x+h)2-k.考点考点5 函数图象的画法函数图象的画法方法方法:五点法五点法五点草图法又叫做五点作
5、图法五点草图法又叫做五点作图法,五点分别为五点分别为:顶点、与顶点、与x轴的轴的交点、与交点、与y轴的交点及其关于对称轴的一组对称点轴的交点及其关于对称轴的一组对称点.核心素养核心素养1.下面表格列出了函数下面表格列出了函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数是常数,且且a0)的部的部分分x与与y的对应值的对应值,那么方程那么方程ax2+bx+c=0的一个根的一个根x的取值范围的取值范围是是()A.6x6.17 B.6.17x6.18C.6.18x6.19 D.6.19x9.20C2.如图如图,在平面直角坐标系网格中在平面直角坐标系网格中,点点Q,R,S,T都在格点上都在格点上,过点过点P(
6、1,2)的抛物线的抛物线y=ax2+2ax+c(a0)可能还经过可能还经过()A.点点QB.点点RC.点点SD.点点TDa0,抛物线开口向下抛物线开口向下,又又抛物线过点抛物线过点P(1,2),抛物线过点抛物线过点(-3,2),故抛物线不可能过点故抛物线不可能过点Q,S,R,则可能过点则可能过点T.3.根据程序生成函数根据程序生成函数,并使得并使得x=2时两个函数的值相等时两个函数的值相等.(1)求求m的值和函数表达式的值和函数表达式;(2)画出函数的草图画出函数的草图;(3)根据图象回答根据图象回答x取什么值时取什么值时,y的值随的值随x的增加而增加或减少的增加而增加或减少?解解:(1)根据
7、程序根据程序,得得22-1=(2-3)2+m,解得解得m=2,(2)草图如图所示草图如图所示:(3)当当0 x3时时,y的值随的值随x的增加而增加的增加而增加;当当2x3时时,y的值随的值随x的的增加而减少增加而减少.4.某学习小组在研究函数某学习小组在研究函数y=x3-2x的图象与性质时的图象与性质时,已列表、已列表、描点并画出了图象的一部分描点并画出了图象的一部分.(1)请补全函数图象请补全函数图象;解解:(1)补全函数图象如图补全函数图象如图.(2)方程方程 x3-2x=-2实数根的个数为实数根的个数为_;3(3)观察图象观察图象,写出该函数的两条性质写出该函数的两条性质.函数函数图象关
8、于原点成中心对称图象关于原点成中心对称;当当x0时函数有最小值时函数有最小值;当当x2时时,y随随x的增大而增大的增大而增大,当当-2x2时时,y随随x的增大而减小的增大而减小.(答案不唯一答案不唯一)命题命题1 二次函数的图象与性质二次函数的图象与性质【典例【典例1】(2020滨州滨州)对称轴为直线对称轴为直线x=1的抛物线的抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数为常数,且且a0)如图所示如图所示,小明同学得出了以小明同学得出了以下结论下结论:abc4ac,4a+2b+c0,3a+c0,a+bm(am+b)(m为任意实数为任意实数),当当x0,c0.b24ac.故故正确正确.当当x=2
9、时时,y=4a+2b+c0,3a+c0.故故正确正确;当当x=1时时,y的值最小的值最小,此时此时,y=a+b+c,而当而当x=m时时,y=am2+bm+c,a+b+cam2+bm+c.故故a+bam2+bm,即即a+bm(am+b).故故正确正确;当当x0C.b2-4ac0D.2a+b=0D2.(2020菏泽菏泽)一次函数一次函数y=acx+b与二次函数与二次函数y=ax2+bx+c在同在同一平面直角坐标系中的图象可能是一平面直角坐标系中的图象可能是()B3.(2020呼和浩特呼和浩特)关于二次函数关于二次函数y=x2-6x+a+27,下列说法错下列说法错误的是误的是()A.若将图象向上平移
10、若将图象向上平移10个单位个单位,再向左平移再向左平移2个单位长度后过个单位长度后过 点点(4,5),则则a=-5B.当当x=12时时,y有最小值有最小值a-9C.x=2对应的函数值比最小值大对应的函数值比最小值大7D.当当a0时时,图象与图象与x轴有两个不同的交点轴有两个不同的交点C4.(2020黄石黄石)若二次函数若二次函数y=a2x2-bx-c的图象的图象,过不同的六点过不同的六点A(-1,n),B(5,n-1),C(6,n+1),D(,y1),E(2,y2),F(4,y3),则则y1,y2,y3的的大小关系是大小关系是()A.y1y2y3B.y1y3y2C.y2y3y1D.y2y11)
11、沿沿y轴向下平移轴向下平移3个单位长度个单位长度.则平移后得到的抛物则平移后得到的抛物线的顶点一定在线的顶点一定在()A.第一象限第一象限B.第二象限第二象限C.第三象限第三象限D.第四象限第四象限D8.(2020威海威海)下表中下表中y与与x的数据满足我们初中学过的某种函的数据满足我们初中学过的某种函数关系数关系.其函数表达式为其函数表达式为_.y=-x2+2x+39.(2020农垦农垦)如图如图,已知二次函数已知二次函数y=-x2+(a+1)x-a与与x轴交于轴交于A,B两点两点(点点A位于点位于点B的左侧的左侧),与与y轴交于点轴交于点C,已知已知ABC的的面积是面积是6.(1)求求a的
12、值的值;(2)在抛物线上是否存在一点在抛物线上是否存在一点P,使使SABP=SABC.若存在请求出点若存在请求出点P的的坐标坐标;若不存在若不存在,请说明理由请说明理由.解解:(1)y=-x2+(a+1)x-a,令令x=0,则则y=-a,C(0,-a).令令y=0,即即-x2+(a+1)x-a=0解得解得x1=a,x2=1.由图象由图象,知知a0,A(a,0),B(1,0).解得解得a=-3,a=4(舍去舍去).(2)a=-3,C(0,3).SABP=SABC,点点P的纵坐标为的纵坐标为3.把把y=3代入代入y=-x2-2x+3得得-x2-2x+3=3,解得解得x=0或或x=-2;把把y=-3代入代入y=-x2-2x+3得得-x2-2x+3=-3,
