1、第二部分专题突破专题八专题八 解答压轴题突破解答压轴题突破1.如图2-8-1，在平面直角坐标系中，点A(-2，0)，B(2，0)，C(0，2)，点D，E分别是AC，BC的中点，将CDE绕点C逆时针旋转得到CMN，点M，N分别是点D，E旋转后的对应点，记旋转角度为.类型类型1：几何变换综合题：几何变换综合题折叠与旋转折叠与旋转分类突破分类突破(1)如图2-8-1，求证：AM=BN；(2)如图2-8-1，当=75时，求点N的坐标；(3)当AMCN时，求BN的长.(直接写出结果即可)(1)(1)证明：如答图证明：如答图2-8-1.2-8-1.A(-2A(-2，0)0)，B(2B(2，0)0)，C(0
2、C(0，2),2),OA=OB=OC,OA=OB=OC,且且AOC=BOC.AOC=BOC.又又OC=OC,OC=OC,AOCAOCBOC(SAS).BOC(SAS).AC=BC.AC=BC.DD，E E分别是分别是ACAC，BCBC的中点的中点,DC=CE.DC=CE.MCNMCN是是DCEDCE旋转得到的旋转得到的,ACM=BCNACM=BCN，CM=CDCM=CD，CE=CN.CE=CN.CM=CN,ACM=BCNCM=CN,ACM=BCN，AC=BC.AC=BC.ACMACMBCN(SAS).AM=BN.BCN(SAS).AM=BN.(2)(2)解解：如答图如答图2-8-2.2-8-2
3、.BCO=45BCO=45，BCN=75BCN=75，OCN=120OCN=120.过点过点N N作作NQyNQy轴，垂足为轴，垂足为Q.Q.NCQ=60NCQ=60.在在RtRtBCOBCO中，中，在在RtRtNCQNCQ中，中，NCQ=60NCQ=60，QNC=30QNC=30.2.如图2-8-2，CAB与CDE均是等腰直角三角形，并且ACB=DCE=90.连接BE，AD的延长线与BC，BE的交点分别是点G，点F.(1)求证：AFBE；(2)将CDE绕点C旋转直至CDBE时，探究线段DA，DE，DG的数量关系，并证明；(3)在(2)的条件下，若DA=4.5，DG=2，求BF的值.(1)(1
4、)证明：由题意，得证明：由题意，得CD=CECD=CE，CA=CB.CA=CB.ACB=ACD+DCB=90ACB=ACD+DCB=90，DCE=BCE+DCB=90DCE=BCE+DCB=90,ACD=BCE.ACD=BCE.ACDACDBCE(SAS).CAD=CBE.BCE(SAS).CAD=CBE.又又CAD+AGC=90CAD+AGC=90,AGC=BGF,AGC=BGF，CBE+BGF=90CBE+BGF=90.AFB=90AFB=90，即，即AFBE.AFBE.(2)(2)解：解：DE2=2DADG.DE2=2DADG.证明如下：证明如下：在在RtRtDCEDCE中，中，sinD
5、EC=sinDEC=，CD=DEsinDEC=DE.CD=DEsinDEC=DE.CDBECDBE，CDG=AFB=90CDG=AFB=90.AGC+DGC=90AGC+DGC=90，ADC=90ADC=90.ACD=AGCACD=AGC，ADC=CDG=90ADC=CDG=90.ADCADCCDG.CDG.CDCD2 2=DADG=DADG，即，即DEDE2 2=2DADG.=2DADG.(3)(3)解：由解：由(2)(2)知知DEDE2 2=2DADG=2=2DADG=24.54.52=18.2=18.CDBE,DEF=CDE=45CDBE,DEF=CDE=45.CEF=CDE+CED=4
6、5CEF=CDE+CED=45+45+45=90=90.CEF=DCE=AFE=90CEF=DCE=AFE=90.四边形四边形DCEFDCEF是矩形是矩形.又又CD=CE,CD=CE,四边形四边形DCEFDCEF是正方形是正方形.DF=CD=3DF=CD=3，GF=DF-DG=1.GF=DF-DG=1.CDBE,CDBE,BFG BFG CDG.CDG.3.如图2-8-3，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，把矩形沿直线AC折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE.(1)求证：DECEDA；(2)求DF的值；(3)在线段AB上找一点P，连接FP使FPAC，连接PC，试判定四边形APC
7、F的形状，并说明理由，直接写出此时线段PF的长.(1)(1)证明：由题意可知，证明：由题意可知，在在EDAEDA与与DECDEC中，中，EDAEDADEC(SSS).DEC(SSS).(2)(2)解：如答图解：如答图2-8-3.2-8-3.ACD=CAEACD=CAE，AF=CF.AF=CF.设设DF=xDF=x，则，则AF=CF=4-x.AF=CF=4-x.在在RtRtADFADF中，中，AD2+DF2=AF2AD2+DF2=AF2，即即3 32 2+x+x2 2=(4-x)=(4-x)2 2.解得解得x=x=，即，即DF=.DF=.(3)(3)解：四边形解：四边形APCFAPCF为菱形为菱
8、形.理由如下：理由如下：设设AC,FPAC,FP相交于点相交于点O,O,如答图如答图2-8-3.2-8-3.FPAC,AOF=AOP=90FPAC,AOF=AOP=90.又又CAE=CABCAE=CAB，APF=AFP.APF=AFP.AF=AP.FC=AP.AF=AP.FC=AP.又又ABCD,ABCD,四边形四边形APCFAPCF是平行四边形是平行四边形.FPAC,FPAC,四边形四边形APCFAPCF为菱形为菱形.在矩形在矩形ABCDABCD中，中，AB=4AB=4，AD=3AD=3，AC=5.AC=5.1.(2018广东)已知RtOAB，OAB=90，ABO=30，斜边OB=4，将Rt
9、OAB绕点O顺时针旋转60，如图2-8-4，连接BC.(1)填空：OBC=_；(2)如图2-8-4，连接AC，作OPAC，垂足为点P，求OP的长度；(3)如图2-8-4，点M，N同时从点O出发，在OCB边上运动，M沿OCB路径匀速运动，N沿OBC路径匀速运动，类型类型2：点动型综合题：点动型综合题6060当两点相遇时运动停止.已知点M的运动速度为1.5单位/s，点N的运动速度为1单位/s，设运动时间为x s，OMN的面积为y，则当x为何值时，y取得最大值？最大值为多少？解：解：(2)OB=4(2)OB=4，ABO=30ABO=30，(3)(3)当当0 0 x x 时，点时，点M M在在OCOC
10、上运动，点上运动，点N N在在OBOB上运上运动，此时过点动，此时过点N N作作NEOCNEOC，交，交OCOC于点于点E E，如答图，如答图2-8-42-8-4，当当 x4x4时，点时，点M M在在BCBC上运动，点上运动，点N N在在OBOB上运动上运动.如答图如答图2-8-42-8-4，过点，过点M M作作MHOBMHOB于点于点H.H.则则BM=8-1.5xBM=8-1.5x，2.如图2-8-5，已知四边形ABCD中，ABDC，AB=DC，且AB=6 cm，BC=8 cm，对角线AC=10 cm.(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)如图2-8-5，若动点Q从点C出发，在CA边上以每
11、秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点P从点B出发，在BC边上以每秒4 cm的速度向点C匀速运动，运动时间为t s(0t2)，连接BQ,AP.若APBQ，求t的值；(3)如图2-8-5，若点Q在对角线AC上，CQ=4 cm，动点P从B点出发，以每秒1 cm的速度沿BC运动至点C止.设点P运动了t s，请你探索：从运动开始，经过多少时间，以点Q,P,C为顶点的三角形是等腰三角形？请求出所有可能的结果.(1)(1)证明：证明：ABCDABCD，AB=DCAB=DC，四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形.AB=6 cmAB=6 cm，BC=8 cmBC=8 cm，AC=10 cmA
12、C=10 cm，ABAB2 2+BC+BC2 2=100=AC=100=AC2 2.B=90.B=90.四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形.(2)(2)解：如答图解：如答图2-8-52-8-5，过点，过点Q Q作作QMBCQMBC于点于点M M，并令，并令APBQAPBQ交于点交于点N N，则，则CQ=5tCQ=5t，QM=3tQM=3t，CM=4tCM=4t，MB=8-4t.MB=8-4t.NAB+ABN=90NAB+ABN=90，ABN+NBP=90ABN+NBP=90，NAB=NBPNAB=NBP，且，且ABP=BMQ=90ABP=BMQ=90.ABPABPBMQ.BMQ.(3)(
13、3)解：分为三种情况：解：分为三种情况：如答图如答图2-8-62-8-6，当当CQ=CP=4 cmCQ=CP=4 cm时，时，BP=8-4=4(cm).t=4.BP=8-4=4(cm).t=4.如答图如答图2-8-72-8-7，当当PQ=CQ=4 cmPQ=CQ=4 cm时，过点时，过点Q Q作作QMBCQMBC于点于点M M，则，则ABQMABQM，如答图如答图2-8-82-8-8，当当QP=CPQP=CP时，过点时，过点P P作作PNACPNAC于点于点N N，则，则CN=CQ=2CN=CQ=2，CNP=B=90CNP=B=90.PCN=ACBPCN=ACB，PCNPCNACB.ACB.P
14、C=2.5(cm).BP=8-2.5=5.5(cm).PC=2.5(cm).BP=8-2.5=5.5(cm).t=5.5.t=5.5.综上所述，从运动开始，经过综上所述，从运动开始，经过4 s4 s或或1.6 s1.6 s或或5.5 s5.5 s时，时，以点以点Q,P,CQ,P,C为顶点的三角形是等腰三角形为顶点的三角形是等腰三角形.1.如图2-8-6，在ABC中，AB=AC，ADBC于点D，BC=10 cm，AD=8 cm.点P从点B出发，在线段BC上以每秒3 cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2 cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB，AC，AD
15、于点E，F，H.当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t s(t0).(1)当t=2时，连接DE，DF，求证：四边形AEDF为菱形；类型类型3：线动型综合题：线动型综合题(2)在整个运动过程中，所形成的PEF的面积存在最大值，当PEF的面积最大时，求线段BP的长；(3)是否存在某一时刻t，使PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由.(1)(1)证明：当证明：当t=2t=2时，时，DH=AH=4DH=AH=4，则，则H H为为ADAD的中点，如答图的中点，如答图2-8-2-8-9 9.又又EFADEFAD，EFEF为为ADAD的垂直平分线的垂直平分线
16、.AE=DEAE=DE，AF=DF.AF=DF.AB=ACAB=AC，ADBCADBC于点于点D D，ADBCADBC，B=C.B=C.EFBCEFBC，AEF=BAEF=B，AFE=C.AFE=C.AEF=AFE.AE=AF.AEF=AFE.AE=AF.AE=AF=DE=DFAE=AF=DE=DF，即四边形，即四边形AEDFAEDF为菱形为菱形.(2)(2)解：如答图解：如答图2-8-92-8-9，由，由(1)(1)知知EFBCEFBC，AEFAEFABC.ABC.当当t=2t=2时，时，S SPEFPEF存在最大值，最大值为存在最大值，最大值为10 cm10 cm2 2，此时此时BP=3t
17、=6 cm.BP=3t=6 cm.(3)(3)解：存在解：存在.理由如下：理由如下：若点若点E E为直角顶点，如答图为直角顶点，如答图2-8-102-8-10，此时此时PEADPEAD，PE=DH=2tPE=DH=2t，BP=3t.BP=3t.PEADPEAD，此比例式不成立，故此种情形不存在此比例式不成立，故此种情形不存在.若点若点F F为直角顶点，如答图为直角顶点，如答图2-8-102-8-10，此时此时PFADPFAD，PF=DH=2tPF=DH=2t，BP=3tBP=3t，CP=10-3t.CP=10-3t.PFADPFAD，若点若点P P为直角顶点，如答图为直角顶点，如答图2-8-1
18、02-8-10.过点过点E E作作EMBCEMBC于点于点M M，过点，过点F F作作FNBCFNBC于点于点N N，则，则EM=FN=DH=2tEM=FN=DH=2t，EMFNAD.EMFNAD.在在RtRtEMPEMP中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得在在RtRtFNPFNP中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得2.(2018黑龙江)如图2-8-7，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边AB在x轴上，点B的坐标为(-3，0)，点C在y轴正半轴上，且sinCBO=，点P从点O出发，以每秒一个单位长度的速度沿x轴正方向移动，移动时间为t(0t5)s，过点P作平行于y轴的直线l，直线l扫过四边形O
19、CDA的面积为S.(1)求点D的坐标;(2)求S关于t的函数关系式;(3)在直线l移动过程中，l上是否存在一点Q，使以B，C，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.解：解：(1)(1)在在RtRtBOCBOC中，中，OB=3OB=3，sinCBO=sinCBO=设设CO=4kCO=4k，BC=5kBC=5k，BCBC2 2=CO=CO2 2+OB+OB2 2，25k25k2 2=16k=16k2 2+9.+9.解得解得k=1k=1或或k=-1(k=-1(不符题意，舍去不符题意，舍去).).四边形四边形ABCDABCD是菱形，是菱形，CD=BC=5.
20、D(5CD=BC=5.D(5，4).4).(2)(2)如答图如答图2-8-112-8-11，当，当0t20t2时，直线时，直线l l扫扫过的图形是四边形过的图形是四边形OCQPOCQP，S=4t.S=4t.如答图如答图2-8-112-8-11，当，当2 2t5t5时，直线时，直线l l扫过的图形扫过的图形是五边形是五边形OCQTA.OCQTA.1.把RtABC和RtDEF按如图2-8-8摆放(点C与E重合)，点B，C(E)，F在同一条直线上.已知ACB=EDF=90，DEF=45，AC=8 cm，BC=6 cm，EF=10 cm.如图2-8-8，DEF以1 cm/s的速度沿CB向ABC匀速移动
21、，在DEF移动的同时，点P从ABC的顶点A出发，以2 cm/s的速度沿AB向点B匀速移动；当点P移动到点B时，点P停止移动，DEF也随之停止移动.DE与AC交于点Q，连接PQ，设移动时间为t(单位：s).类型类型4：形动型综合题：形动型综合题(1)用含t的代数式表示线段AP和AQ的长，并写出t的取值范围；(2)连接PE，设四边形APEQ的面积为y(单位：cm2)，试探究y的最大值；(3)当t为何值时，APQ是等腰三角形?(1)(1)解：解：AP=2t.AP=2t.EDF=90EDF=90，DEF=45DEF=45，CQE=45CQE=45=DEF.=DEF.CQ=CE=t.AQ=8-t.CQ=
22、CE=t.AQ=8-t.t t的取值范围是的取值范围是0t5.0t5.(2)(2)连接连接PE,PE,过点过点P P作作PGBCPGBC于点于点G G，如答图如答图2-8-12.2-8-12.可求得可求得AB=10AB=10，sinB=sinB=，PB=10-2tPB=10-2t，EB=6-t.EB=6-t.PG=PBsinB=(10-2t).PG=PBsinB=(10-2t).若若AP=PQAP=PQ，如答图，如答图2-8-132-8-13,过点过点P P作作PHAC,PHAC,则则AH=QH=AH=QH=，PHBCPHBC，APHAPHABC.ABC.2.已知：如图2-8-9，在平行四边形
23、ABCD中，AB=3 cm，BC=5 cm，ACAB，ACD沿AC的方向匀速平移得到PNM,速度为1 cm/s;同时,点Q从点C出发，沿着CB方向匀速移动，速度为1 cm/s，当PNM停止平移时，点Q也停止移动，如图2-8-9，设移动时间为t(单位：s)(0t4),连接PQ，MQ，MC.(1)当t为何值时，PQAB？(2)当t=3时，求QMC的面积；(3)是否存在t，使PQMQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.解：解：(1)(1)如答图如答图2-8-14.2-8-14.AB=3 cmAB=3 cm，BC=5 cmBC=5 cm，ACABACAB，在在RtRtABCABC中，中，AC=
24、4.AC=4.若若PQABPQAB，则有，则有 CQ=PA=tCQ=PA=t，CP=4-tCP=4-t，QB=5-tQB=5-t，(2)(2)如答图如答图2-8-152-8-15，过点，过点P P作作PDBCPDBC于点于点D D，PDC=A=90PDC=A=90.PCD=BCA,PCD=BCA,CPDCPDCBA.CBA.当当t=3t=3时，时，CP=4-3=1.CP=4-3=1.又又CQ=3CQ=3，PMBCPMBC，(3)(3)存在存在t t，使，使PQMQ.PQMQ.理由如下：理由如下：如答图如答图2-8-162-8-16，过点，过点M M作作MEBCMEBC的延长线于点的延长线于点E.E.PQMQPQMQ，PDQ=QEM=90PDQ=QEM=90，PQD=QMEPQD=QME，即即PDQPDQQEM.QEM.
