1、小升初奥数排列组合问题一、 排列组合的应用【例 1】 小新、阿呆等七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法？（1）七个人排成一排； （2）七个人排成一排，小新必须站在中间.（3）七个人排成一排，小新、阿呆必须有一人站在中间.（4）七个人排成一排，小新、阿呆必须都站在两边.（5）七个人排成一排，小新、阿呆都没有站在边上.（6）七个人战成两排，前排三人，后排四人.（7）七个人战成两排，前排三人，后排四人. 小新、阿呆不在同一排。【解析】 （1）（种）。（2）只需排其余6个人站剩下的6个位置（种）.（3）先确定中间的位置站谁，冉排剩下的6个位置2=1440(种)（4）先排两边，再排剩下的5个位
2、置，其中两边的小新和阿呆还可以互换位置 (种)（5）先排两边，从除小新、阿呆之外的5个人中选2人，再排剩下的5个人，（种）.（6）七个人排成一排时，7个位置就是各不相同的现在排成两排，不管前后排各有几个人，7个位置还是各不相同的，所以本题实质就是7个元素的全排列（种）.（7）可以分为两类情况：“小新在前，阿呆在后”和“小新在前，阿呆在后”，两种情况是对等的，所以只要求出其中一种的排法数，再乘以2即可432=2880(种)排队问题，一般先考虑特殊情况再去全排列。【例 2】 某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由四个非数码组成，且四个数码之和是，那么确保打开保险柜至少要试几次？【解析】
3、四个非数码之和等于9的组合有1，1，1，6；1，1，2，5；1，1，3，4；1，2，2，4；1，2，3，3；2，2，2，3六种。第一种中，可以组成多少个密码呢？只要考虑的位置就可以了，可以任意选择个位置中的一个，其余位置放，共有种选择；第二种中，先考虑放，有种选择，再考虑的位置，可以有种选择，剩下的位置放，共有(种)选择同样的方法，可以得出第三、四、五种都各有种选择最后一种，与第一种的情形相似，的位置有种选择，其余位置放，共有种选择综上所述，由加法原理，一共可以组成(个)不同的四位数，即确保能打开保险柜至少要试次【例 3】 一种电子表在6时24分30秒时的显示为6:24：30，那么从8时到9时
4、这段时间里，此表的5个数字都不相同的时刻一共有多少个?【解析】 设A:BC是满足题意的时刻，有A为8，B、D应从0，1，2，3，4，5这6个数字中选择两个不同的数字，所以有种选法，而C、E应从剩下的7个数字中选择两个不同的数字，所以有种选法，所以共有=1260种选法。从8时到9时这段时间里，此表的5个数字都不相同的时刻一共有1260个。【例 4】 名男生，名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法： 甲不在中间也不在两端； 甲、乙两人必须排在两端； 男、女生分别排在一起； 男女相间【解析】 先排甲，个位置除了中间和两端之外的个位置都可以，有种选择，剩下的个人随意排，也就是个元素全排列
5、的问题，有(种)选择由乘法原理，共有(种)排法 甲、乙先排，有(种)排法；剩下的个人随意排，有(种)排法由乘法原理，共有(种)排法 分别把男生、女生看成一个整体进行排列，有(种)不同排列方法，再分别对男生、女生内部进行排列，分别是个元素与个元素的全排列问题，分别有(种)和(种)排法由乘法原理，共有(种)排法 先排名男生，有(种)排法，再把名女生排到个空档中，有(种)排法由乘法原理，一共有(种)排法。【例 5】 一台晚会上有个演唱节目和个舞蹈节目求： 当个舞蹈节目要排在一起时，有多少不同的安排节目的顺序？ 当要求每个舞蹈节目之间至少安排个演唱节目时，一共有多少不同的安排节目的顺序？【解析】 先将
6、个舞蹈节目看成个节目，与个演唱节目一起排，则是个元素全排列的问题，有 (种)方法第二步再排个舞蹈节目，也就是个舞蹈节 目全排列的问题，有(种)方法根据乘法原理，一共有(种)方法 首先将个演唱节目排成一列(如下图中的“”)，是个元素全排列的问题，一共有(种)方法第二步，再将个舞蹈节目排在一头一尾或个演唱节目之间(即上图中“”的位置)，这相当于从个“”中选个来排，一共有(种)方法根据乘法原理，一共有(种)方法。【例 6】 从1，2，8中任取3个数组成无重复数字的三位数，共有多少个？（只要求列式）从8位候选人中任选三位分别任团支书，组织委员，宣传委员，共有多少种不同的选法？3位同学坐8个座位，每个座
7、位坐1人，共有几种坐法？8个人坐3个座位，每个座位坐1人，共有多少种坐法？一火车站有8股车道，停放3列火车，有多少种不同的停放方法？8种不同的菜籽，任选3种种在不同土质的三块土地上，有多少种不同的种法？【解析】 按顺序，有百位、十位、个位三个位置，8个数字（8个元素）取出3个往上排，有种3种职务3个位置，从8位候选人（8个元素）任取3位往上排，有种3位同学看成是三个位置，任取8个座位号（8个元素）中的3个往上排（座号找人），每确定一种号码即对应一种坐法，有种3个坐位排号1，2，3三个位置，从8人中任取3个往上排（人找座位），有种3列火车编为1，2，3号，从8股车道中任取3股往上排，共有种土地编
8、1，2，3号，从8种菜籽中任选3种往上排，有种。【例 7】 某校举行男生乒乓球比赛，比赛分成3个阶段进行，第一阶段：将参加比赛的48名选手分成8个小组，每组6人，分别进行单循环赛；第二阶段：将8个小组产生的前2名共16人再分成个小组，每组人，分别进行单循环赛；第三阶段：由4个小组产生的个第名进行场半决赛和场决赛，确定至名的名次问：整个赛程一共需要进行多少场比赛？【解析】 第一阶段中，每个小组内部的个人每人要赛一场，组内赛场，共个小组，有场；第二阶段中，每个小组内部人中每人赛一场，组内赛场，共个小组，有场；第三阶段赛场根据加法原理，整个赛程一共有场比赛。【例 8】 8个人站队，冬冬必须站在小悦和
9、阿奇的中间（不一定相邻），小慧和大智不能相邻，小光和大亮必须相邻，满足要求的站法一共有多少种？【解析】 冬冬要站在小悦和阿奇的中间，就意味着只要为这三个人选定了三个位置，中间的位置就一定要留给冬冬，而两边的位置可以任意地分配给小悦和阿奇小慧和大智不能相邻的互补事件是小慧和大智必须相邻小光和大亮必须相邻，则可以将两人捆绑考虑只满足第一、三个条件的站法总数为：（种）同时满足第一、三个条件，满足小慧和大智必须相邻的站法总数为：（种）因此同时满足三个条件的站法总数为：（种）。【例 9】 某池塘中有三只游船，船可乘坐人，船可乘坐人，船可乘坐人，今有个成人和个儿童要分乘这些游船，为安全起见，有儿童乘坐的游
10、船上必须至少有个成人陪同，那么他们人乘坐这三支游船的所有安全乘船方法共有多少种？【解析】 由于有儿童乘坐的游船上必须至少有个成人陪同，所以儿童不能乘坐船若这人都不乘坐船，则恰好坐满两船，若两个儿童在同一条船上，只能在船上，此时船上还必须有个成人，有种方法；若两个儿童不在同一条船上，即分别在两船上，则船上有个儿童和个成人，个儿童有种选择，个成人有种选择，所以有种方法故人都不乘坐船有种安全方法；若这人中有人乘坐船，这个人必定是个成人，有种选择其余的个成人与个儿童，若两个儿童在同一条船上，只能在船上，此时船上还必须有个成人，有种方法，所以此时有种方法；若两个儿童不在同一条船上，那么船上有个儿童和个成
11、人，此时个儿童和个成人均有种选择，所以此种情况下有种方法；故人中有人乘坐船有种安全方法所以，共有种安全乘法【例 10】 从名男生，名女生中选出人参加游泳比赛在下列条件下，分别有多少种选法？恰有名女生入选；至少有两名女生入选；某两名女生，某两名男生必须入选；某两名女生，某两名男生不能同时入选；某两名女生，某两名男生最多入选两人。【解析】 恰有名女生入选，说明男生有人入选，应为种；要求至少两名女生人选，那么“只有一名女生入选”和“没有女生入选”都不符合要求运用包含与排除的方法，从所有可能的选法中减去不符合要求的情况：；人必须入选，则从剩下的人中再选出另外人，有种；从所有的选法种中减去这个人同时入选
12、的种：分三类情况：人无人入选；人仅有人入选；人中有人入选，共：。【例 11】 在10名学生中，有5人会装电脑，有3人会安装音响设备，其余2人既会安装电脑，又会安装音响设备，今选派由人组成的安装小组，组内安装电脑要人，安装音响设备要人，共有多少种不同的选人方案？【解析】 按具有双项技术的学生分类： 两人都不选派，有(种)选派方法； 两人中选派人，有种选法而针对此人的任务又分两类：若此人要安装电脑，则还需人安装电脑，有(种)选法，而另外会安装音响设备的人全选派上，只有种选法由乘法原理，有(种)选法；若此人安装音响设备，则还需从人中选人安装音响设备，有(种)选法，需从人中选人安装电脑，有(种)选法由
13、乘法原理，有(种)选法根据加法原理，有(种)选法；综上所述，一共有(种)选派方法 两人全派，针对两人的任务可分类讨论如下：两人全安装电脑，则还需要从人中选人安装电脑，另外会安装音响设备的人全选上安装音响设备，有(种)选派方案；两人一个安装电脑，一个安装音响设备，有(种)选派方案；两人全安装音响设备，有(种)选派方案根据加法原理，共有(种)选派方案综合以上所述，符合条件的方案一共有(种)【例 12】 有11名外语翻译人员，其中名是英语翻译员，名是日语翻译员，另外两名英语、日语都精通从中找出人，使他们组成两个翻译小组，其中人翻译英文，另人翻译日文，这两个小组能同时工作问这样的分配名单共可以开出多少
14、张？【解析】 针对两名英语、日语都精通人员(以下称多面手)的参考情况分成三类： 多面手不参加，则需从名英语翻译员中选出人，有种选择，需从名日语翻译员中选出人，有种选择由乘法原理，有种选择 多面手中有一人入选，有种选择，而选出的这个人又有参加英文或日文翻译两种可能：如果参加英文翻译，则需从名英语翻译员中再选出人，有种选择，需从名日语翻译员中选出人，有种选择由乘法原理，有种选择；如果参加日文翻译，则需从名英语翻译员中选出人，有种选择，需从名日语翻译员中再选出名，有种选择由乘法原理，有种选择根据加法原理，多面手中有一人入选，有种选择 多面手中两人均入选，对应一种选择，但此时又分三种情况：两人都译英文
15、；两人都译日文；两人各译一个语种情况中，还需从名英语翻译员中选出人，有种选择需从名日语翻译员中选人，种选择由乘法原理，有种选择情况中，需从名英语翻译员中选出人，有种选择还需从名日语翻译员中选出人，有种选择根据乘法原理，共有种选择情况中，两人各译一个语种，有两种安排即两种选择剩下的需从名英语翻译员中选出人，有种选择，需从名日语翻译员中选出人，有种选择由乘法原理，有种选择根据加法原理，多面手中两人均入选，一共有种选择综上所述，由加法原理，这样的分配名单共可以开出张二、 几何计数【例 13】 下图中共有_个正方形。【解析】 每个正方形中有：边长为1的正方形有个；边长为2的正方形有个； 边长为3的正方
16、形有个；边长为4的正方形有个；总共有(个)正方形现有5个的正方形，它们重叠部分是4个的正方形因此，图中正方形的个数是。【例 14】 在图中(单位：厘米)： 一共有几个长方形? 所有这些长方形面积的和是多少?【解析】 一共有(个)长方形；所求的和是 (平方厘米)。【例 15】 由20个边长为1的小正方形拼成一个长方形中有一格有“”图中含有“”的所有长方形(含正方形)共有 个，它们的面积总和是 。 (第六届走美决赛试题)【解析】 含的一行内所有可能的长方形有：(八种) 含的一列内所有可能的长方形有：(六种)所以总共长方形有个，面积总和为。【巩固】 图中共有多少个三角形？【解析】 显然三角形可分为尖
17、向上与尖向下两大类，两类中三角形的个数相等尖向上的三角形又可分为6类L（1）最大的三角形1个(即ABC)，（2）第二大的三角形有3个（3）第三大的三角形有6个（4）第四大的三角形有10个（5）第五大的三角形有15个（6）最小的三角形有24个所以尖向上的三角形共有1+3+6+10+15+24=59（个）图中共有三角形259=118（个）。【例 16】 一个圆上有12个点A1，A2，A3，A11，A12以它们为顶点连三角形，使每个点恰好是一个三角形的顶点，且各个三角形的边都不相交问共有多少种不同的连法?【解析】 我们采用递推的方法 I如果圆上只有3个点，那么只有一种连法 如果圆上有6个点，除A1点
18、所在三角形的三顶点外，剩下的三个点一定只能在A1所在三角形的一条边所对应的圆弧上，表1给出这时有可能的连法。 如果圆上有9个点，考虑A1所在的三角形此时，其余的6个点可能分布在： A1所在三角形的一个边所对的弧上； 也可能三个点在一个边所对应的弧上，另三个点在另一边所对的弧上 在表2中用“+”号表示它们分布在不同的边所对的弧 如果是情形，则由，这六个点有三种连法； 如果是情形，则由，每三个点都只能有一种连法 共有12种连法 最后考虑圆周上有12个点同样考虑A1所在三角形，剩下9个点的分布有三种可能： 9个点都在同一段弧上： 有6个点是在一段弧上，另三点在另一段弧上； 每三个点在A1所在三角形的
19、一条边对应的弧上得到表3共有123+36+155种所以当圆周上有12个点时，满足题意的连法有55种。课后练习：练习1. 如图，其中的每条线段都是水平的或竖直的，边界上各条线段的长度依次为5厘米、7厘米、9厘米、2厘米和4 厘米、6厘米、5厘米、1厘米求图中长方形的个数，以及所有长方形面积的和。【解析】 利用长方形的计数公式：横边上共有n条线段，纵边上共有m条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn个，所以有(4+3+2+1)（4+3+2+1）=100，这些长方形的面积和为：（5+7+9+2+12+16+11+21+18+23）（4+6+5+1+10+11+6+15+12+16）=12486=1
20、0664。练习2. 有10粒糖，每天至少吃一粒，吃完为止，共有多少种不同的吃法？【解析】 初看本题似乎觉得很好入手，比如可以按天数进行分类枚举：1天吃完的有1种方法，这天吃10块；2天吃完的有9种方法，10=1+9=2+8=9+1；当枚举到3天吃完的时，情况就有点错综复杂了，叫人无所适从所以我们必须换一种角度来思考不妨从具体的例子入手来分析，比如这10块糖分4天吃完： 第1天吃2块；第2天吃3块；第3天吃1块；第4天吃4块我们可以将10个“”代表10粒糖，把10个“”排成一排，“”之间共有9个空位，若相邻两块糖是分在两天吃的，就在其间画一条竖线(如下图)| 比如上图就表示“第1天吃2块；第2天
21、吃3块；第3天吃1块；第4天吃4块” 这样一来，每一种吃糖的方法就对应着一种“在9个空位中插入若干个|的方法”，要求有多少个不同的吃法，就是要求在这9个空位中插入若干个“|”的方法数。由于每个空位都有画|与“不画|两种可能：每个空位都有画“|”与不画“|”两种可能根据乘法原理，在这9个空位中画若干个“|”的方法数有：，这也就说明吃完10颗糖共有512种不同的吃法。练习3. 用3根等长的火柴可以摆成一个等边三角形如图用这样的等边三角形拼合成一个更大的等边三角形.如果这个大等边三角形的每边由20根火柴组成，那么一共要用多少根火柴?【解析】 把大的等边三角形分为“20”层分别计算火柴的根数：最上一层
22、只用了3根火柴；从上向下数第二层用了32=6根；从上向下数第二层用了33=9根；从上向下数第二层用了320=60根；所以总共要用火柴3（1+2+3+20）=630。练习4. 如图所示，用长短相同的火柴棍摆成31996的方格网，其中每个小方格的边都由一根火柴棍组成，那么一共需用多少根火柴棍?【解析】 横放需19964根，竖放需19973根共需19964+19973=13975根。练习5. 编号为1、2、3、4的四把椅子，摆成一个圆圈。现有甲、乙、丙、丁四人去坐，规定甲、乙两人必须坐在相邻座位上，一共有多少种坐法？（长沙市奥林匹克代表队集训试题）解析：如右图，四把椅子排成一个圆圈。 当甲坐在号位时
23、，乙只能坐在或号位上，则共有4种排法；同理，当甲分别坐在、号位上时，各有4种排法。所以，一共有16种排列法。练习6. 从1至9这九个数字中挑出六个不同的数填在下图的六个圆圈中，使任意相邻两个圆圈内数字之和都是质数，那么最多能找出_种不同的挑法来。（挑出的数字相同，而排列次序不同的都只算一种）（北京市第九届“迎春杯”小学数学竞赛试题） 解析：在1至9这九个自然数中，奇数有1、3、5、7、9五个，偶数有2、4、6、8四个。要使排列之后，每相邻两个数字之和为质数，则必须奇数与偶数间隔排列，也就是每次取3个奇数和3个偶数。 从五个奇数中，取3个数共有10种方法； 从四个偶数中，取3个数共有4种方法。但并不是每一种3个奇数和3个偶数都可以排成符合要求的排列。经检验，共有26种排法。
