1、数学 第 1 页 共 14 页 天津市十二区县重点学校天津市十二区县重点学校 2020 年高三毕业班联考（一）年高三毕业班联考（一） 数学试卷数学试卷 本试卷分第本试卷分第卷（选择题）和第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分卷（非选择题）两部分. .共共 150150 分分. .考试时间考试时间 120120 分钟分钟 第卷第卷 选择题选择题 ( (共共 4545 分分) ) 注意事项：注意事项： 1 1 答 答第第卷前， 考生务必将卷前， 考生务必将自己的自己的姓名、 准考证号、 考试科目填涂在答题卡规定的位置上姓名、 准考证号、 考试科目填涂在答题卡规定的位置上 2 2第第卷每小题选出答案
2、后，用卷每小题选出答案后，用 2B2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑； 参考公式： 如果事件参考公式： 如果事件A、B互斥，那么互斥，那么()( )( )P ABP AP B 柱体的体积公式柱体的体积公式ShV . . 其中其中S表示柱体的底面积表示柱体的底面积, ,h表示柱体的高表示柱体的高. . 一、一、 选择题选择题(在每小题四个选项中， 只有一项是符合题目要求的， 本大题共在每小题四个选项中， 只有一项是符合题目要求的， 本大题共 9 小题， 每小题小题， 每小题 5 分，分， 满分满分 45 分分) 1 已知全集2, 1,0,1,2,3U ， 集
3、合 ZxxxA, 10，1,2B ， 则 U CA BU （ ） A1,2 B0,1,2 C 2, 1,3 D2, 1,0,3 2已知aR，则“01a ”是“ 2 210axax+-对xR 恒成立”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3函数 21 xx ee f x x 的图象大致是（ ） A B C D 4张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方等于 10.，三棱柱 111 ABCABC的侧棱垂直于底面，且 ,2 BCAB2, 1 AABCAB，若该三棱柱的所 有顶点都在同一球面上，利用张衡的结论可得该球的表面积为（ ）
4、A8 B108 C12 D1012 数学 第 2 页 共 14 页 5某社区组织“学习强国”的知识竞赛，从参加竞 赛的市民中抽出 40 人，将其成绩分成以下 6 组： 第1组40,50， 第2组50,60， 第3组60,70， 第4组70,80， 第5组80,90， 第6组90,100， 得到如图所示的频率分布直方图.现采用分层抽样 的方法，从第 2，3，4 组中按分层抽样抽取 8 人，则第 2，3，4 组抽取的人数依次为（ ） A1，3，4 B2，3，3 C2，2 D1，1，6 6.若双曲线 C： 22 22 1 xy ab （0a，0b）的一条渐近线被圆 2 2 24xy所截得的弦 长为2
5、 3，则双曲线 C 的离心率为（ ） A2 B5 C3 D 2 3 3 7.已知函数 (2)yf x的图像关于直线 2x对称，在 (0,)x时，( )f x单调递增. 若 ln3 4af ，)2( e fb ， 1 lncf （其中e为自然对数的底数，为圆周率） ， 则, ,a b c 的大小关系为（ ） Aacb Babc Ccab Dcba 8.关于函数( )cos22 3sin cosf xxxx，有下列命题： ( )f x的最小正周期为； 函数 ( )f x的图象关于 3 x 对称； ( )f x在区间 2 , 36 上单调递增； 将函数 ( )f x的图象向左平移 5 12 个单位长
6、度后所得到的图象与函数 2sin2yx 的图象重合 其中正确的命题是（ ） A. B C D 数学 第 3 页 共 14 页 9.在等腰梯形中，AB/CD，AB2，AD1， 3 DAB，点 F 是线段 AB 上的一点，M 为直线 BC 上的动点，若BC 3CE ，AF AB ，且AE DF 1 ，则MF DM的最大值 为（ ） A 1 4 B 64 63 C1 D 64 23 第卷第卷 非选择题非选择题 ( (共共 105105 分分) ) 二、填空题二、填空题( (本大题共本大题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分分. .把答案填在答题卡中的相应横线上把答
7、案填在答题卡中的相应横线上) ) 10.若复数z满足： 1|13 |zii，则复数 z 的虚部是_ . 11.二项式 5 ) 1 3 x x （中，则其展开式中 x 的系数是_ . 12.抛物线C： 2 2(0)ypx p的焦点 F，其准线过（-2,2） ，过焦点 F 倾斜角为 3 的直线 交抛物线于 A,B 两点,则p=_ ; 弦 AB 的长为_ . 13.为了贯彻落实党中央对新冠肺炎疫情防控工作的部署和要求，坚决防范疫情向校园蔓延，切 实保障广大师生身体健康和生命的安全，教育主管部门决定通过电视频道、网络平台等多种 方式实施线上教育教学工作.为了了解学生和家长对网课授课方式的满意度，从经济
8、不发达的 A 城市和经济发达的 B 城市分别随机调查了 20 个用户，得到了一个用户满意度评分的样本， 并绘制出茎叶图如下： 若评分不低于 80 分，则认为该用户对此 授课方式“认可” ，否则认为该用户对此授课 方式“不认可”.以该样本中 A，B 城市的用户 对此授课方式“认可”的频率 分别作为 A，B 城市用户对此授课方式“认可”的概率. 现从A城市和B城市的所有用户中分别随 机抽取 2 个用户，用X表示这 4 个用户中对此授课方式“认可”的用户个数，则 ）（3XP_；用Y表示这从 A 城市随机抽取 2 个用户中对此授课方式“认可”的 用户个数，则Y的数学期望为_ . 数学 第 4 页 共
9、14 页 14.若存在), 0(,cba，使得不等式 2 222 2 3 2 1 mm bcab cba 成立， 则实数 m 的取值范围是_ . 15.已知函数 1, 23 1, )( 2 1 xxx xe xf x ，若函数 ( )2g xf xk x 有三个零点，则实数k 的取值范围是_ . 三三、解答题解答题（本大题本大题 5 5 小题，共小题，共 7575 分解答应写出分解答应写出必要的必要的文字说明，证明过程或演算步骤文字说明，证明过程或演算步骤） 16. （本题满分（本题满分 1414 分）分） ABC中， 内角A，B，C所对的边分别为cba,， 已知ABC的面积为15，2b c
10、， 1 cos 4 A . （）求a和sinC的值； （）求) 3 2cos( C的值. 1717 （本小题满分 （本小题满分 1515 分）分） 如图， 平面EFBA平面ABCD，EFBA为矩形，ABCD为等腰梯形，CDAB/，NM, 分别为FC，AC中点，45ADC，33 ABDC，2AE. （I I）证明：/MN平面EFBA； （IIII）求二面角DACF的正弦值； （IIIIII）线段ED上是否存在点P，使得 PN面MAC，若存在求出EP的长， 若不存在，说明理由. 数学 第 5 页 共 14 页 18.18.（本小题满分（本小题满分 1515 分）分） 已知椭圆 22 22 :1(0
11、) xy Cab ab 的左、右焦点 12 ,F F，离心率为 2 1 ，点M是椭圆上的 动点， 12 MFF的最大面积是3. （）求椭圆C的方程； （）圆 E 经过椭圆的左右焦点，且与椭圆C在第一象限的交点为A，且 1 FEA， ，三点共 线，直线l交椭圆C于两点P，Q，且0OAPQ. （i） 求直线OA的斜率； （ii）当APQ的面积取到最大值时，求直线l的方程. 19.19.（本小题满分（本小题满分 1515 分）分） 等比数列 n a的各项均为正数， 645 4 ,2aaa成等差数列，且满足 2 43 4aa，数列 n b的 前n项和 * 1 2 n n nb SnN ，且 1 1b
12、（I I）求数列 n a和 n b的通项公式； （IIII）设 * 25 21 23 n nn nn b canN bb ， ，求证: 1 1 3 n k k c ； （IIIIII）设 nnb ababa 2211n R， nn n n bababaT 1 2211 ) 1( ， * Nn， 求 1 -n2n2 T3R . 数学 第 6 页 共 14 页 20.20.（本小题满分（本小题满分 1616 分）分） 已知函数 11 ( )sinln1, ( )( )sin 22 f xxxmxg xf xx. （I I）求函数)(xg的单调区间和极值； （IIII）当1x时，若不等式0)( 1
13、x exxg恒成立，求实数m的取值范围； （IIIIII）若存在, 0, 21 xx，且当 21 xx 时，)()( 21 xfxf，证明：1 4 2 21 m xx . 数学 第 7 页 共 14 页 20202020 年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（一）年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（一） 数学参考答案数学参考答案 一、选择题一、选择题:每小题每小题 5 5 分，满分分，满分 4545 分分 二 、二 、 填空题填空题: 每小题每小题 5 5 分，共分，共 3030 分分. .（两空中对一个得（两空中对一个得 3 3 分，对两个得分，对两个得 5 5 分）分） 10.-1；
14、 11.405； 12. 3 32 , 4； 13. 8 1 , 2 1 ； 14. , 2 1 2, ; 15. 3 , 1347 , 0 2 e 三、三、解答题：本大题解答题：本大题 5 5 小题，共小题，共 7575 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16.（本小题满分 14 分） 解：解： （）在在ABC中，由中，由 1 cos 4 A ，可得，可得 15 sin 4 A ， 1 分 ABC的面积为的面积为15，可得：，可得：15bcsin 2 1 A，可得，可得8bc. . 3 分 （公式和化简各 1 分） 又又2b c ，2, 4cb
15、 24 2 1 2)(cos2 2222 bcbccbAbccba5 分（公式和结果各 1 分） 62a， 6 分 又又 sinsin ac AC ，解得，解得 8 10 sinC ； 7 分 （） 8 63 sin1cos 2 CC 8 分 4 11 1cos22cos 2 CC， 10 分（公式和结果各 1 分） 16 153 cossin22sinCCC 12 分（公式和结果各 1 分） 32 59114 2 3 16 153 2 1 4 11 3 sin2sin 3 cos2cos) 3 2cos( CCC 14 分（公式和结果各 1 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答
16、案 C A C B C D A A B 数学 第 8 页 共 14 页 17.（本小题满分 15 分） 解： （I）连接AF,M,N 为 FC,AC 中点 MN/AF 1 分 EFBAAF EFBAMN 平面 平面又 2 分 3 分 EFBAMN平面/ 4 分 （）过点过点 A 做做CDAH ,垂足为垂足为 H 以以A为坐标原点，为坐标原点，分别以分别以AEABAH,为为zyx,轴建立空间直角坐标系轴建立空间直角坐标系 )0 , 1, 1 (),2 , 1 , 0(),0 , 2 , 1 (),0 , 0 , 0(DFCA 设平面设平面FAC的一个方向量为的一个方向量为),(zyxn )0 ,
17、 2 , 1 (AC，)2 , 1 , 0(AF 02 02 zyAFn yxACn ， 令令2y，1, 4zx) 1,2 ,-4(，n 6 分 设平面设平面ACD的一个方向量为的一个方向量为) 1 , 0 , 0(m 7 分 21 1 | ,cos nm nm nm， 21 1052 21 20 ,cos1,sin 2 nmnm 二面角二面角DACF的的正弦值为正弦值为 21 1052 . . （求余弦和正弦各 1 分） 9 分 （III）),(,zyxPP 设假设存在这样一点 2, 1, 12,zyxEDEP即设 2-2-22,，即Pzyx 10 分 1, 2 , 4,22 ,1 , 2
18、1 nMACPN的法向量平面 11 分 nPNMACPN/ 平面 12 分 数学 第 9 页 共 14 页 1- 22 2 1 4- 2 1 13 分 即不存在这样的，且 5 3 2 5 - 14 分 P不存在这样的 15 分 18（本小题满分 15 分） 解： （）,3,2 2 1 cbca a c e 2 分 1332 2 1 21 cccFMF面积的最大值为： 3 分 1 34 22 yx 椭圆方程为 4 分 （） （） （i i）经过椭圆两焦点圆E ), 0( 0 yEyE轴上一点，设点为圆心 5 分 AE点与椭圆在第一象限交于圆0 0 y )2 , 1 ( , 0 1 yA AEF
19、三点共线 6 分 ) 2 3 , 1 (, 4 3 0 AyA即点带入椭圆方程得到将 7 分 2 3 的斜率为直线OA 8 分 （iiii）OAPQ 2 3 的斜率也为直线PQ 9 分 mxy yx PQ 2 3 1 34 22 得：联立椭圆与0333 22 mmxx即 10 分 12001233129 2222 mmmm 数学 第 10 页 共 14 页 3 3 , 2 2121 m xxmxx 11 分 2 21 2 21 2 12 6 39 41mxxxxkPQ 12 分 13 2 2 3 2 3 , 1 m dmxyPQA 得距离：到直线点 13 分 36)6( 6 3 12 6 3
20、2 1 2224 mmmdPQS APQ 14 分 时等号成立，即当且仅当 法二： 612 36 2 12 6 3 12 6 3 2 1 2 2 22 2 mmm mm mmdPQS APQ 得面积最大时即当APQmm6, 6 2 6 2 3 xyl的方程为：此时直线 15 分 19 （本小题满分 15 分） 解： （I I）设等比数列 n a的公比为q，依题意，有 456 22 4aaa，所以 2 444 2aa qa q 因为0 n a ,所以0q ，且 2 210qq ，解得 1 2 q 或1q (舍)， 1 分 因为 2 4324 44aaa a，所以 2 1 4 a 所以 1 1 2
21、 a 2 分 所以数列 n a的通项公式为 * 1 2 n n anN 3 分 当2n时， 1 1 (1) 22 nn nnn nbnb bSS 整理得 1 1 nn nnbb ,即 1 2 1 nn bb n nn 4 分 所以数列 n b n 是首项为 1 1 1 b 的常数列. 所以1 n b n ，即 * () n bn nN，所以数列 n b的通项公式 * ( ) n bn nN.5 分 （IIII）由(1)，得 数学 第 11 页 共 14 页 25 21 23 5221 21 2132 11 2232n n nn n nn bn ca bbnnnn 1 11 21 223 2 n
22、n nn 7 分 所以 0112 1 1111 3 25 25 27 2 n k k c nn nn2)32( 1 2) 12( 1 . 1 111 323 23 n n 9 分 （IIIIII）法）法 1 1： nn n nnnn baTRTR 22 12 22122 ) 1(333 10 分 )24(.)24()24(3 2212124433221122nnnnnn babababababaTR nn nn 2 2 1 ) 12( 2 1 22.4 2 1 3 2 1 222 2 1 -1 2 1 22 212432 11 分 nn nn 2 2 1 ) 12( 2 1 22 212 nn
23、 nn 4 1 2 4 1 1242 1 4 1 23 4 1 234 nn nn 12 分 令令110 22 4 1 )23(. 4 1 4 4 1 13 n nnn nTRA nn n nnA 4 1 23 4 1 53. 4 1 4 4 1 4 1 121 nn n nA 4 1 23 4 1 . 4 1 4 1 31 4 3 12 数学 第 12 页 共 14 页 n n n 4 1 23 4 1 1 4 1 - 4 1 31 1 1 4 1 23-2 n n 1 4 1 3 23 3 8 n n n A 14 分 1 22 12 122 4 1 6 43 3 8 133 n nn n
24、 nnn n baATR 15 分 法法 2 2： n n nR 2 1 . 2 1 3 2 1 2 2 1 1 32 132 2 1 2 1 ) 1(. 2 1 2 2 1 1 2 1 nn n nnR 132 2 1 2 1 . 2 1 2 1 2 1 2 1 nn n nR 1 1 2 1 2 1 1 2 1 - 2 1 n n n 1 2 1 2-1 n n n n nR 2 1 22 11 分 n n nR 4 1 222 2 12 分 n n nT) 2 1 )(. 2 1 )2( 2 1 ) 1( 2 1 32 ) 2 1 )(-) 2 1 )(1(. 2 1 )2( 2 1 )
25、 1( 2 1 - nn n nnT（ 1 22 ) 2 1 )( 2 1 .- 2 1 - 2 1 - 2 1 2 3 n n n nT 数学 第 13 页 共 14 页 1 1 ) 2 1 ( 2 1 1 2 1 - 4 1 - 2 1 n n n 1 2 1 ) 3 2 3 1 n n（ 1 ) 2 1 )( 3 2 ( 3 2 9 2 n n nT 13 分 n n nT 4 1 ) 3 1 2(2 3 2 3 12 14 分 1 122 4 1 6 43 3 8 3 n nn n TR 15 分 20. （本小题满分 16 分） 解： （I I） x mx x m xgxmxxg 1
26、0, 1ln ），定义域（ 1 分 （）（） 单调递增，无极值，在时，当0, 00 xgxgm 2 分 （）（） ,-, 00 mxgmxxgm的单调递增区间为解的时，令当 mxgmxxg-0, 0 ，的单调递减区间为解的令 3 分 1)ln(mmmmgg极小 无极大值 4 分 （) ) 1,x01ln)()( 11xx exmexxgxh令 x xem e x m xh x x 1 1 )( 则 5 分 （）（） 上单调递减，在时，1, 0)(1 xhxhm 满足题意。恒成立，0 0) 1 ( max xh hh 6 分 （）（） 0-1 111 xxx xeexxemxm ，时，令 011
27、 1 max mx x 上单调递减，在 数学 第 14 页 共 14 页 上单调递减，在且）（其中 1, 0)1 ( 1 xemm m 0, 1 00 xmx使得根据零点存在性定理 7 分 , 0 , 1, 0 0 0 xxx xxx ）（即 ）（即 上单调递增在）（即 00 , 1)(, 1, 0xxhxxxh 8 分 不满足题意，舍掉 又 , 1, 0 01 0 xxxh h 9 分 1m综上： 10 分 （III） 不妨设 12 0xx， 因为 12 f xf x， 所以 111222 11 sinln1sinln1 22 xxmxxxmx ， 令)(, 0cos1)(,sin)(xPx
28、xPxxxP在，0上单增 11 分 所以 2211 sinsinxxxx，从而 2121 sinsinxxxx； 12分 所以 21212121 11 lnlnsinsin 22 mxxxxxxxx，所以 21 21 20 lnln xx m xx ； 13 分 下面证明 21 12 12 lnln xx xx xx 令t x x 1 2 则1t 即证明t t t ln 1 ，只要证明0 1 ln t t t 14 分 设) 1( , 1 ln)( t t t tth 所以0 2 ) 1( )( 2 tt t th在），（1上恒成立 所以)(th在），（1单调递减，故0) 1 ()( hth 15 分 所以 21 2-xxm，即1 4 2 21 m xx 16 分
