1、数数学学试试题题第第 1页页（共共 6 页页） 2020年年第第二二学学期期高高三三模模拟拟考考试试 数数学学试试题题卷卷2020.5 姓姓名名准准考考证证号号 本本试试题题卷卷分分选选择择题题和和非非选选择择题题两两部部分分。全全卷卷共共 6 页页，选选择择题题部部分分 2 至至 3 页页；非非选选择择题题 部部分分 4 至至 6 页页。满满分分 150 分分，考考试试时时间间 120 分分钟钟。 考考生生注注意意： 1答答题题前前，请请务务必必将将自自己己的的姓姓名名、准准考考证证号号用用黑黑色色字字迹迹的的签签字字笔笔或或钢钢笔笔分分别别填填写写在在 试试题题卷卷和和答答题题纸纸规规定定
2、的的位位置置上上。 2答答题题时时，请请按按照照答答题题纸纸上上“注注意意事事项项”的的要要求求，在在答答题题纸纸相相应应的的位位置置上上规规范范操操作作， 在在本本试试题题卷卷上上的的作作答答一一律律无无效效。 参参考考公公式式： 如如果果事事件件 A，B 互互斥斥，那那么么 )()()(BPAPBAP 如如果果事事件件 A，B 相相互互独独立立，那那么么 )()()(BPAPBAP 如如果果事事件件 A 在在一一次次试试验验中中发发生生的的概概率率是是 P， 那那么么n次次独独立立重重复复试试验验中中事事件件A恰恰好好发发生生 k次次的的概概率率 ), 2 , 1 , 0()1()(nkp
3、pCkP knkk nn 球球的的表表面面积积公公式式 2 4 RS ， 其其中中 R 表表示示球球的的半半径径 球球的的体体积积公公式式 3 3 4 RV ， 其其中中 R 表表示示球球的的半半径径 棱棱柱柱的的体体积积公公式式 ShV ， 其其中中S表表示示棱棱柱柱的的底底面面积积，h表表示示棱棱柱柱的的 高高 棱棱锥锥的的体体积积公公式式 ShV 3 1 ， 其其中中S表表示示棱棱锥锥的的底底面面积积，h表表示示棱棱锥锥的的 高高 棱棱台台的的体体积积公公式式 )( 3 1 2211 SSSShV ， 其其中中 21,S S分分别别表表示示棱棱台台的的上上、 下下底底面面积积，h 表表示
4、示棱棱台台的的高高 数学试题数学试题第第 2页（共页（共 6 页）页） （第（第 6 题图题图） 选择题部分（共选择题部分（共 4040 分分） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。只有一项是符合题目要求的。 1已知集合已知集合 2, 1,1,2A ，(, 12,)B ，则，则AB A 2, 1,1B 1,1,2 C 2,1,2 D 2, 1,2 2 若若y,x满足约束条件满足约束条件 23, 23, 0, 0, xy xy x y 则则zxy的
5、最大值是的最大值是 A3B2C 3 2 D1 3某某几何体的三视图如图所示几何体的三视图如图所示（单位：（单位：cm） ， 其中正视图是其中正视图是等边等边三角形，则三角形，则该该几何体的几何体的 体积体积（单位：（单位： 3 cm）是是 A 3 3 B3C 2 3 D2 4已知双曲线已知双曲线 22 4xy， 1 F是左焦点，是左焦点， 1 P， 2 P是右支上是右支上的的两个动点，两个动点，则则 111212 |F PF PP P的最小值是的最小值是 A4B6C8D16 5如果对于任意实数如果对于任意实数x，x表示不小于表示不小于x的最小整数的最小整数，例如例如1.521.61 ， 那么那
6、么“1xy”是是“ xy”的的 A充分不必要条件充分不必要条件B必要不充分条件必要不充分条件 C充要条件充要条件D既既不充分也不必要条件不充分也不必要条件 6若若函数函数( )f x的图象如图所示，则的图象如图所示，则( )f x的解析式可以是的解析式可以是 A( )sinf xxx B( )cosf xxx C 2 ( )sin f xxxD 2 ( )cosf xxx （第（第 3 题图题图） 数学试题数学试题第第 3页（共页（共 6 页）页） （第第 10 题图题图） 7已知已知 1 0 2 a，随机变量随机变量 的分布如下：的分布如下： 当当a在（在（ 1 0 2 ，）内）内增大时，增
7、大时， A( )E 减小，减小，( )D 减小减小B( )E 减小，减小，( )D 增大增大 C( )E 增大，增大，( )D 减小减小D( )E 增大，增大，( )D 增大增大 8已知函数已知函数 e0 ( ) 0 x x f x xx ， ， ， （其中其中e为自然对数的底数为自然对数的底数） ，若函数若函数 2 ( )yf xax恰有恰有 三个零点，则三个零点，则 A 2 e 0 4 aB 2 e 0 2 aC 2 e 4 aD 2 e 2 a 9设设,R a b，数列，数列 n a满足满足 11 ,ln(N ) nn aa aabn ，则，则 A若若2 b，则，则 2020 aaB若若
8、2 b，则，则 2020 aa C若若2 b，则，则 2020 aaD若若2 b，则，则 2020 aa 10如图如图，在等腰直角三角形在等腰直角三角形ABC中中， CACB，点点D为为BC的中点的中点现将现将 ACD沿沿AD 折起至折起至 1 AC D，使，使 1 BC D为钝角三角形，设直线为钝角三角形，设直线 1 DC与平面与平面ABD所成的角为所成的角为 ， 直线直线 1 BC与面与面ABD所成的角为所成的角为 ，直线，直线BD与面与面 1 AC D所成的角为所成的角为 ，则，则, 的的 大小关系为大小关系为 ABCD 1 01 P 1 2 1 2 aa 数学试题数学试题第第 4页（共
9、页（共 6 页）页） 非选择题部分（共非选择题部分（共 110110 分）分） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题小题，多空题每题 6 分，单空题每题分，单空题每题 4 分，共分，共 36 分。分。 11复数复数(1i) (2i)z （i为虚数单位为虚数单位） ，则复数，则复数z的共轭复数是的共轭复数是 12若若偶函数偶函数( )sin()2cos(0)f xxx ，则，则 ，( )f x的最大值的最大值 为为. 13在二项式在二项式 6 1 (2) 3 x x 的展开式中，有理项共有的展开式中，有理项共有项，项，项的项的系数最小的项系数最小的项 为为 14已知圆已
10、知圆 22 :(1)(2)4Cxy ，若直线若直线:(21)(22)410(R)lmxmymm 与与 圆圆C交于交于,A B两点，则弦两点，则弦AB长的最小值为长的最小值为，若圆心，若圆心C到直线到直线l的距离为的距离为 3 2 ，则实数，则实数m 15设设,R x y,若若 22 2321 xxyy，则，则 xy的最小值为的最小值为， xyxy的最小的最小 值为值为 16 已知椭圆已知椭圆 2 2 1 2 x y 的左右焦点分别为的左右焦点分别为 12 ,F F，,A B是椭圆上位于是椭圆上位于x轴上方的两点轴上方的两点， 且直线且直线 1 AF与直线与直线 2 BF平行平行， 若若 12
11、2 2 | 3 AFBF ， 则则 12 AF F 的面积为的面积为. 17已知已知平面向量平面向量 , ,a b c 满足满足| 2| 1,|2,(4 ) (4 )0baccacb ，则，则|2|ab 的取的取 值范围是值范围是 数学试题数学试题第第 5页（共页（共 6 页）页） 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18 （本题满分（本题满分 14 分）已知四边形分）已知四边形ABCD中，角中，角A和角和角C互补，且互补，且,AB1 ,BC2 3,4CDDA （）求）求c
12、osA的值；的值； （）求）求tantan 22 AC 的值的值 19. （本题满分本题满分 15 分分）如图如图，在四棱锥在四棱锥PABCD 中中，PD 平面平面ABCD，四边形四边形ABCD 是菱形，是菱形，22 3ACBDE ，是是PB上任意一点上任意一点 （）求证：）求证： ACDE; （）若若二面角二面角 APBD的的平面角的平面角的余弦值为余弦值为 15 5 ，且且E是是PB的中点的中点，求求EC与与 平面平面PAB所成角的正弦值所成角的正弦值 20 （本题满分（本题满分 15 分）分）已知数列已知数列 n a满足满足 111 1(N ) nnnn aaaaan ， （）求证：数列
13、求证：数列 n a 1 为等差数列，并求为等差数列，并求 n a； （）设设 1 12 nn ba，数列，数列 n b的前的前n项和为项和为 n S，求证：，求证： 1 1 1 n Sn n （第第 19 题图题图） （第第 18 题图题图） 数学试题数学试题第第 6页（共页（共 6 页）页） 21. （本题满分（本题满分 15 分）已知抛物线分）已知抛物线 2 2(0)ypx p的焦点的焦点F到准线到准线l的距离为的距离为2，直线，直线 0(R)xymm 与抛物线交于不同的两点与抛物线交于不同的两点A B， （）求抛物线的方程；）求抛物线的方程； （） 是否存在与是否存在与m的取值无关的定点
14、的取值无关的定点T，使得直线使得直线,AT BT的斜率之和恒为定值？的斜率之和恒为定值？ 若存在，求出所有点若存在，求出所有点T的坐标；若不存在，的坐标；若不存在，请请说明理由说明理由 22 （本题满分（本题满分 15 分）分）已知函数已知函数 2 ( )e x f x（其中（其中e为自然对数的底数为自然对数的底数） （）证明：当证明：当0 x时，时， 2 ( )122f xxx； （）当当0 x时，时， 2 ( )ln() x f xxa xa 恒成立，求实数恒成立，求实数a的取值范围的取值范围 （第第 21 题图题图） 1 2020 年第年第二二学期高三学期高三模拟考试模拟考试 数学数学
15、参考答案参考答案 2020.5 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 10 个小题，每题个小题，每题 4 分，共分，共 40 分分 1D； 2B； 3A； 4C； 5 B； 6B； 7D； 8C； 9A； 10B 第 10 题解析： 1 ,CDBDBC D=为钝角三角形， 1 BDC为钝角， 1 BCBD为钝角， 又 1 ACDAC DABD SSS = ， 1 C到平面ABD的距离等于B到平面 1 AC D的距离，记为d 则 11 sin,sin,sin ddd C DBDBC =，sinsinsin= 所以答案 B 二、填空题：二、填空题：本大题共本大题共 7 小题，多空题每题小题，多空题
16、每题 6 分，单空题每题分，单空题每题 4 分，共分，共 36 分分 1113i+ +； 12 2 = = ,1； 134， 3 2 2 64Tx= = ； 142 3， 53 3 4 m = =； 15 29 7 , 78 ； 161； 17 214 , 22 第 17 题解析： （方法一） 2 |2|24aba b= rrr r ，(4 ) (4 )0cacb= rrrr Q， 2 4 ()160cc aba b+=+= rr rrr r 22 182 ()2| | 2 22a bc abcabaa bb +=+=+ +=+=+ r rr rrrrrrr rr 5 182 22 4 a b
17、a b + + r rr r ，所以 33 88 a b r r 2 1 7 |2|24 , 2 2 aba b= = rrr r， 214 |2| 22 ab rr （方法二）设4 ,4 ,( 2,0)OAa OBb OC= uu u rr uuu rr uuu r ， 所以4,4caAC cbBC= rruuu r rruuu r ，则由题意知ACBC uuu ruuu r ， 2 记矩形ACBD，则由 2222 OAOBOCOD+=+=+得，3 2OD = = 令|2|tab= rr ，所以 22 |2|24taba b= rrr r ，所以 2 2 4 t a b = r r 又| |
18、 |44 |CDABab= uuu ruuu rrr ，所以 2222 |44 |48CDABabt=+=+ uuu ruuu rrr 又2 2| 4 2CD uuu r ，所以 2 84832t+，所以 214 |2| , 22 tab= rr 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 74 分分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 18 （本题满分（本题满分 14 分）分）已知四边形已知四边形ABCD中，角中，角A和角和角C互补，且互补，且1,2,ABBC=， 3,4CDDA= （）求求cos A的值；的值； （）求求tanta
19、n 22 + + AC 的值的值 解： （1）在ABD中，由余弦定理得 2 1 168cosBDA= + 在BCD中，由余弦定理得， 2 49 12cosBDC=+ 因为角A和角C互补，即coscosCA=，所以由解得 1 cos= 5 A. （2）因为角A和角C互补，所以 sincos 112 22 tantan=tantantan 22222sin tancossinsincos 22222 AA ACAAA AAAAA A +=+=+= 1 1cos= 5 A由（）得，所以 2 6 sin= 5 A，所以 25 tantan=6 22sin6 AC A +=. （第 18 题图） 3 1
20、9. （本题满分（本题满分 15 分）分） 在四棱锥在四棱锥 PABCD中，中， PD平面平面ABCD， 四边形四边形ABCD是菱形，是菱形， 2,2 3,=ACBDE是是PB上任意一点上任意一点 （）求证：求证： ACDE; （）已知二面角已知二面角APBD的余弦值为的余弦值为 15 5 ，若若E是是PB的中点，求的中点，求EC与平与平面面 PAB所成角的正弦值所成角的正弦值 解： （1）PDABCDACABCDQ平面，平面， PDACQ，四边形ABCD是菱形， .BDACBDPDDBDPDPBD=I又，平面， .ACPBDDEPBDACDE平面，又平面， （2）在PDB中，EOPBQ， 分
21、别为，BD的中点， / /.EOPDPDABCDEOABCD，又平面，平面 分别以,OA OB OE所在直线为, ,x y z轴建立空间直角坐 标系，设=0PD t t （）， 则(1,0,0), (0, 3,0),( 1,0,0),(0,0, ), (0,3, ) 2 t ABCEPt ( 1 3,0( 1,3,ABAPt= = uuu ruuu r ，），）， 显然由（1）知平面PBD的一个法向量为=(1,0,0)n ， （第 19 题图） 4 设平面PAB的一个法向量为=( , , )mx y z u r ， 则 =030, =030 m ABxy m APxytz += += u r
22、uuu r g u r uuu r g ， 得 ， 令=1y，得 2 3 =( 3)m t u r ,1,， 15 5 APBDQ 二面角的余弦值为， 2 15315 cos, 5512 4+ mn t = u r r ，即， 解得2 32 3tt= 或（舍去），(0,3,2 3)P 设EC与平面PAB所成的角为， =1,03)( 3,1,1ECm= uuu ru r Q（，），则 2 315 sincos 52 5 EC m= = uuu r u r ， 15 . 5 ECPAB与平面所成角的正弦值为 20 （本题满分（本题满分 15 分）分）已知数列已知数列 n a满足满足 111 1,(
23、N ) + = nnnn aaaaan （）求数列求数列 n a的通项公式；的通项公式； （）设设 1 12 + + =+=+ nn ba，记数列记数列 n b的前的前n项和为项和为 n S，求证：求证： 1 1 1 + + + + n Sn n 解： （）由 11nnnn aaaa + =，得 1 11 1 nn aa + = 所以数列 1 n a 是以1为首项1为公差的等差数列， 即 1 1(1) n nn a = +=化简得 2 1 n a n = （）因为 1 222 2111 12111 (1)(1)(1) nn ba nnnn n + =+=+= + + 所以 12 1111 1
24、1223(1)1 =+=+=+=+ + LL nn Sbbbnn n nn 5 21. （本题满分（本题满分 15 分）分）已知抛物线已知抛物线 2 2(0)ypx p=的焦点的焦点F到准线到准线l的距离为的距离为2，直线，直线 0(R)xymm+=+= 与抛物线相交于不同的两点与抛物线相交于不同的两点,A B （）求抛物线的方程；求抛物线的方程； （）问是否存在与问是否存在与m的取值无关的定点的取值无关的定点T，使得直线，使得直线,AT BT的斜率之和恒为一的斜率之和恒为一 个定值？若存在，求出所有点个定值？若存在，求出所有点T的坐标；若不存在，说明理由的坐标；若不存在，说明理由 解： （）
25、由题意得(,0) 2 p F，准线方程： 2 p x = = ，所以2p = =，所以 2 4yx= = （）假设存在定点T满足题意，设( , )T a b， 1122 (,),(,)A xyB xy， 联立方程 2 4 0 yx xym = = +=+= ，消去x得 2 440yym+=+=，由韦达定理得 12 12 16160 4 4 m yy yym = = +=+= = ， 又直线,AT BT的斜率为 12 12 , ATBT ybyb kk xaxa = 所以 121221 1212 ()()()() ()() ATBT ybybyb xayb xa kk xaxaxaxa + +=
26、+=+=+= 22 21 22 12 1221 2222 1212 ()()()() 4()(4 )4()(4 ) 44 (4 )(4 ) ()() 44 yy ybayba ybyaybya yyyaya aa + + = 22 12121212 2222 1212 2 1212121212 222 121212 22 4()16 ()4 ()32 ()4 ()16 4()16 ()4 ()232 ()4 ()216 2(2)22 24 y yyya yyb yyab y ya yya y yyya yyb yyy yab y yayyy ya bmabab mamaa + = = + +
27、= = + + = = + 要使 ATBT kk+ +为与m无关的常数，只能 20 220 b abab +=+= = ，解得1,2ab= = 此时0 ATBT kk+=+=为常数 综上所述存在定点(1, 2)T ，使得直线,AT BT的斜率之和恒为定值 0. 6 22 （本题满分（本题满分 15 分）分）已知函数已知函数 2 ( )e= = x f x（其中（其中e为自然对数的底数）为自然对数的底数） （）证明：当证明：当0 x时，时， 2 ( )122+f xxx； （）当当0 x时，时， 2 ( )ln()+ + + x f xxa xa 恒成恒成立，求实数立，求实数a的取值范围的取值范
28、围 解： （）令 222 ( )( ) 122e122 x g xf xxxxx=-=-（0x） 所以 2 ( )2e24 x g xx =-，令 2 ( )2e24 (0) x h xx x=-?，所以 2 ( )4e4(0) x h xx =-? 所以( )0h x 成立，( )h x在0,)+?单调递增，( )(0)0h xh?， 即( )0g x 成立， 所以( )g x 在0,)+?单调递增，得( )g(0)0g x ?，即当0x 时， 2 ( )122f xxx +，得证 （） 因为当0x 时， 2 ( )ln() x f xxa xa + + 恒成立， 令0x =得(0)lnfa
29、， 所以0ae?， 下证当0ae?时原不等式成立 由（）知当 0x 时， 2 ( )122f xxx +只需证明 2 2 122ln() x xxxa xa + + ， 因为当0 ae? 时， 2 x x xa + ，故只需证明 2 12ln()0xxxa+， 令 2 ( )12ln()(0)p xxxxa x= + 所以 2 14(41)1 ( )14 xaxa p xx xaxa + = += + 当1ea时，( )0p x 成立， ( )p x在0,)+? 单调递增， ( )(0)1 ln0p xpa?-? 成立 当01a时，由不等式ln1xx?知ln()1xaxa+?-， 所以 22 ( )12(1)220p xxxxaax +=+成立， 综上原不等式得证 命题人：陈杰、高玉良、姚君依、邱东方
