1、第一章 特殊平行四边形 综合素质评价一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分1【2023梅州丰顺县月考】正方形具有而矩形不一定具有的性质是()A四个角都是直角 B对角线相等C四条边相等 D对角线互相平分2【2023深圳期末】如图，菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点若菱形ABCD的周长为32，则线段EF的长为()A4 B6 C8 D123如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若AOB60，BD8，则DC 的长为()A4 B4 C3 D54【2023佛山顺德区期中】如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若AB2，AC3，则矩形AEFC的面积
2、为()A3 B2 C4 D65【2023深圳罗湖外国语学校期中】如图，四边形ABCD中，ACBD，顺次连接四边形各边中点得到的图形是()A菱形 B矩形 C正方形 D以上都不对6如图，在矩形ABCD中，AD10，AB6，E为BC上一点，ED平分AEC，则BE的长为()A10 B8 C6 D47如图，在ABC中，BAC90，AB6，AC8，P为边BC上一动点，PEAB于点E，PFAC于点F，M为EF的中点，则PM的最小值为()A5 B2.5 C4.8 D2.48【母题：教材P25习题T4】如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E是边CD上一点，连接OE，过点O作OFOE，交AD于点F.若
3、四边形EOFD的面积是1，则AB的长为()A1 B C2 D29【2023深圳翠园教育集团期中】如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点G在CD上，BC8，CE4，H是AF的中点，那么CH的长为()A4 B2 C4 D210如图，在矩形ABCD中，ADAB，BAD的平分线交BC于点E，DHAE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O.下列结论：AEAD；AEDCED；BHHF；ABCFHE.其中正确的有()A4个 B3个 C2个 D1个二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分11【2023梅州顺丰县期中】若平行四边形ABCD的对角线ACBD，且AB5 cm，则BC_
4、12如图，以正方形ABCD的一边AD为边向外作等边三角形ADE，则ABE的度数是_13如图，小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先将该活动学具调成图所示菱形，测得A120，接着将该活动学具调成图所示正方形，测得正方形的对角线AC30 cm，则图中对角线AC的长为_cm.14如图，四边形OABC为矩形，A(10，0)，C(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC上运动，当ODP是以OD为腰的等腰三角形时，点P的坐标为_15如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EFDE，交BC的延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG.下列结论：DEEF；
5、DAEDCG；ACCG；CECF.其中正确的是_(填序号)三、解答题(一)：本大题共3小题，每小题8分，共24分16如图，在ABC中，ACB90.(1)用尺规作图，作出ABC的角平分线CD(不写作法，保留作图痕迹)；(2)在(1)的基础上，过点D作DEBC，DFAC，垂足分别为E，F，判断四边形CEDF的形状，并说明理由17【2022梅州丰顺月考】如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，BEAC交DC的延长线于点E.(1)求证：BDBE；(2)若DBC30，BO4，求AB的长18【2023茂名高州市十校联考】如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，
6、CE4，F为DE的中点，若CEF的周长为16.(1)求CF的长；(2)求OF的长四、解答题(二)：本大题共3小题，每小题9分，共27分19【2022梅州大埔县期中】在RtABC中，ACB90，点D是AB的中点，连接CD，过点B，C分别作BFCD，CFAB，BF，CF交于点F.(1)求证：四边形CDBF是菱形(2)当AC和BC满足怎样的关系时，四边形CDBF是正方形？并说明理由20【2023汕头龙湖实验中学期中】如图，四边形ABCD是菱形，BEAD，BFCD，垂足分别为点E，F.(1)求证：BEBF；(2)当菱形ABCD的对角线AC8，BD6时，求BE的长21【2022佛山二模】如图，在矩形AB
7、CD中，对角线AC的垂直平分线分别交BC，AD于点E，F，连接AE，CF.(1)求证：四边形AECF是菱形；(2)当AB4，BC8时，求线段EF的长五、解答题(三)：本大题共2小题，每小题12分，共24分22【2022佛山顺德区校级三模】如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AECF，连接AC，EF，BF，EF与AC交于点O，且BEBF，BEF2BAC.(1)求证：OEOF；(2)若BC2，求AB的长23在矩形ABCD中，AB6，BC8，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中0t10.(1)若G，H分别是A
8、D，BC的中点，则四边形EGFH一定是怎样的四边形(E，F相遇时除外)?答：_.(直接填空，不用说理)(2)在(1)的条件下，若四边形EGFH为矩形，求t的值答案一、1C点拨：矩形的性质：两组对边分别平行且相等，对角线相等且互相平分，四个角都是直角；正方形的性质：四条边相等，两组对边分别平行，对角线相等且互相垂直平分，四个角都是直角，正方形的四条边都相等，是矩形没有的2A点拨：菱形ABCD的周长为32，4AB32，AB8.E，F分别是AD，BD的中点，EF是ABD的中位线，EFAB84.3B点拨：四边形ABCD是矩形，DCAB，ACBD8，OAOC，OBOD，OAOBBD4.AOB60，AOB
9、是等边三角形，ABOA4，DCAB4.4B点拨：四边形ABCD是矩形，ABC90.AB2，AC3，BC.过B作BGAC于G，易知BGAE.S矩形ABCDABBC22SABC，而SABCACBGACAES矩形AEFC，即S矩形ABCDS矩形AEFC2.5A点拨：E，F分别是DC，AD的中点，EFAC，EFAC.同理，GHAC，GHAC，GFBD.EFGH，EFGH.四边形EFGH是平行四边形ACBD，EFGF.平行四边形EFGH为菱形6B点拨：四边形ABCD是矩形，ADBC，DECADE，又ED平分AEC，DECAED，ADEAED，AEAD10.在RtABE中，BE8.7D点拨：连接AP.BA
10、C90，AB6，AC8，BC10.PEAB，PFAC，AEPAFP90.四边形AFPE是矩形，EF与AP互相平分M是EF的中点，M在AP上，且M为AP的中点，PMAP.易知当APBC时，AP有最小值，则PM有最小值，此时SABCABACBCAP，AP4.8，PMAP2.4.8C点拨：四边形ABCD是正方形，ABCD，ODOC，ODOC，ODFOCE45，DOECOE90，OFOE，DOFDOE90，DOFCOE，在DOF与COE中，DOFCOE(ASA)SDOFSCOE.SCODS四边形EOFD1.SCODODOCOD21.OD.在RtCOD中，CD2，ABCD2.9B点拨：连接AC，CF.四
11、边形ABCD和四边形CEFG是正方形，ACG45，FCG45，ACF90.BC8，CE4，AC8，CF4，由勾股定理得，AF4，H是AF的中点，ACF90，CHAF2.10A点拨：四边形ABCD是矩形，ABCD，ABCD，BADABCBCDADC90，设ABCDa，则ADa，AE平分BAD，DAEBAE45，ABE是等腰直角三角形，ABBEa，AEABa，AEAD，故正确DHAE，DAE45，AHD是等腰直角三角形，又ADa，DHAHa，DHDC，DHAE，DCCE，ED平分AEC，AEDCED，故正确AHABa，ABHAHB.ABCD，ABFDFB180.又AHBBHE180，BHEHFD.
12、易知BEHHDF45.在BEH和HDF中，BEHHDF(AAS)BHHF，故正确BEHHDF，HEDF.CDCFDFHE.ABCD，ABCFHE.故正确综上所述，正确的是共4个二、115 cm点拨：平行四边形ABCD的对角线ACBD，平行四边形ABCD为菱形，BCAB5 cm.1215点拨：四边形ABCD是正方形，ABAD，BAD90.ADE是等边三角形，ADAE，DAE60，BAEBADDAE150，ABADAE，ABEAEB，ABE(180BAE)15.1315点拨：在题图中，连接AC，四边形ABCD是正方形，ABBC，B90.AC30 cm，AC2AB2BC2，即9002AB2.AB15
13、 cm.在题图中，连接AC.四边形ABCD是菱形，ABBC15 cm，BACBAD，BAD120，BAC60.ABC是等边三角形ACAB15 cm.14(3，4)或(2，4)或(8，4)点拨：四边形OABC为矩形，A(10，0)，C(0，4)，BCOA10，OCAB4，点D是OA的中点，ODAD5.当OPOD5时，在RtOPC中，CP3，则P的坐标是(3，4)当DPOD5时，过D作DMBC于点M，在RtPDM中，PM3.当P在M的左边时，CP532，则P的坐标是(2，4)；当P在M的右侧时，CP538，则P的坐标是(8，4)综上所述，P的坐标为(3，4)或(2，4)或(8，4)15点拨：过E作
14、EMBC于M点，过E作ENCD于N点四边形ABCD是正方形，BCD90，ECN45，EMCENCBCD90，易知NENC，四边形EMCN为正方形MEN90，ENEM.四边形DEFG是矩形，DEF90，DENNEFMEFNEF90，DENMEF，在DEN和FEM中，DENFEM(ASA)，DEEF，故正确；易知矩形DEFG为正方形，DEDG，EDCCDG90，四边形ABCD是正方形，ADDC，ADEEDC90，ADECDG，在DAE和DCG中，DAEDCG(SAS)，故正确；由得AECG，DAEDCG45，DAEECDDCGECD90，ACG90，ACCG，故正确；当DEAC时，点C与点F重合，
15、CE不一定等于CF，故错误三、16解：(1)如图，CD即为所求(2)如图，四边形CEDF是正方形，理由：DEBC，DFAC，DECDFCACB90. 四边形CEDF是矩形CD平分ACB，DEBC，DFAC，DEDF，矩形CEDF是正方形17(1)证明：四边形ABCD是矩形，ACBD，ABCD，又BEAC，四边形ABEC是平行四边形，BEAC，BDBE.(2)解：四边形ABCD是矩形，ABCD，OBOD，BCD90.DBC30，CDBDOB4，AB4.18解：(1)四边形ABCD为正方形，BCD90，ECD为直角三角形又F为DE的中点，CFEFDE.CEF的周长为CECFEF42CF16，CF6
16、.(2)在RtCED中，DE2CF12，由勾股定理得DC8. 四边形ABCD为正方形，BCCD8，O为BD的中点，BEBCCE84.F为DE的中点，OFBE42.四、19(1)证明：BFCD，CFAB，四边形CDBF是平行四边形，ACB90，点D是AB的中点，CDADBD，四边形CDBF是菱形(2)解：当ACBC时，四边形CDBF是正方形理由如下：ACBC，点D是AB的中点，CDAB，BDC90，由(1)知，四边形CDBF是菱形，四边形CDBF是正方形20(1)证明：四边形ABCD是菱形，ABCB，BAEBCF，BEAD，BFCD，BEABFC90，在BEA和BFC中，BEABFC(AAS)，
17、BEBF.(2)解：菱形ABCD的对角线AC8，BD6，OAOCAC4，OBODBD3，AOD90，AD5，S菱形ABCDACBDADBE，BE.21(1)证明：对角线AC的垂直平分线EF分别与AC，BC，AD交于点O，E，F，AFCF，AECE，OAOC，四边形ABCD是矩形，ADBC，FAOECO，在AOF和COE中，AOFCOE(ASA)，AFCE.AFCF，AECE，AEECCFAF，四边形AECF为菱形(2)解：设AECEx，则BE8x，四边形ABCD是矩形，B90.在RtABE中，由勾股定理得AB2BE2AE2，即42(8x)2x2，解得x5，即AE5.ABCD4，BCAD8，AC
18、4，OA2，OE，EF2OE2.五、22(1)证明：四边形ABCD是矩形，ABCD，BACFCO.在AOE和COF中，AOECOF(AAS)，OEOF.(2)解：连接OB，BEBF，OEOF，BOEF.在RtBEO中，BEFABO90.AOECOF，OAOC.四边形ABCD是矩形，ABC90，OAOBOC.BACABO.BEF2BAC，即2BACBAC90，BAC30.BC2，AC2BC4.AB2.23解：(1)四边形EGFH是平行四边形(2)连接GH，四边形ABCD是矩形，B90，ADBC，ADBC.又G，H分别是AD，BC的中点，AGAD，BHBC，AGBH，四边形ABHG是矩形，GHAB6.在RtABC中，AB6，BC8，AC10.如图，四边形EGFH是矩形，EFGH6，AECFt，EF102t6，t2；如图，四边形EGFH是矩形，EFGH6，AECFt，EFtt102t106，t8.综上，四边形EGFH为矩形时t2或t8.
