1、二次函数一.选择题1( 2019甘肃省兰州市) （5分）已知，点A（1，y1），B（2，y2）在抛物线y（x+1）2 +2上，则下列结论正确的是（ ）A. 2 y1 y2 B. 2 y2 y1 C. y1 y22 D. y2 y12【答案】A【考点】二次函数顶点式以及二次函数的性质. 【考察能力】空间想象能力，运算求解能力.【难度】较难【解析】根据二次函数顶点式得到函数的开口向下，对称轴为直线x1，顶点坐标（1，2 ），根据函数增减性可以得到，当x1时，y随x的增大而减小.因为11 y1 y2 .故选A.2（2019湖南岳阳3分）对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函
2、数的不动点如果二次函数yx2+2x+c有两个相异的不动点x1.x2，且x11x2，则c的取值范围是（）Ac3Bc2CcDc1【分析】由函数的不动点概念得出x1.x2是方程x2+2x+cx的两个实数根，由x11x2知，解之可得【解答】解：由题意知二次函数yx2+2x+c有两个相异的不动点x1.x2是方程x2+2x+cx的两个实数根，且x11x2，整理，得：x2+x+c0，则解得c2，故选：B【点评】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是理解并掌握不动点的概念，并据此得出关于c的不等式3.(2019，山西，3分）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥（如图1），它由五个高度不同，跨径也不同
3、的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱（近似看成二次函数的图象-抛物线）在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点，拱高为78米（即最高点O到AB的距离为78米），跨径为90米（即AB=90米），以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为轴简历平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为（ ）A. B. C. D. 图1 图2【解析】设抛物线的解析式为将代入得：抛物线解析式为：，故选B4.(2019，四川成都，3分）如图，二次函数的图象经过点A（1，0），B（5，0），下列说法正确的是（ ）A. B. C. D.图象的对称轴是直线【解析】此题考查二次函数
4、的基本概念以及二次函数的图象。A选项中，C表示的是二次函数与x轴的交点，由图象可知图象与y轴交点位于y轴正半轴，故c0. B选项中，表示，函数图象与x轴有两个交点，所以0，即。C选项中，令x曲-1，可得y=abc，即x=1时函数的取值。观察图象可知x1时y0，所以abc0. 最后D选项中，根据图象与x轴交点可知，对称轴是（1，0）.（5，0）两点的中垂线，x3即为函数对称轴。故选D。5.（2019，四川巴中，4分）二次函数yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，下列结论b24ac，abc0，2a+bc0，a+b+c0其中正确的是（）ABCD【分析】抛物线与x轴由两个交点，则b24ac0，即b
5、24ac，所以正确；由二次函数图象可知，a0，b0，c0，所以abc0，故错误；对称轴：直线x1，b2a，所以2a+bc4ac，2a+bc4ac0，故错误；对称轴为直线x1，抛物线与x轴一个交点3x12，则抛物线与x轴另一个交点0x21，当x1时，ya+b+c0，故正确【解答】解：抛物线与x轴由两个交点，b24ac0，即b24ac，所以正确；由二次函数图象可知，a0，b0，c0，abc0，故错误；对称轴：直线x1，b2a，2a+bc4ac，a0，4a0，c0，c0，2a+bc4ac0，故错误；对称轴为直线x1，抛物线与x轴一个交点3x12，抛物线与x轴另一个交点0x21，当x1时，ya+b+c
6、0，故正确故选：A【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键6. （2019甘肃3分）如图是二次函数yax2+bx+c的图象，对于下列说法：ac0，2a+b0，4acb2，a+b+c0，当x0时，y随x的增大而减小，其中正确的是（）ABCD【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案【解答】解：由图象可知：a0，c0，ac0，故错误；由于对称轴可知：1，2a+b0，故正确；由于抛物线与x轴有两个交点，b24ac0，故正确；由图象可知：x1时，ya+b+c0，故正确；当x时，y随着x的增大而增大，故错误；故选：C【点评】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运
7、用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型7（2019广东深圳3分）已知的图象如图，则和的图象为（ ）【答案】C【解析】根据的图象可知抛物线开口向下，则，抛物线与y轴交点在负半轴，故c0，对称轴在y轴的右边，则b0.8 （2019江苏连云港3分）如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中C120若新建墙BC与CD总长为12m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是（）A18m2B18m2C24m2Dm2【分析】过点C作CEAB于E，则四边形ADCE为矩形，CDAEx，DCECEB90，则BCEBCDDCE30，BC12x，由直角三角形的，性质得出BEBC6x，得出ADCEBE6x，ABA
8、E+BEx+6xx+6，由梯形面积公式得出梯形ABCD的面积S与x之间的函数关系式，根据二次函数的性质直接求解【解答】解：如图，过点C作CEAB于E，则四边形ADCE为矩形，CDAEx，DCECEB90，则BCEBCDDCE30，BC12x，在RtCBE中，CEB90，BEBC6x，ADCEBE6x，ABAE+BEx+6xx+6，梯形ABCD面积S（CD+AB）CE（x+x+6）（6x）x2+3x+18（x4）2+24，当x4时，S最大24即CD长为4m时，使梯形储料场ABCD的面积最大为24m2；故选：C【点评】此题考查了梯形的性质、矩形的性质、含30角的直角三角形的性质、勾股定理、二次函数
9、的运用，利用梯形的面积建立二次函数是解题的关键9（2019广西河池3分）如图，抛物线yax2+bx+c的对称轴为直线x1，则下列结论中，错误的是（）Aac0Bb24ac0C2ab0Dab+c0【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断【解答】解：A.由抛物线的开口向下知a0，与y轴的交点在y轴的正半轴上，可得c0，因此ac0，故本选项正确，不符合题意；B.由抛物线与x轴有两个交点，可得b24ac0，故本选项正确，不符合题意；C.由对称轴为x1，得2ab，即2a+b0，故本选项错误，符合题
10、意；D.由对称轴为x1及抛物线过（3，0），可得抛物线与x轴的另外一个交点是（1，0），所以ab+c0，故本选项正确，不符合题意故选：C【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用10（2019黑龙江哈尔滨3分）将抛物线y2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（）Ay2（x+2）2+3By2（x2）2+3Cy2（x2）23Dy2（x+2）23【分析】根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可【解答】解：将抛物线y2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解
11、析式为y2（x2）2+3，故选：B【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减11（2019山东省德州市 4分）在下列函数图象上任取不同两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），一定能使0成立的是（）Ay3x1（x0）Byx2+2x1（x0）Cy（x0）Dyx24x1（x0）【考点】二次函数【分析】根据各函数的增减性依次进行判断即可【解答】解：A.k30y随x的增大而增大，即当x1x2时，必有y1y2当x0时，0，故A选项不符合；B.对称轴为直线x1，当0x1时y随x的增大而增大，当x1时y随x的增大而减小，当0x1时：当x1x2时，必有y1y2此
12、时0，故B选项不符合；C.当x0时，y随x的增大而增大，即当x1x2时，必有y1y2此时0，故C选项不符合；D.对称轴为直线x2，当x0时y随x的增大而减小，即当x1x2时，必有y1y2此时0，故D选项符合；故选：D【点评】本题主要考查了一次函数、反比例函数和二次函数的图象和性质，需要结合图象去一一分析，有点难度12. （2019山东省济宁市 3分）将抛物线yx26x+5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（）Ay（x4）26By（x1）23Cy（x2）22Dy（x4）22【考点】二次函数【分析】先把yx26x+5配成顶点式，得到抛物线的顶点坐标为（3，4），再
13、把点（3，4）向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为（4，2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式【解答】解：yx26x+5（x3）24，即抛物线的顶点坐标为（3，4），把点（3，4）向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为（4，2），所以平移后得到的抛物线解析式为y（x4）22故选：D【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式13.（2019浙江衢州3分）二次函
14、数y=（x-1）2+3图象的顶点坐标是（ ） A.(1，3) B.（1，-3) C.（-1，3） D.（-1，-3）【答案】 A 【考点】二次函数y=a（x-h）2+k的性质 【解析】【解答】解：y=（x-1）2+3， 二次函数图像顶点坐标为：（1，3）.故答案为：A.【分析】根据二次函数顶点式即可得出顶点坐标.14（2019浙江绍兴4分）在平面直角坐标系中，抛物线y（x+5）（x3）经变换后得到抛物线y（x+3）（x5），则这个变换可以是（）A向左平移2个单位B向右平移2个单位C向左平移8个单位D向右平移8个单位【分析】根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律【解答】解：y（x+5）（x3
15、）（x+1）216，顶点坐标是（1，16）y（x+3）（x5）（x1）216，顶点坐标是（1，16）所以将抛物线y（x+5）（x3）向右平移2个单位长度得到抛物线y（x+3）（x5），故选：B【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减15（2019浙江嘉兴3分）小飞研究二次函数y（xm）2m+1（m为常数）性质时如下结论：这个函数图象的顶点始终在直线yx+1上；存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在函数图象上，若x1x2，x1+x22m，则y1y2；当1x2时，y随x的增大而增
16、大，则m的取值范围为m2其中错误结论的序号是（）ABCD【分析】根据函数解析式，结合函数图象的顶点坐标、对称轴以及增减性依次对4个结论作出判断即可【解答】解：二次函数y（xm）2m+1（m为常数）顶点坐标为（m，m+1）且当xm时，ym+1这个函数图象的顶点始终在直线yx+1上故结论正确；假设存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形令y0，得（xm）2m+10，其中m1解得：xm，xm+顶点坐标为（m，m+1），且顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形|m+1|m（m）|解得：m0或1存在m0或1，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形故结论正确；x1
17、+x22m二次函数y（xm）2m+1（m为常数）的对称轴为直线xm点A离对称轴的距离小于点B离对称轴的距离x1x2，且10y1y2故结论错误；当1x2时，y随x的增大而增大，且10m的取值范围为m2故结论正确故选：C【点评】本题主要考查了二次函数图象与二次函数的系数的关系，是一道综合性比较强的题目，需要利用数形结合思想解决本题 二.填空题1. （2019湖南株洲3分）若二次函数yax2+bx的图象开口向下，则a0（填“”或“”或“”）【分析】由二次函数yax2+bx图象的开口向下，可得a0【解答】解：二次函数yax2+bx的图象开口向下，a0故答案是：【点评】考查了二次函数图象与系数的关系二次
18、项系数a决定抛物线的开口方向和大小当a0时，抛物线向上开口；当a0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小2. （2019山东省济宁市 3分）如图，抛物线yax2+c与直线ymx+n交于A（1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+cn的解集是x3或x1【考点】二次函数与不等式【分析】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论【解答】解：抛物线yax2+c与直线ymx+n交于A（1，p），B（3，q）两点，m+np，3m+nq，抛物线yax2+c与直线ymx+n交于P（1，p），Q（3，q）两点，观察函数图象可知：当x3或x1时，直线ymx+n在抛物线yax2
19、+bx+c的下方，不等式ax2+mx+cn的解集为x3或x1故答案为：x3或x1【点评】本题考查了二次函数与不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键3. （2019甘肃武威4分）将二次函数yx24x+5化成ya（xh）2+k的形式为y（x2）2+1【分析】利用配方法整理即可得解【解答】解：yx24x+5x24x+4+1（x2）2+1，所以，y（x2）2+1故答案为：y（x2）2+1【点评】本题考查了二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：yax2+bx+c（a0，A.B.c为常数）；（2）顶点式：ya（xh）2+k；（3）交点式（与x轴）：ya（xx1）（xx2）4
20、（2019广西贵港3分）我们定义一种新函数：形如y|ax2+bx+c|（a0，且b24a0）的函数叫做“鹊桥”函数小丽同学画出了“鹊桥”函数y|x22x3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：图象与坐标轴的交点为（1，0），（3，0）和（0，3）；图象具有对称性，对称轴是直线x1；当1x1或x3时，函数值y随x值的增大而增大；当x1或x3时，函数的最小值是0；当x1时，函数的最大值是4其中正确结论的个数是4【分析】由（1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数y|x22x3|，是正确的；从图象可以看出图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x1，也是正确的；根据函数的图象和性质，
21、发现当1x1或x3时，函数值y随x值的增大而增大，因此也是正确的；函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y0，求出相应的x的值为x1或x3，因此也是正确的；从图象上看，当x1或x3，函数值要大于当x1时的y|x22x3|4，因此时不正确的；逐个判断之后，可得出答案【解答】解：（1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数y|x22x3|，是正确的；从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x1，因此也是正确的；根据函数的图象和性质，发现当1x1或x3时，函数值y随x值的增大而增大，因此也是正确的；函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y0，求出相应的x的值为x1或x3，
22、因此也是正确的；从图象上看，当x1或x3，函数值要大于当x1时的y|x22x3|4，因此时不正确的；故答案是：4【点评】理解“鹊桥”函数y|ax2+bx+c|的意义，掌握“鹊桥”函数与y|ax2+bx+c|与二次函数yax2+bx+c之间的关系；两个函数性质之间的联系和区别是解决问题的关键；二次函数yax2+bx+c与x轴的交点、对称性、对称轴及最值的求法以及增减性应熟练掌握5. （2019湖北天门3分）矩形的周长等于40，则此矩形面积的最大值是100【分析】设矩形的宽为x，则长为（20x），Sx（20x）x2+20x（x10）2+100，当x10时，S最大值为100【解答】解：设矩形的宽为x
23、，则长为（20x），Sx（20x）x2+20x（x10）2+100，当x10时，S最大值为100故答案为100【点评】本题考查了函数的最值，熟练运用配方法是解题的关键6. （2019湖北武汉3分）抛物线yax2+bx+c经过点A（3，0）、B（4，0）两点，则关于x的一元二次方程a（x1）2+cbbx的解是x12，x25【分析】由于抛物线yax2+bx+c沿x轴向右平移1个单位得到ya（x1）2+b（x1）+c，从而得到抛物线ya（x1）2+b（x1）+c与x轴的两交点坐标为（2，0），（5，0），然后根据抛物线与x轴的交点问题得到一元二方程a（x1）2+b（x1）+c0的解【解答】解：关于x
24、的一元二次方程a（x1）2+cbbx变形为a（x1）2+b（x1）+c0，把抛物线yax2+bx+c沿x轴向右平移1个单位得到ya（x1）2+b（x1）+c，因为抛物线yax2+bx+c经过点A（3，0）、B（4，0），所以抛物线ya（x1）2+b（x1）+c与x轴的两交点坐标为（2，0），（5，0），所以一元二方程a（x1）2+b（x1）+c0的解为x12，x25故答案为x12，x25【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数yax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程也考查了二次函数的性质7 （2019湖南衡阳3分）在平面直角坐标系中
25、，抛物线yx2的图象如图所示已知A点坐标为（1，1），过点A作AA1x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4OA交抛物线于点A4，依次进行下去，则点A2019的坐标为（1010，10102）【分析】根据二次函数性质可得出点A1的坐标，求得直线A1A2为yx+2，联立方程求得A2的坐标，即可求得A3的坐标，同理求得A4的坐标，即可求得A5的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，即可找出点A2019的坐标【解答】解：A点坐标为（1，1），直线OA为yx，A1（1，1），A1A2OA，直线A1A2为yx+2，解得或，A2（2
26、，4），A3（2，4），A3A4OA，直线A3A4为yx+6，解得或，A4（3，9），A5（3，9），A2019（1010，10102），故答案为（1010，10102）【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及交点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键8.（2019黑龙江哈尔滨3分）二次函数y（x6）2+8的最大值是8【分析】利用二次函数的性质解决问题【解答】解：a10，y有最大值，当x6时，y有最大值8故答案为8【点评】本题主要考查二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键9. (2019安徽)（5分）在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线l分别与
27、函数yxa+1和yx22ax的图象相交于P，Q两点若平移直线l，可以使P，Q都在x轴的下方，则实数a的取值范围是a1或a1【分析】由yxa+1与x轴的交点为（1a，0），可知当P，Q都在x轴的下方时，x直线l与x轴的交点要在（1a，0）的左侧，即可求解；【解答】解：yxa+1与x轴的交点为（1a，0），平移直线l，可以使P，Q都在x轴的下方，当x1a时，y（1a）22a（1a）0，a210，a1或a1；故答案为a1或a1；【点评】本题考查二次函数图象及性质，一次函数图象及性质；数形结合的分析问题，将问题转化为当x1a时，二次函数y0是解题的关键10. (2019甘肃省陇南市)（4分）将二次函数
28、yx24x+5化成ya（xh）2+k的形式为y（x2）2+1【分析】利用配方法整理即可得解【解答】解：yx24x+5x24x+4+1（x2）2+1，所以，y（x2）2+1故答案为：y（x2）2+1【点评】本题考查了二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：yax2+bx+c（a0，A.B.c为常数）；（2）顶点式：ya（xh）2+k；（3）交点式（与x轴）：ya（xx1）（xx2）11. (2019甘肃省天水市) （5分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，若M=4a+2b，N=a-b则M、N的大小关系为M_N（填“”、“=”或“”）【答案】【解析】解：当x=-1时，y=a-b+c0，
29、当x=2时，y=4a+2b+c0，M-N=4a+2b-（a-b）=4a+2b+c-（a-b+c）0，即MN，故答案为：根据二次函数的图象与性质即可求出答案本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型 三.解答题1.（2019湖北黄石10分）如图，已知抛物线yx2+bx+c经过点A（1，0）、B（5，0）（1）求抛物线的解析式，并写出顶点M的坐标；（2）若点C在抛物线上，且点C的横坐标为8，求四边形AMBC的面积；（3）定点D（0，m）在y轴上，若将抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到一条新的抛物线，点P在新的抛物线上运动，求定点D与动点P之间距离
30、的最小值d（用含m的代数式表示）【分析】（1）函数的表达式为：y（x+1）（x5），即可求解；（2）S四边形AMBCAB（yCyD），即可求解；（3）抛物线的表达式为：yx2，即可求解【解答】解：（1）函数的表达式为：y（x+1）（x5）（x24x5）x2x，点M坐标为（2，3）；（2）当x8时，y（x+1）（x5）9，即点C（8，9），S四边形AMBCAB（yCyD）6（9+3）36；（3）y（x+1）（x5）（x24x5）（x2）23，抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到一条新的抛物线，则新抛物线表达式为：yx2，则定点D与动点P之间距离PD，PD有最小值，当x23m时，P
31、D最小值d【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到图形平移、面积的计算等知识点，难度不大2.（2019贵州毕节12分）某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入已知某种士特产每袋成本10元试销阶段每袋的销售价x（元）与该士特产的日销售量y（袋）之间的关系如表：x（元）152030y（袋）252010若日销售量y是销售价x的一次函数，试求：（1）日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式；（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？
32、【分析】（1）根据表格中的数据，利用待定系数法，求出日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式即可（2）利用每件利润总销量总利润，进而求出二次函数最值即可【解答】解：（1）依题意，根据表格的数据，设日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式为ykx+b得，解得故日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式为：yx+40（2）依题意，设利润为w元，得w（x10）（x+40）x2+50x+400整理得w（x25）2+22510当x2时，w取得最大值，最大值为225故要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活
33、中的应用，根据每天的利润一件的利润销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题3（2019贵州毕节16分）已知抛物线yax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点（1）抛物线的解析式为yx22x+3，抛物线的顶点坐标为（1，4）；（2）如图1，连接OP交BC于点D，当SCPD：SBPD1：2时，请求出点D的坐标；（3）如图2，点E的坐标为（0，1），点G为x轴负半轴上的一点，OGE15，连接PE，若PEG2OGE，请求出点P的坐标；（4）如图3，是否存在点P，使四边形BOCP的面积为8？若存在，请求出点P的坐标；若不
34、存在，请说明理由【分析】（1）函数的表达式为：ya（x1）（x+3）a（x2+2x3），即可求解；（2）SCPD：SBPD1：2，则BDBC2，即可求解；（3）OGE15，PEG2OGE30，则OHE45，故OHOE1，即可求解；（4）利用S四边形BOCPSOBC+SPBC8，即可求解【解答】解：（1）函数的表达式为：ya（x1）（x+3）a（x2+2x3），即：3a3，解得：a1，故抛物线的表达式为：yx22x+3，顶点坐标为（1，4）；（2）OBOC，CBO45，SCPD：SBPD1：2，BDBC2，yDBDsinCBO2，则点D（1，2）；（3）如图2，设直线PE交x轴于点H，OGE15
35、，PEG2OGE30，OHE45，OHOE1，则直线HE的表达式为：yx1，联立并解得：x（舍去正值），故点P（，）；（4）不存在，理由：连接BC，过点P作y轴的平行线交BC于点H，直线BC的表达式为：yx+3，设点P（x，x22x+3），点H（x，x+3），则S四边形BOCPSOBC+SPBC33+（x22x+3x3）38，整理得：3x2+9x+70，解得：0，故方程无解，则不存在满足条件的点P【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、一元二次方程应用、图象的面积计算等，难度不大4 （2019山东省滨州市 14分）如图，抛物线yx2+x+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，C，将直
36、线AB绕点A逆时针旋转90，所得直线与x轴交于点D（1）求直线AD的函数解析式；（2）如图，若点P是直线AD上方抛物线上的一个动点当点P到直线AD的距离最大时，求点P的坐标和最大距离；当点P到直线AD的距离为时，求sinPAD的值【考点】二次函数【分析】（1）根据抛物线yx2+x+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，C，可以求得点A.B.C的坐标，再根据将直线AB绕点A逆时针旋转90，所得直线与x轴交于点D，可以求得点D的坐标从而可以求得直线AD的函数解析式；（2）根据题意，作出合适的辅助线，然后根据二次函数的性质即可求得点P到直线AD的距离最大值，进而可以得到点P的坐标；根据中关系式和题意，可
37、以求得点P对应的坐标，从而可以求得sinPAD的值【解答】解：（1）当x0时，y4，则点A的坐标为（0，4），当y0时，0x2+x+4，解得，x14，x28，则点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（8，0），OAOB4，OBAOAB45，将直线AB绕点A逆时针旋转90得到直线AD，BAD90，OAD45，ODA45，OAOD，点D的坐标为（4，0），设直线AD的函数解析式为ykx+b，得，即直线AD的函数解析式为yx+4；（2）作PNx轴交直线AD于点N，如右图所示，设点P的坐标为（t，t2+t+4），则点N的坐标为（t，t+4），PN（t2+t+4）（t+4）t2+t，PNx轴，PNy轴，O
38、ADPNH45，作PHAD于点H，则PHN90，PH（t2+t）t（t6）2+，当t6时，PH取得最大值，此时点P的坐标为（6，），即当点P到直线AD的距离最大时，点P的坐标是（6，），最大距离是；当点P到直线AD的距离为时，如右图所示，则t，解得，t12，t210，则P1的坐标为（2，），P2的坐标为（10，），当P1的坐标为（2，），则P1A，sinP1AD；当P2的坐标为（10，），则P2A，sinP2AD；由上可得，sinPAD的值是或【点评】本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答5.（(2019，山西，13
39、分）综合与探究如图，抛物线经过点A（-2，0），B（4，0）两点，与轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为.连接AC，BC，DB，DC.（1） 求抛物线的函数表达式；（2） BCD的面积等于AOC的面积的时，求的值；（3） 在（2）的条件下，若点M是轴上的一个动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】.解：（1）抛物线经过点A（-2，0），B（4，0），解得，抛物线的函数表达式为（2）作直线DE轴于点E，交BC于点G，作CFDE，垂足为F.点A的坐标为（-2，
40、0），OA=2由，得，点C的坐标为（0，6），OC=6SOAC=，SBCD=SAOC=设直线BC的函数表达式为，由B，C两点的坐标得，解得直线BC的函数表达式为.点G的坐标为点B的坐标为（4，0），OB=4SBCD=SCDG+SBDG=，解得（舍），的值为3（3）如下图所示，以BD为边或者以BD为对角线进行平行四边形的构图以BD为边进行构图，有3种情况，采用构造全等发进行求解.D点坐标为，所以的纵坐标为，解得（舍）可得的纵坐标为时，以BD为对角线进行构图，有1种情况，采用中点坐标公式进行求解.6.(2019，四川成都，12分）如图，抛物线y 经过点A（-2，5），与x轴相交于B（-1，0），C
41、（3，0）两点，（1） 抛物线的函数表达式；（2） 点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将BCD沿沿直线BD翻折得到BD，若点恰好落在抛物线的对称轴上，求点和点D 的坐标；（3） 设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q在抛物线的对称轴上，当CPQ为等边三角形时，求直线BP的函数表达式。7. （2019湖南长沙10分）已知抛物线y2x2+（b2）x+（c2020）（b，c为常数）（1）若抛物线的顶点坐标为（1，1），求b，c的值；（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求c的取值范围；（3）在（1）的条件下，存在正实数m，n（mn），当mxn时，恰好，求m，n的值【分析】（1）利用抛物线的顶点坐标和二次函数解析式y2x2+（b2）x+（c
