1、上海中学2021学年第二学期期中阶段练习数学试题高一_班 学号_ 姓名_ 成绩_一、填空题（每题3分）1. 设角的终边经过点，那么_2. 已知，则实数_3. 函数的值域是_4. 若，则_5. 函数的最小正周期是_6. 函数在区间上最小值是_.7. 在三角形ABC中，则 _8. 在锐角中,三角形的面积等于,则的长为_.9. 函数，单调增区间为_10. 实数满足，则_11. 已知，且，则乘积最大值为_12. 设函数，其中k是一个正整数，若对任意实数a，均有，则k的最小值为_二、选择题（每题4分）13. 若sinx0，且sin（cosx）0，则角是A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D.
2、 第四象限角14. 设函数，则下列说法正确的是（ ）A. 是偶函数B. 的最小正周期是C. 在区间上是增函数D. 的图象关于点对称15. O为锐角ABC的外心，O到三边a，b，c的距离分别为k，m，n，则（ ）A. B. C. D. 16. 已知函数，周期，且在处取得最大值，则使得不等式恒成立的实数的最小值为（ ）A B. C. D. 三、解答题17. 已知，它的内角的对边分别为，且（1）求大小；（2）若，求三角形的周长19. 若关于的方程在内有两个不同的实数根，求实数的取值范围及相应的的值.20. 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（1）求的值；（2）在边BC上取一点D，使
3、得，求的值21. 如图，一块直角梯形区域ABCD，在D处有一个可以转动的探照灯，其照射角始终为45，设，探照灯照射在该梯形ABCD内部区域的面积为S（1）求S关于的函数关系式；（2）求S的取值范围23. 若函数在定义域中存在，使得成立，则称该函数具有性质p（1）判断以下两个函数是否具有性质p：，；，（2）若函数，（其中，）具有性质p，求的取值范围上海中学2021学年第二学期期中阶段练习数学试题高一_班 学号_ 姓名_ 成绩_一、填空题（每题3分）1. 设角的终边经过点，那么_【1题答案】答案：#2.2解：解：角的终边经过点，所以，所以，故答案为：2. 已知，则实数_【2题答案】答案：或解：解：
4、由， 可得或，故答案为：或3. 函数的值域是_【3题答案】答案：解：，所以所求值域为：故答案为：4. 若，则_【4题答案】答案：解：因为，则.故答案：5. 函数的最小正周期是_【5题答案】答案：解：解：由题意可得，所以函数的周期为填6. 函数在区间上的最小值是_.【6题答案】答案：.解：.令，则，当时，.故答案为：.7. 在三角形ABC中，则 _【7题答案】答案：75或15解：由正弦定理，即，所以，又，所以，是三角形内角，所以或，时，时，故答案为：75或158. 在锐角中,三角形的面积等于,则的长为_.【8题答案】答案：解：解：,考点：三角形的面积公式与余弦定理9. 函数，的单调增区间为_【9
5、题答案】答案：解：由题意可得,令 ，则，当时, 单调递减，当时，单调递增,而对于，当时, 时递减， 时递增，当时, 时递减， 时递增，函数，的单调增区间为，故答案为: 10. 实数满足，则_【10题答案】答案：解：由方程组，可得，因为，所以，所以，解得，所以，当时，可得，且，所以，所以.故答案为：.11. 已知，且，则乘积的最大值为_【11题答案】答案：解：解：，可得，所以，且，所以，此时，所以当且仅当 ，时等号成立.故答案为：12. 设函数，其中k是一个正整数，若对任意实数a，均有，则k的最小值为_【12题答案】答案：解： ，若对任意实数a，均有，则最小正周期，即，即，由，所以，所以则k的最
6、小值为.故答案为：二、选择题（每题4分）13. 若sinx0，且sin（cosx）0，则角是A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角【13题答案】答案：D解：1cosx1，且sin（cosx）0，0cosx1，又sinx0，角x为第四象限角，故选D14. 设函数，则下列说法正确的是（ ）A. 是偶函数B. 的最小正周期是C. 在区间上是增函数D. 的图象关于点对称【14题答案】答案：C解：对于A：的定义域为，错误；对于B： 的最小正周期是，B错误；对于C：，在上为负，且是减函数在区间上是增函数，C正确；对于D：的图象恒在轴上方，所以的图象不关于点对称，D错误.故选：C.
7、15. O为锐角ABC的外心，O到三边a，b，c的距离分别为k，m，n，则（ ）A. B. C. D. 【15题答案】答案：D解：设为外接圆半径，根据垂径定理可得，所以由正弦定理且为锐角三角形可得：，故选：D16. 已知函数，周期，且在处取得最大值，则使得不等式恒成立的实数的最小值为（ ）A. B. C. D. 【16题答案】答案：A解：因为，其中，又因为处取得最大值，所以，解得，所以，由，所以，两式相乘，可得，所以，即，解得或，若，则，由，可得，所以，又由，这与矛盾，舍去，由得，因为，所以在第一象限，又由，即，所以，所以，使最小，则，即，若不等式恒成立，则.故选：A.三、解答题17. 已知，
8、它的内角的对边分别为，且（1）求的大小；（2）若，求三角形的周长【17题答案】答案：（1） （2）解：（1）由正弦定理得：，即，即，.（2）由余弦定理得：，解得：；又，解得：，三角形的周长为.19. 若关于的方程在内有两个不同的实数根，求实数的取值范围及相应的的值.【19题答案】答案：，当时，当时，解：因为，所以如下图所示：，所以要使 关于的方程在内有两个不同的实数根，需，当时，当时，20. 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（1）求的值；（2）在边BC上取一点D，使得，求的值【20题答案】答案：（1）；（2）.详解】（1）方法一：正余弦定理综合法由余弦定理得，所以.由正弦定
9、理得.方法二【最优解】：几何法过点A作，垂足为E在中，由，可得，又，所以在中，因此（2）方法一：两角和的正弦公式法由于，所以.由于，所以，所以.所以.由于，所以.所以.方法二【最优解】：几何法+两角差的正切公式法 在（1）的方法二的图中，由，可得，从而又由（1）可得，所以方法三：几何法+正弦定理法 在（1）的方法二中可得在中，所以在中，由正弦定理可得，由此可得方法四：构造直角三角形法 如图，作，垂足为E，作，垂足为点G在（1）的方法二中可得由，可得在中，由（1）知，所以在中，从而在中，所以【整体点评】（1）方法一：使用余弦定理求得，然后使用正弦定理求得；方法二：抓住45角的特点，作出辅助线，利
10、用几何方法简单计算即得答案，运算尤其简洁，为最优解；（2）方法一：使用两角和的正弦公式求得的正弦值，进而求解；方法二：适当作出辅助线，利用两角差的正切公式求解，运算更为简洁，为最优解；方法三：在几何法的基础上，使用正弦定理求得的正弦值，进而得解；方法四：更多的使用几何的思维方式，直接作出含有的直角三角形，进而求解，也是很优美的方法.21. 如图，一块直角梯形区域ABCD，在D处有一个可以转动的探照灯，其照射角始终为45，设，探照灯照射在该梯形ABCD内部区域的面积为S（1）求S关于的函数关系式；（2）求S的取值范围【21题答案】答案：（1） （2）.解：（1）解：当时，如图，过点作，垂足为,因
11、为，所以,，所以，所以，所以，所以，当时，如图所示，,所以，所以.当时，.所以（2）解：当时， ，令，所以，由对勾函数的性质得在取到最小值，在或2取到最大值3，所以.此时S的取值范围为.当时， ，设，所以有大于1的实根，当时，不符合题意；当时，,不等式组无实数解；当时，所以.所以此时S的取值范围为.当时，.综合得S的取值范围为.23. 若函数在定义域中存在，使得成立，则称该函数具有性质p（1）判断以下两个函数否具有性质p：，；，（2）若函数，（其中，）具有性质p，求的取值范围【23题答案】答案：（1）具有性质p；不具有性质p （2）解：（1），,当 时，当 时，故满足定义域中存在，使得成立，故，具有性质p； ， 令 ，则 ，则 可化为，设 ， 作出其大致图象如图示：显然不存在，使得成立，故，不具有性质p（2） ，由于， ，因为 具有性质p，所以 ，当 时，需满足 ，解得 ；当 时，需满足 ，解得 ；当 时，即时， ,此时显然成立；综上可知，的取值范围为.
