1、武武汉汉市市 2020 届届高高中中毕毕业业生生学学习习质质量量检检测测 文文科科数数学学 一一、选选择择题题：本本题题共共 12 小小题题，每每小小题题 5 分分，共共 60 分分在在每每小小题题给给出出的的四四个个选选项项中中，只只有有一一 项项是是符符合合题题目目要要求求的的 1.已知复数 z（1+2i） （1+ai） （aR） ，若 zR，则实数 a（） A. 1 2 B. 1 2 C. 2D. 2 【答案】D 【解析】因为 z（1+2i） （1+ai）= 1 22aai， 又因为 zR， 所以20a， 解得 a-2. 故选：D 2.已知集合 Mx|1x2，Nx|x（x+3）0，则 M
2、N（） A. 3，2）B. （3，2）C. （1，0D. （1，0） 【答案】C 【解析】因为 Nx|x（x+3）0=x|-3x0， 又因为 Mx|1x2， 所以 MNx|1x0. 故选：C 3.同时抛掷两个质地均匀的骰子，向上的点数之和小于 5 的概率为（） A. 1 9 B. 1 6 C. 1 18 D. 5 12 【答案】B 【解析】抛掷两个质地均匀的骰子，共有6 636种可能， 向上的点数之和小于 5 的有 111213212 2 , 3,1， ， ， ，有 6 种， 所以向上的点数之和小于 5 的概率为 1 6 . 故选：B 4.执行如图所示的程序框图，输出的 s 的值为（） A.
3、5 3 B. 8 5 C. 13 8 D. 21 13 【答案】C 【解析】第一次循环，2,1si，第二次循环， 3 ,2 2 si，第三次循环， 5 ,3 3 si， 第四次循环， 8 ,4 5 si，第四次循环， 13 ,5 8 si，此时不满足4i ，输出 13 8 s . 故选：C 5.已知数列an的前 n 项之和 Snn2+1，则 a1+a3（） A. 6B. 7C. 8D. 9 【答案】B 【解析】已知数列an的前 n 项之和 Snn2+1，所以 11 2Sa， 所以 2122 5,3Saaa，所以 31233 10,5Saaaa，所以 a1+a37. 故选：B 6.圆 C1：x2
4、+y24 与圆 C2：x2+y24x+4y120 的公共弦的长为（） A. 2 B.3C. 2 2 D. 3 2 【答案】C 【解析】因为圆 C1：x2+y24 与圆 C2：x2+y24x+4y120， 两式相减得20xy，即公共弦所在的直线方程. 圆 C1：x2+y24，圆心到公共弦的距离为 2 2 d ， 所以公共弦长为： 22 22 2lrd .故选：C 7.已知 tan（ 4 ）7，且 3 2 ，则 sin（） A. 3 5 B. 3 5 C. 4 5 D. 4 5 【答案】B 【解析】因为 tan（ 4 ） 1tan 7, 1tan 所以 3 tan 4 ，即 sin3 cos4 ，
5、 又因为 22 sincos1 且 3 2 ， 所以 sin 3 5 -.故选：B 8.若 1 e ， 2 e 是夹角为 60的两个单位向量，而a 2 12 ee ，b 3 1 e 2 2 e ，则向量a 和b 夹角为（） A. 6 B. 3 C. 2 3 D. 5 6 【答案】C 【解析】因为 1 e ， 2 e 是夹角为 60的两个单位向量，且a 2 12 ee ，b 3 1 e 2 2 e ， 所以 1212 7 232 2 a beeee ，所以 2 12 27aee ， 2 12 327bee ， 所以 1 cos, 2 a b a b a b ，又因为,0,a b ,所以向量a 和
6、b 夹角为 2 3 . 故选：C 9.已知函数 f（x）sin2x+sin2（x 3 ） ，则 f（x）的最小值为（） A. 1 2 B. 1 4 C. 3 4 D. 2 2 【答案】A 【解析】已知函数 f（x）sin2x+sin2（x 3 ）= 2 1 cos 2 1 cos23 22 x x ， = 1 cos23sin21 11cos 2 22223 xx x ， 因为cos 21,1 3 x ，所以 f（x）的最小值为 1 2 .故选：A 10.在正方形 SG1G2G3中，E、F 分别是 G1G2及 G2G3的中点，D 是 EF 的中点，现在沿 SE、SF 及 EF 把这 个正方形折
7、成一个四面体，使 G1、G2、G3三点重合，重合后的点记为 G，那么，在四面体 SEFG 中必有 （） A. SGEFG 所在平面B. SDEFG 所在平面 C. GFSEF 所在平面D. GDSEF 所在平面 【答案】A 【解析】在正方形 SG1G2G3中，因为 S G1G1E，所以在四面体中有 SGEG. 又因为 S G3G3F，所以在四面体中有 SGFG，且GEGFG，所以 SGEFG 所在平面. 故选：A 11.如果关于 x 的不等式 x3ax2+10 在1，1恒成立，则实数 a 的取值范围是（） A. a0B. alC. a2D. a 3 3 2 2 【答案】A 【解析】当0x 时，
8、不等式成立，aR 当0x 时关于 x 的不等式 x3ax2+10 在1,00,1x 恒成立， 即 2 1 ax x 在1,00,1x 恒成立，令 2 1 g xx x ， 1 3 3 2 102gxx x ， 当1,0x 时， 0gx ，当0,1x时， 0gx .所以 g x在1,0递增，在0,1递减 当1,0x 时， min 10gxg当0,1x时， min 12gxg 所以 g x的最小值为 0.所以0a 故选：A 12.已知ABC 的三边分别为 a，b，c，若满足 a2+b2+2c28，则ABC 面积的最大值为（） A. 5 5 B. 2 5 5 C. 3 5 5 D. 5 3 【答案】
9、B 【解析】因为 a2+b2+2c28，所以 222 82abc ，由余弦定理得 2222 83 cos 22 abcc C abab ， 即 2 2cos83abCc 由正弦定理得in 1 2 sSabC，即2sin4abCS 由，平方相加得 222 22 2222 483482abcSabc， 所以 2 22 22 2 2222 1 165564 48283165 525 cc Scccc ， 即 2 4 5 S ，所以 2 5 5 S ，当且仅当 22 ab 且 22 1655cc 即 222 128 , 55 abc时，取等号. 故选：B 二二、填填空空题题：本本题题共共 4 小小题题
10、，每每小小题题 5 分分，共共 20 分分 13.函数 f（x）xlnx+1 在点（e，e+l）处的切线方程为_ 【答案】2xye+10 【解析】因为函数 f（x）xlnx+1，所以 1lnfxx ， 所以 1 ln2fee ， ln11f eeee ， 所以切线方程为：12yexe，即210xye . 14.若函数 f（x） cosxa sinx 在（0， 2 ）上单调递减，则实数 a 的取值范围为_ 【答案】a1 【解析】因为函数 f（x） cosxa sinx 在（0， 2 ）上单调递减， 所以 2 1cos 0 sin ax fx x 在（0， 2 ）上恒成立 ，即 1 cos a x
11、 在（0， 2 ）上恒成立 ， 因为0, 2 x ，所以cos0,1x，所以 1 (, 1 cosx ，所以1a . 15.已知 22 11Mxyyx ，则 M 的最大值为_ 【答案】1. 【解析】由柯西不等式得： 222 222222 11111xyyxxxyy ， 当且仅当 2 2 1 1 yy x x ，即 22 1xy取等号.故 M 的最大值为 1 16.根据气象部门预报， 在距离某个码头 A 南偏东 45方向的 600km 处的热带风暴中心 B 正以 30km/h 的速度 向正北方向移动，距离风暴中心 450km 以内的地区都将受到影响，从现在起经过_小时后该码头 A 将受到 热带风
12、暴的影响（精确到 0.01） 【答案】9.14h. 【解析】建立如图所示直角坐标系： 设风暴中心最初在 B 处，经 th 后到达 C 处自 B 向 x 轴作垂线，垂足为 D 若在点 C 处受到热带风暴的影响，则 OC450，即 22 ADDC450， 即 22 (60045 )(6004530 )cossint450；两边平方并化简、整理得 t2202t+1750 t 10 25 或10 2 5 ， 10 24159. 所以9.14时后码头将受到热带风暴的影响 三三、解解答答题题：共共 70 分分解解答答应应写写出出文文字字说说明明、证证明明过过程程或或演演算算步步骤骤第第 17-21 题题为
13、为必必考考题题， 每每个个试试题题考考生生都都必必须须作作答答第第 22、23 题题为为选选考考题题，考考生生根根据据要要求求作作答答 （一一）必必考考题题：共共 60 分分 17.若等比数列an的前 n 项和为 Sn，满足 a4a1S3，a5a115 （1）求数列an的首项 a1和公比 q； （2）若 ann+100，求 n 的取值范围 【答案】 （1）q2，a11； （2）n7. 【解析】 （1）a4a1S3，a5a115显然公比 q1， 3 1 3 1 4 1 1 1 1 115 aq a q q a q ，解可得 q2，a11， （2）由（1）可得 an 1 2n，ann+100，即
14、1 2nn+100，解可得，n7 18.如图，在棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，P，Q，L 分别为棱 A1D1，C1D1，BC 的中点 （1）求证：ACQL； （2）求四面体 DPQL 的体积 【答案】 （1）见解析； （2） 3 1 8 a. 【解析】 （1）证明：如图所示： H 为 CD 的中点，连接 QH，HL，P，Q，L 分别为棱 A1D1，C1D1，BC 的中点 所以 QHAC，ACHL，QHHLH，所以 AC平面 QHL， QL平面 QHL，ACQL； （2）解：如图所示： 连接 PB1，B1L，四边形 LDPB1是平行四边形，则 11 Q PDLQ PB LL
15、QPB VVV 11 2 1 111111111 332222222 L QPBPQB VSAAaa aa aaaa 3 1 8 a 19.一个小商店从一家食品有限公司购进 10 袋白糖，每袋白糖的标准重量是 500g，为了了解这些白糖的实 际重量，称量出各袋白糖的实际重量（单位：g）如下：503，502，496，499，491，498，506，504，501， 510 （1）求这 10 袋白糖的平均重量x和标准差 s； （2）从这 10 袋中任取 2 袋白糖，那么其中恰有一袋的重量不在（x s，x s）的概率是多少？（附： 25.8 5.08，258 16.06，25.9 5.09，259
16、16.09） 【答案】 （1）501，5.08； （2） 16 45 . 【解析】 （1）根据题意，10 袋白糖的实际重量如下：503，502，496，499，491，498，506，504，501，510， 则其平均重量 1 10 x （503+502+496+499+491+498+506+504+501+510）500 1 10 （3+2419 2+6+4+1+10）501， 其方差 S2 1 10 （503501）2+（502501）2+（496501）2+（499501）2+（491501）2+（498501） 2+（506501）2+（504501）2+（501501）2+（510
17、501）225.8； 则其标准差 s25.85.08； （2）根据题意，由（1）的结论，10 袋白糖在（x s，x s）之间的有 503，502，496，499，498，506， 504，501，共 8 袋， 从 10 袋白糖中任取两袋，有 C10245 种取法， 其中恰有一袋的重量不在（x s，x s）的情况有 8216 种， 则恰有一袋的重量不在（x s，x s）的概率 P 16 45 20.已知抛物线：y22px（p0）的焦点为 F，P 是抛物线上一点，且在第一象限，满足FP （2，23） （1）求抛物线的方程； （2）已知经过点 A（3，2）的直线交抛物线于 M，N 两点，经过定点 B
18、（3，6）和 M 的直线与抛物 线交于另一点 L，问直线 NL 是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由 【答案】 （1）y24x； ； （2）直线 NL 恒过定点（3，0） ，理由见解析. 【解析】 （1）由抛物线的方程可得焦点 F（ 2 p ，0） ，满足FP （2，23）的 P 的坐标为（2 2 p ，2 3） ， P 在抛物线上， 所以（23）22p（2 2 p ） ，即 p2+4p120，p0，解得 p2，所以抛物线的方程为：y24x； （2）设 M（x0，y0） ，N（x1，y1） ，L（x2，y2） ，则 y124x1，y224x2， 直线 MN 的斜率 kMN 101
19、0 22 101010 4 4 yyyy yyxxyy ， 则直线 MN 的方程为：yy0 10 4 yy （x 2 0 4 y ） ，即 y 01 01 4xy y yy ， 同理可得直线 ML 的方程整理可得 y 02 02 4xy y yy ， 将 A（3，2） ，B（3，6）分别代入，的方程 可得 01 01 02 02 12 2 12 6 y y yy y y yy ，消 y0可得 y1y212， 易知直线 kNL 12 4 yy ，则直线 NL 的方程为：yy1 12 4 yy （x 2 1 4 y ） ， 即 y 12 4 yy x 12 12 y y yy ，故 y 12 4
20、yy x 12 12 yy ， 所以 y 12 4 yy （x+3） ，因此直线 NL 恒过定点（3，0） 21.（1）研究函数 f（x） sinx x 在（0，）上的单调性； （2）求函数 g（x）x2+cosx 的最小值 【答案】 （1）f（x）在（0， ）递减； （2） 2 4 . 【解析】 （1）因为 sinx f x x ，所以 2 xcosxsinx fx x ， 设 m（x）xcos xsinx，x（0，） ，m（x）xsin x0， 所以 m（x）在（0， ）递减，则 m（x）m（0）0 故 f（x）0，所以 f（x）在（0， ）递减； （2）观察知 g（x）为偶函数，故只需求
21、 x0，+）时 g（x）的最小值， 由 g（x）2xsin x，当 x（0， 2 ） 时，设 n（x）2x sin x，则 n（x）2 cos x，显然 n（x） 递增， 而 n（0）20，20 2 n ， 由零点存在定理，存在唯一的 0 0 2 x ，使得 n（x0）0 当 x（0，x0）时，n（x）0，n（x）递减， 当 0 2 xx ，时，n（x）0，n（x）递增， 而 n（0）0，0 2 n ，故0 2 x ，时，n（x）0， 即0 2 x ，时，g（x）0，则 g（x）递减； 又当 2 x ，时，2x sin x，g（x）0，g（x） 递增； 所以 2 ( ) 24 min g xg
22、 （二二）选选考考题题：共共 10 分分，请请考考生生在在第第 22、23 题题中中任任选选一一题题作作答答，如如果果多多做做，则则按按所所做做的的第第 一一题题计计分分 选选修修 4-4：坐坐标标系系与与参参数数方方程程 22.在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 5 4 xcos ysin （为参数） ，以坐标原点 O 为极点，x 轴正半 轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2：24cos+30 （1）求曲线 C1的一般方程和曲线 C2的直角坐标方程； （2）若点 P 在曲线 C1上，点 Q 曲线 C2上，求|PQ|的最小值 【答案】 （1） 22 1 2516 xy ， （x2）2
23、+y21； （2）2. 【解析】 （1）曲线 C1的参数方程为 5 ( 4 xcos ysin 为参数） ，两式平方相加整理得 22 1 2516 xy 将cos ,sinxy代入24cos+30得 x2+y24x+30， 整理得（x2）2+y21 （2）设点 P（5cos，4sin）在曲线 C1上，圆心 O（2，0） ， 所以： 2 222 1080 (52)(4)920209 99 POcossincoscoscos ， 当 cos1 时，|PO|min3， 所以|PQ|的最小值 312 选选修修 4-5：不不等等式式选选讲讲 23.已知函数 f（x）|2xa|+|xa+1| （1）当 a
24、4 时，求解不等式 f（x）8； （2）已知关于 x 的不等式 f（x） 2 2 a 在 R 上恒成立，求参数 a 的取值范围 【答案】 （1）5，+）（， 1 3 ； （2）2，1. 【解析】 （1）当 a4 时，f（x）|2x4|+|x3|， （i）当 x3 时，原不等式可化为 3x78，解可得 x5，此时不等式的解集5，+） ； （ii）当 2x3 时，原不等式可化为 2x4+3x8，解可得 x9 此时不等式的解集 ； （iii）当 x2 时，原不等式可化为3x+78，解可得 x 1 3 ， 此时不等式的解集（， 1 3 ， 综上可得，不等式的解集5，+）（， 1 3 ， （2） （i）
25、当 a1 1 2 a即 a2 时，f（x）3|x1| 2 2 a 2 显然不恒成立， （ii）当 a1 1 2 a即 a2 时， 1 321 2 1 11 2 3211 xaxa f xxaxa xaxa ， ， ， ， 结合函数的单调性可知，当 x 1 2 a时，函数取得最小值 f（ 1 2 a） 1 1 2 a， 若 f（x） 2 2 a 在 R 上恒成立，则 2 11 1 22 aa ，此时 a 不存在， （iii）当 a1 1 2 a即 a2 时，f（x） 3211 1 11 2 1 321 2 xaxa xaxa xaxa ， ， ， 若 f（x） 2 2 a 在 R 上恒成立，则 1 2 11 22 aa，解得2a1， 此时 a 的范围2，1，综上可得，a的范围2，1
