1、全等三全等三角形角形性质性质判定方法判定方法判定两个三角形全等的思路判定两个三角形全等的思路全等三角形常见模型全等三角形常见模型性质性质 返回返回1.全等三角形的对应边全等三角形的对应边 _，对应角，对应角 _2.全等三角形的对应线段（角平分线、中线、高线、全等三角形的对应线段（角平分线、中线、高线、中位线）中位线）_，对应周长，对应周长 _，对应面积，对应面积 _相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等要点追溯三角形全等的判定方法有哪些？1.SSS2.SAS3.ASA4.AAS5.HL（特殊）未完继续未完继续判判定定方方法法 夹边夹边夹角夹角对边对边SSS（边（边边边）边边）SAS（边角（边
2、角边）边）ASA（角边（角边角）角）AAS（角角边（角角边）HL有三边对有三边对应相等的应相等的两个三角两个三角形全等形全等有两边和他有两边和他们的们的 _对应对应相等的两个相等的两个三角形全等三角形全等有两角和他有两角和他们的们的 _对应对应相等的两个相等的两个三角形全等三角形全等有两角及其中有两角及其中一个角的一个角的 _对应相对应相等的两个三角等的两个三角形全等形全等斜边和斜边和 _分别相等的分别相等的两个直角三两个直角三角形全等角形全等一条直角边一条直角边返回返回温馨提示：温馨提示：1.“HL”只适用于直角三角形全等只适用于直角三角形全等的判定；的判定；2.“SSA”，“AAA”不能判
3、定三角形全等；（切记）不能判定三角形全等；（切记）3.证明三角形全等时，对应顶点的字母必须写在证明三角形全等时，对应顶点的字母必须写在对应对应位置上，养成良好的书写习惯位置上，养成良好的书写习惯要点追溯三角形全等的判定思路？1.已知两边2.已知一边一角3.已知两角 找夹角找夹角 _1.已知两边已知两边 找直角找直角 _ 找第三边找第三边 _ 边为角的对边边为角的对边找任意一角找任意一角 _ 边为角边为角 找夹角边找夹角边 _ 的邻边的邻边 找夹边角找夹边角 _ 找边的对角找边的对角 _ 找夹边找夹边 _ 找一角的对边找一角的对边 _2.已知一已知一边和一角边和一角3.已知两角已知两角判 定判
4、定两 个两 个三 角三 角形 全形 全等 的等 的思路思路SASHL(或或SAS)SSSAASSASASAAASASAAAS返回返回全等三角形模型建构要点追溯全 等全 等三 角三 角形 常形 常见 模见 模型型未完继续未完继续模型模型图形示例图形示例平移型平移型(、)平移平移+旋转型旋转型(、)翻折轴对翻折轴对称型称型模型模型图形示例图形示例旋转旋转型型三垂三垂直型直型全 等全 等三 角三 角形 常形 常见 模见 模型型返回返回知识迁移中考重难点中考重难点全等三角形有关的证明与计算全等三角形有关的证明与计算1.旋转型旋转型 2.对称型对称型 3.三垂直型三垂直型与全等三角形有关的证明与计算与全
5、等三角形有关的证明与计算旋转型旋转型例例 1 如图，已知如图，已知ACAE，DAB CAE，BE、CD交于点交于点P.(1)请你添加一个条件，使请你添加一个条件，使ACDAEB，并说明理由；，并说明理由；【自主解答自主解答】解：解：(1)由由DABCAE得得DACBAE；用用“SAS”证证ACDAEB，则可添加，则可添加ADAB；用用“ASA”证证ACDAEB，则可添加，则可添加CE；用用“AAS”证证ACDAEB，则可添加，则可添加DB；(2)若若DAC90，BAC20，ADAB，求，求CPE的的大小；大小；【思维教练思维教练】要求要求CPE的大小，已知的大小，已知ACAE，ADAB，则想到
6、利用全等三角形的性质得出相关的角度关系进行求则想到利用全等三角形的性质得出相关的角度关系进行求解解 解：解：(2)ACDAEB，CE，BAEDAC90，CAEBAEBAC70，又又DCBE，ACAE，据题意可得据题意可得CPECCAEE，CPECAE70；练习练习1 如图，在如图，在ABC中，点中，点D为为BC上一点，连接上一点，连接AD，在在AD的右侧作的右侧作ADE，且，且ADAE，BAC.(1)若若ABAC，DAE：求证：求证：BDCE；设设BCE.则则，之间有怎之间有怎 样的样的数量关系？请直接写出你的结论数量关系？请直接写出你的结论(2)在在(1)条件下，若条件下，若90，如图，猜想
7、，如图，猜想BD、CD与与AD三三者之间的数量关系，并给予证明者之间的数量关系，并给予证明解：解：(1)证明证明BACDAE，BACDACDAEDAC.即即BADCAE.又又ADAE，ABAC，ABDACE(SAS)；BDCE；由得由得BACE.BACBACEACB.BACB，BACB180，180；(2)2AD2CD2+BD2.证明由证明由(1)可得可得BDCE，由由(1)得得BCE180，BCE90，由勾股定理得由勾股定理得AD2AE2DE2，CD2CE2DE2，AD2AE2CD2CE2，又，又ADAE，BDCE，2AD2CD2BD2.对称型对称型例例 2 某产品的商标如图所示，某产品的商
8、标如图所示，O是线段是线段AC、DB的交点，且的交点，且ACBD，ABDC，有人认为图中的两个三角形全等，他的，有人认为图中的两个三角形全等，他的思考过程是：思考过程是：ACDB，AOBDOC，ABDC，ABODCO.你认为这个思考过程对吗？如果正确，指出他用的是判定三你认为这个思考过程对吗？如果正确，指出他用的是判定三角形全等的哪个条件；如果不正确，写出你的思考过程；角形全等的哪个条件；如果不正确，写出你的思考过程；解：显然这个思考过程是不正确的，因为已知条件不能直接解：显然这个思考过程是不正确的，因为已知条件不能直接得到这两个三角形全等得到这两个三角形全等可考虑连接可考虑连接BC，由，由S
9、SS可先得可先得ABC和和DCB全等，由全等全等，由全等三角形的性质，可得到三角形的性质，可得到AD，再根据，再根据AOBDOC，ABDC，由，由AAS得到得到ABODCO.变式变式1 如图，已知点如图，已知点D在在AB上，点上，点E在在AC上，上，BE和和CD相交相交于点于点O，OBOC，BC.求证：求证：ABEACD.证明：证明：OBOC，BC，DOBEOC，DOBEOC(ASA)，ODOE，BECD，AA，BC，ABEACD(AAS)拓展拓展 如图所示，在如图所示，在ABC中，中，AD是是BAC的外角平分线，的外角平分线，P是是AD上异于点上异于点A的任意一点，试比较的任意一点，试比较P
10、BPC与与ABAC的的大小，并说明理由大小，并说明理由解：解：PBPCABAC，理由如下：，理由如下：如解图所示，在如解图所示，在BA的延长线上截取的延长线上截取AEAC，连接，连接PE.AD是是BAC的外角平分线，的外角平分线，CAPEAP.在在ACP和和AEP中，中，ACAE，CAPEAP，APAP，ACPAEP，PCPE.在在BPE中，中，PBPEBE，而而BEBAAEABAC，故，故PBPCABAC.变式变式2 在在ABC中，中，ABAC，AD是是BAC的平分线，的平分线，P是是AD上任意一点上任意一点求证：求证：ABACPBPC.证明：如解图，在证明：如解图，在AB上截取上截取AEA
11、C，连接，连接EP，AD是是ABC的平分线，的平分线，BADCAD，在在APE和和APC，AEPACP，PEPC，在在BEP中，中，BEPBPE，BEABAC，ABACPBPC.,AEACBADCADAPAP 三垂直型三垂直型例例 3 如图，如图，ACB90，ACBC，ADCE，BECE，垂足分别为垂足分别为D、E.求证：求证：ACDCBE.证明：证明：ADCE，BECE，ADCE90，BBCE90，又又ACB90，BCEACD90，BACD，在在BEC和和CDA中，中，ACDCBE(AAS)；ADCEACDBACBC 练习练习2 (2019南昌改编南昌改编)如图，边长为如图，边长为4的正方形
12、的正方形ABCD中，点中，点E在在AB边上边上(不与点不与点A，B重合重合)，点，点F在在BC边上边上(不与点不与点B、C重合重合)将线段将线段EF绕点绕点F顺时针旋转，当点顺时针旋转，当点E落在正方落在正方 形上时，记为第一次操作记为点形上时，记为第一次操作记为点G；将线段将线段FG绕点绕点G顺时针旋转，当点顺时针旋转，当点F落在正方落在正方 形上时，记为第二次操作；形上时，记为第二次操作；已知已知EFD是经过两次操作后得到的，求此时线段是经过两次操作后得到的，求此时线段EF的长的长解：解：四边形四边形ABCD是正方形是正方形ADCDBCAB，ABC90.DEDF，RtADERtCDF(HL
13、)，AECF，BEBF，BEF是等腰直角三角形是等腰直角三角形设设EF长为长为x，则，则BE x，AE4 x.2222在在RtADE中，中，DE2AD2AE2，DEEF，x242(4 x)2，x28x640，解得解得x14 4 ，x24 4 (不合题意，舍去不合题意，舍去)，EF4 4 .22222666题源总结寻找边、角相等的方法寻找边、角相等的方法1寻找角相等：寻找角相等：(1)有对顶角的，对顶角常是对应角；有对顶角的，对顶角常是对应角；(2)涉及角平分线，有两个角相等；涉及角平分线，有两个角相等；(3)两直线平行，内错角、同位角相等；两直线平行，内错角、同位角相等；(4)在直角三角形中，
14、两锐角互余；在直角三角形中，两锐角互余；满满 分分技技法法(5)特殊几何图形中隐含的条件特殊几何图形中隐含的条件(如等腰三角形、等边三角形、平如等腰三角形、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形行四边形、矩形、菱形、正方形)；(6)三角形的外角等于不相邻的两内角和；三角形的外角等于不相邻的两内角和；(7)涉及高线，有两个涉及高线，有两个90角；角；(8)有公共角的，公共角常是对应角，若仅含有一部分公共角，可有公共角的，公共角常是对应角，若仅含有一部分公共角，可考虑运用角的和差寻找等角考虑运用角的和差寻找等角2寻找边相等：寻找边相等：(1)角平分线上的点到角两边的距离相等；角平分线上的点到角两边的距离相等；(2)有公共边的，公共边常是对应边，若某一对应边仅有一部分公有公共边的，公共边常是对应边，若某一对应边仅有一部分公共边，可以利用线段的和或差得边相等；共边，可以利用线段的和或差得边相等；(3)特殊几何图形中特殊几何图形中隐含的条件隐含的条件(如等腰三角形、等边三角形、平如等腰三角形、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形行四边形、矩形、菱形、正方形)；(4)垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；(5)若涉及中点、中位线时得到线段相等若涉及中点、中位线时得到线段相等
