1、浙江省温州市十校联合体高二（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（4分）准线方程是y=2的抛物线标准方程是（）Ax2=8yBx2=8yCy2=8xDy2=8x2（4分）已知直线l1：xy+1=0和l2：xy+3=0，则l1与l2之间距离是（）ABCD23（4分）设三棱柱ABCA1B1C1体积为V，E，F，G分别是AA1，AB，AC的中点，则三棱锥EAFG体积是（）ABCD4（4分）若直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相切，则m的值是（）A0或2B2CD或25（4分）在四面体ABCD中（）命题：ADBC且ACBD
2、则ABCD命题：AC=AD且BC=BD则ABCDA命题都正确B命题都不正确C命题正确，命题不正确D命题不正确，命题正确6（4分）设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面考查下列命题，其中正确的命题是（）Am，n，mnB，m，nmnC，m，nmnD，=m，nmn7（4分）正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角ABD1B1的大小是（）ABCD8（4分）过点（0，2）的直线交抛物线y2=16x于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且y12y22=1，则OAB（O为坐标原点）的面积为（）ABCD9（4分）已知在ABC中，ACB=，AB=2BC，现将ABC绕BC所在直线旋转到PBC，设二面角P
3、BCA大小为，PB与平面ABC所成角为，PC与平面PAB所成角为，若0，则（）A且B且C且D且10（4分）如图，F1，F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，点A是C1，C2的公共点设C1，C2的离心率分别是e1，e2，F1AF2=2，则（）ABCD二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11（6分）双曲线C：x24y2=1的渐近线方程是 ，双曲线C的离心率是 12（6分）某空间几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积V= cm3，表面积S= cm213（4分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，则满足= 14（6分
4、）已知直线l1：y=mx+1和l2：x=my+1相交于点P，O为坐标原点，则P点横坐标是 （用m表示），的最大值是 15（6分）四面体ABCD中，已知AB=AC=BC=BD=CD=1，则该四面体体积的最大值是 ，表面积的最大值是 16（4分）过双曲线G：（a0，b0）的右顶点A作斜率为1的直线m，分别与两渐近线交于B，C两点，若|AB|=2|AC|，则双曲线G的离心率为 17（4分）在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点P是正方体棱上的一点（不包括棱的端点），对确定的常数m，若满足|PB|+|PD1|=m的点P的个数为n，则n的最大值是 三、解答题：本大题共5小题，共74分解答应写出
5、文字说明、证明过程或演算步骤18（14分）已知抛物线C：y2=4x，直线l：y=x+b与抛物线交于A，B两点（）若|AB|=8，求b的值；（）若以AB为直径的圆与x轴相切，求该圆的方程19（15分）在四棱锥EABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC底面ABCD，F为BE的中点（）求证：DE平面ACF；（）求证：BDAE；（）若AB=CE，在线段EO上是否存在点G，使CG平面BDE？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由20（15分）如图，四棱锥PABCD，PA底面ABCD，ABCD，ABAD，AB=AD=PA=2，CD=4，E，F分别是PC，PD的中点（） 证明：EF平面PA
6、B；（） 求直线AC与平面ABEF所成角的正弦值21（15分）已知点C（x0，y0）是椭圆+y2=1上的动点，以C为圆心的圆过点F（1，0）（）若圆C与y轴相切，求实数x0的值；（）若圆C与y轴交于A，B两点，求|FA|FB|的取值范围22（15分）已知椭圆C的方程是，直线l：y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点，若F1Ml，F2Nl，M，N分别为垂足（）证明：；（）求四边形F1MNF2面积S的最大值浙江省温州市十校联合体高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（4分）准线方程是y=2的抛物
7、线标准方程是（）Ax2=8yBx2=8yCy2=8xDy2=8x【解答】解：由题意可知抛物线的焦点在y轴的正半轴，设抛物线标准方程为：x2=2py（p0），抛物线的准线方程为y=2，=2，p=4，抛物线的标准方程为：x2=8y故选A2（4分）已知直线l1：xy+1=0和l2：xy+3=0，则l1与l2之间距离是（）ABCD2【解答】解：已知平行直线l1：xy+1=0与l2：xy+3=0，l1与l2间的距离 d=，故选C3（4分）设三棱柱ABCA1B1C1体积为V，E，F，G分别是AA1，AB，AC的中点，则三棱锥EAFG体积是（）ABCD【解答】解：三棱柱ABCA1B1C1体积为V，V=SAB
8、CAA1，E，F，G分别是AA1，AB，AC的中点，SAFG=，三棱锥EAFG体积：VEAFG=SABCAA1=故选：D4（4分）若直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相切，则m的值是（）A0或2B2CD或2【解答】解：圆x2+y2=m的圆心为原点，半径r=若直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相切，得圆心到直线的距离d=，解之得m=2（舍去0）故选B5（4分）在四面体ABCD中（）命题：ADBC且ACBD则ABCD命题：AC=AD且BC=BD则ABCDA命题都正确B命题都不正确C命题正确，命题不正确D命题不正确，命题正确【解答】解：对于作AE面BCD于E，连接DE，可得AEBC，同理可得AE
9、BD，证得E是垂心，则可得出AECD，进而可证得CD面AEB，即可证出ABCD，故正确；对于，取CD的中点O，连接AO，BO，则CDAO，CDBO，AOBO=O，CD面ABO，AB面ABO，CDAB，故正确故选A6（4分）设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面考查下列命题，其中正确的命题是（）Am，n，mnB，m，nmnC，m，nmnD，=m，nmn【解答】解：设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则：m，n，mn时，、可能平行，也可能相交，不一定垂直，故A不正确，m，n时，m与n一定垂直，故B正确，m，n时，m与n可能平行、相交或异面，不一定垂直，故C错误，=m时，若nm，n，
10、则n，但题目中无条件n，故D也不一定成立，故选B7（4分）正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角ABD1B1的大小是（）ABCD【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCDA1B1C1D1中棱长为1，则A（1，0，0），B（1，1，0），B1（1，1，1），D1（0，0，1），=（0，1，0），=（1，1，1），=（0，0，1），设平面ABD1的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得，设平面BB1D1的法向量=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，1，0），设二面角ABD1B1的大小为，则cos=，=二面角ABD1B1的大小为故选：C
11、8（4分）过点（0，2）的直线交抛物线y2=16x于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且y12y22=1，则OAB（O为坐标原点）的面积为（）ABCD【解答】解：设直线方程为x=my+2m，代入y2=16x可得y216my32m=0，y1+y2=16m，y1y2=32m，（y1y2）2=256m2+128m，y12y22=1，256m2（256m2+128m）=1，OAB（O为坐标原点）的面积为|y1y2|=故选：D9（4分）已知在ABC中，ACB=，AB=2BC，现将ABC绕BC所在直线旋转到PBC，设二面角PBCA大小为，PB与平面ABC所成角为，PC与平面PAB所成角为，若0，则（
12、）A且B且C且D且【解答】解：在ABC中，ACB=，AB=2BC，可设BC=a，可得AB=PB=2a，AC=CP=a，过C作CH平面PAB，连接HB，则PC与平面PAB所成角为=CPH，且CHCB=a，sin=；由BCAC，BCCP，可得二面角PBCA大小为，即为ACP，设P到平面ABC的距离为d，由BC平面PAC，且VBACP=VPABC，即有BCSACP=dSABC，即aaasin=daa解得d=sin，则sin=，即有另解：由BCAC，BCCP，可得二面角PBCA大小为，即为ACP以C为坐标原点，CA为x轴，CB为z轴，建立直角坐标系Oxyz，可设BC=1，则AC=PC=，PB=AB=2
13、，可得P（cos，sin，0），过P作PMAC，可得PM平面ABC，PBM=，sin=，可得；过C作CN垂直于平面PAB，垂足为N，则CPN=，sin=故选：B10（4分）如图，F1，F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，点A是C1，C2的公共点设C1，C2的离心率分别是e1，e2，F1AF2=2，则（）ABCD【解答】解：根据椭圆的几何性质可得，=b12tan，e1=，a1=，b12=a12c2=c2，=c2（）tan根据双曲线的几何性质可得，=，a2=，b22=c2a22=c2=c2（）=c2（），c2（）tan=c2（），（）sin2=（）cos2，故选：B二、填空题：本大题共7小题，多
14、空题每题6分，单空题每题4分，共36分11（6分）双曲线C：x24y2=1的渐近线方程是y=x，双曲线C的离心率是【解答】解：双曲线C：x24y2=1，即为=1，可得a=1，b=，c=，可得渐近线方程为y=x；离心率e=故答案为：y=x；12（6分）某空间几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积V=cm3，表面积S=cm2【解答】解：由题意，该几何体是以俯视图为底面，有一条侧棱垂直于底面的三棱锥，所以V=cm3，S=+=故答案为：；13（4分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，则满足=【解答】解：设N到准线的距离等于d，由抛物线的定义可得d
15、=|NF|， 由题意得 cosNMF=NMF=故答案为：14（6分）已知直线l1：y=mx+1和l2：x=my+1相交于点P，O为坐标原点，则P点横坐标是（用m表示），的最大值是【解答】解：直线l1：y=mx+1和l2：x=my+1相交于点P，x=m（mx+1）+1，解得x=，y=m+1=，P点横坐标是；=（，），=+=2，且m=0时“=”成立；的最大值是故答案为：，15（6分）四面体ABCD中，已知AB=AC=BC=BD=CD=1，则该四面体体积的最大值是，表面积的最大值是+1【解答】解：四面体ABCD中，AB=AC=BC=BD=CD=1，当平面ABC平面BDC时，该四体体积最大，此时，过D
16、作DE平面ABC，交BC于E，连结AE，则AE=DE=，该四面体体积的最大值：Smax=ABC，BCD都是边长为1的等边三角形，面积都是S=，要使表面积最大需ABD，ACD面积最大，当ACCD，ABBD时，表面积取最大值，此时=，四面体表面积最大值Smax=1+故答案为：，16（4分）过双曲线G：（a0，b0）的右顶点A作斜率为1的直线m，分别与两渐近线交于B，C两点，若|AB|=2|AC|，则双曲线G的离心率为或【解答】解：由题得，双曲线的右顶点A（a，0）所以所作斜率为1的直线l：y=xa，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B（x1，y1），C（x2，y2）联立其中一条渐近线y=x，则
17、 ，解得x2=；同理联立 ，解得x1=；又因为|AB|=2|AC|，（i）当C是AB的中点时，则x2=2x2=x1+a，把代入整理得：b=3a，e=；（ii）当A为BC的中点时，则根据三角形相似可以得到，x1+2x2=3a，把代入整理得：a=3b，e=综上所述，双曲线G的离心率为或故答案为：或17（4分）在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点P是正方体棱上的一点（不包括棱的端点），对确定的常数m，若满足|PB|+|PD1|=m的点P的个数为n，则n的最大值是12【解答】解：正方体的棱长为1，BD1=，点P是正方体棱上的一点（不包括棱的端点），满足|PB|+|PD1|=m，点P是以2c
18、=为焦距，以2a=m为长半轴的椭圆，P在正方体的棱上，P应是椭圆与正方体与棱的交点，结合正方体的性质可知，满足条件的点应该在正方体的12条棱上各有一点满足条件满足|PB|+|PD1|=m的点P的个数n的最大值是12，故答案为12三、解答题：本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18（14分）已知抛物线C：y2=4x，直线l：y=x+b与抛物线交于A，B两点（）若|AB|=8，求b的值；（）若以AB为直径的圆与x轴相切，求该圆的方程【解答】解：（）设A（x1，y1），B（x2，y2），由抛物线C：y2=4x，直线l：y=x+b得y2+4y4b=0（2分）|AB|=|y1y
19、2|=8（5分）解得b=1（7分）（）以AB为直径的圆与x轴相切，设AB中点为M|AB|=|y1+y2|又y1+y2=4（9分）4=解得b=，则M（，2）（12分）圆方程为（x）2+（y+2）2=4（14分）19（15分）在四棱锥EABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC底面ABCD，F为BE的中点（）求证：DE平面ACF；（）求证：BDAE；（）若AB=CE，在线段EO上是否存在点G，使CG平面BDE？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由【解答】解：（I）连接OF由ABCD是正方形可知，点O为BD中点又F为BE的中点，所以OFDE又OF面ACF，DE面ACF，所以DE平面
20、ACF（4分）（II） 证明：由EC底面ABCD，BD底面ABCD，ECBD，由ABCD是正方形可知，ACBD，又ACEC=C，AC、E平面ACE，BD平面ACE，又AE平面ACE，BDAE（9分）（III）：在线段EO上存在点G，使CG平面BDE理由如下：取EO中点G，连接CG，在四棱锥EABCD中，AB=CE，CO=AB=CE，CGEO由（）可知，BD平面ACE，而BD平面BDE，平面ACE平面BDE，且平面ACE平面BDE=EO，CGEO，CG平面ACE，CG平面BDE故在线段EO上存在点G，使CG平面BDE由G为EO中点，得（14分）20（15分）如图，四棱锥PABCD，PA底面ABC
21、D，ABCD，ABAD，AB=AD=PA=2，CD=4，E，F分别是PC，PD的中点（） 证明：EF平面PAB；（） 求直线AC与平面ABEF所成角的正弦值【解答】（）证明：因为E，F分别是PC，PD的中点，所以EFCD，又因为CDAB，所以EFAB，又因为EF平面PAB，AB平面PAB，所以EF平面PAB（）解：取线段PA中点M，连结EM，则EMAC，故AC与面ABEF所成角的大小等于ME与面ABEF所成角的大小作MHAF，垂足为H，连结EH因为PA平面ABCD，所以PAAB，又因为ABAD，所以AB平面PAD，又因为EFAB，所以EF平面PAD因为MH平面PAD，所以EFMH，所以MH平面
22、ABEF，所以MEH是ME与面ABEF所成的角在直角EHM中，EM=AC=，MH=，得sinMEH=所以AC与平面ABEF所成的角的正弦值是21（15分）已知点C（x0，y0）是椭圆+y2=1上的动点，以C为圆心的圆过点F（1，0）（）若圆C与y轴相切，求实数x0的值；（）若圆C与y轴交于A，B两点，求|FA|FB|的取值范围【解答】解：（）当圆C与y轴相切时，|x0|=，（2分）又因为点C在椭圆上，所以，（3分）解得，（5分）因为，所以（6分）（）圆C的方程是（xx0）2+（yy0）2=（x01）2+，令x=0，得y22y0y+2x01=0，设A（0，y1），B（0，y2），则y1+y2=2
23、y0，y1y2=2x01，（8分）由，及得22x02+2，又由P点在椭圆上，x0，所以，（10分）|FA|FB|=（12分）=，（14分）所以|FA|FB|的取值范围是（4，2+2（15分）22（15分）已知椭圆C的方程是，直线l：y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点，若F1Ml，F2Nl，M，N分别为垂足（）证明：；（）求四边形F1MNF2面积S的最大值【解答】解：（）证明：将直线的方程y=kx+m代入椭圆C的方程3x2+4y2=12中，得（4k2+3）x2+8kmx+4m212=0由直线与椭圆C仅有一个公共点知，=64k2m24（4k2+3）（4m212）=0，化简得：m2=4k2+3设d1=|F1M=，d2=|F2M|=，d1d2=3，|F1M|+|F2M|=d1+d2=2（）当k0时，设直线的倾斜角为，则|d1d2|=|MN|tan|，|MN|=，S=|MN|（d1+d2）=，m2=4k2+3，当k0时，|m|，+=，S当k=0时，四边形F1MNF2是矩形， 所以四边形F1MNF2面积S的最大值为2
