1、浦东新区2017学年度第一学期期末教学质量检测高二数学试卷一、填空题：本大题共12个小题,每小题分,共36分.1. 已知，则实数的值为_【答案】1【解析】因为,所以实数的值为，故答案为.故答案为2. 直线的一个方向向量可以是_【答案】【解析】可化为 ，所以直线的斜率为 ，所以直线的一个方向向量可以是，故答案为.3. 二元一次方程组的增广矩阵为_【答案】【解析】由题意，方程组的增广矩阵为其系数及常数项构成的矩阵，故方程组的增广矩阵是，故答案为.4. 如图，程序框图中，语句1被执行的次数为_【答案】34【解析】循环次数=（循环终值-循环初值）/步长+1，又循环的初值为，退出循环时终值为，步长为，故
2、循环次数次，故答案为.5. 设数列的前项和为，若，则_【答案】15【解析】数列的前项和为，若，故答案为.6. 设向量与的夹角为，则_【答案】【解析】，故答案为.7. 用数学归纳法证明：，当时，左边为_【答案】【解析】等式的左边是以为首项，为公比的等比数列的前项的和，观察当时，等式左边等于,故答案为.8. 已知等差数列中，且，是数列的前项和，若取得最大值，则_【答案】8【解析】等差数列的公差， 时若取得最大值，故答案为.【方法点睛】本题主要考查等差数列的通项公式以及等差数列前项和的最值，属于难题. 求等差数列前项和的最大值的方法通常有两种：将前项和表示成关于的二次函数， ，当时有最大值（若不是整
3、数，等于离它较近的一个或两个整数时最大）；可根据且确定最大时的值.本题根据方法确定的取值范围的.9. 求和：_【答案】【解析】， ，故答案为.【方法点晴】本题主要考查等裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.10. 已知，动点在轴上，当取最小值时，则点的坐标为_【答案】【解析】因为关于轴的对称点为，所以，当为直线与轴的交点时等号成立，即当为直线与轴的交点时取最小值
4、，因为 ，所以直线的方程为 ，令 可得 ，所以 ，故答案为.11. 若关于的二元一次方程组有无穷多组解，则的取值为_【答案】2【解析】关于的二元一次方程组有无穷多组解，所以直线与直线重合，所以 ，解得 ，即的取值为，故答案为.12. 我们知道：，已知数列中， ，则数列的通项公式_【答案】【解析】由，可得，所以数列为以为公比，以为首项的等比数列，所以，故答案为.二、选择题（每题3分，满分12分）13. 在平面上，四边形满足，则四边形为（ ）A. 梯形 B. 正方形 C. 菱形 D. 矩形【答案】C【解析】，且四边形是平行四边形，四边形是菱形，故选C.14. 直线的倾斜角是（ ）A. B. C.
5、D. 【答案】B【解析】，直线的斜率为，所以倾斜角是，故选A.15. 已知各项均为正数的等比数列中，则此数列的前项和等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】已知各项均为正数的等比数列中，设公比为，则由，得，故等比数列前项和为，故选B.16. 若动点到轴、轴的距离之比等于非零常数，则动点的轨迹方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】设，动点到轴、轴的距离之比等于非零常数，即，故选D.三、解答题 （本大题共5小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知直线与圆相交于两点.（1）求弦的长；（2）求弦的垂直平分线的方程.【答案】（1）2（2）【解析
6、】试题分析：（1）把圆的方程化为标准形式，求得圆心和半径，再根据再根据点到直线距离公式及勾股定理可求得弦的长；（2）线段的垂直平分线经过圆心，且和直线垂直，用点斜式求得弦的垂直平分线的方程.试题解析：（1）因为圆心到直线的距离， 所以弦长. （2）弦的垂直平分线的方程可设为， 由圆的性质知，弦的垂直平分线经过圆心，所以， 所以，弦的垂直平分线的方程为.18. 已知，且.（1）求向量在向量的方向上的投影；（2）求实数的值及向量的坐标.【答案】（1） （2），【解析】试题分析：（1）由向量数量积运算的几何意义知，向量在方向上的投影为，利用平面向量数量积公式求出,从而可结果；2先求得，再利用两个向量
7、垂直的数量积为零列出关于的方程求解求得，从而解得.试题解析：因为，所以，向量在向量的方向上的投影为（2）因为，且， 因为，所以，即，解得，此时，. 【方法点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式、向量的投影，属于中档题. 平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）.19. 过点作直线交轴正半轴于点、交轴正半轴于点（1）若时，求这条直线的方程；（2）求当三角形（其中为坐标原点）的面积为4时的直线的方程.【答案】（1）（2）【解析】试题分析
8、：（1）设：，得，. 则，利用， 列出关于的方程，求出，利用点斜式即可得结果；（2） ，由，解得，利用点斜式即可得结果.试题解析：（1）显然直线的斜率存在且，设：，得，. 则，由，得，即所以，所求直线的方程为或写成.（2）由题意知， ，则，解得. 此时直线的方程为或写成.20. 设等差数列的前项和为，对每个正整数，在与之间插入个3，得到一个新的数列.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和为.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）根据等差数列的，列出关于首项、公差的方程组，解方程组可得与的值，从而可得数列的通项公式；2）只要把在数列的第几项确定，而其余的项都是3，那么确定了, 在与之
9、间插入个，在与之间插入个，在与之间插入个，在与之间插入个.数列中的项排在第 项,故,利用分组求和法结合等比数列的求和公式可得结果.试题解析：（1）由，解得 ， 所以，. （2）只要把ak=3k+2在数列的第几项确定，而其余的项都是3，那么确定了,由题意知，在与之间插入个，在与之间插入个，在与之间插入个，在与之间插入个. 所以， 数列中的项3k+2排在第(k+30+31+32+3k-2)=项,故所以，当 注意到，Tn可改写成当，且时， 综合，【方法点睛】本题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的前 项和公式及分组求和的应用，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个
10、基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，另外，解等差数列问题要注意应用等差数列的性质（）与前 项和的关系.21. 已知圆的面积为，且与轴、轴分别交于两点.（1）求圆的方程；（2）若直线与线段相交，求实数的取值范围；（3）试讨论直线与（1）小题所求圆的交点个数.【答案】（1） （2）（3）见解析【解析】试题分析：（1）由，可得，从而可得圆的方程；（2）由（1）可得圆的方程），可求得两点的坐标，根据直线与线段相交，可得到两点在直线的异侧，列不等式求解即可；（3）先求出圆心坐标及圆的半径，根据圆心到直线的距离等于、大于、小于半径可确定直线与圆的交点个数.试题解析：（1）因为圆： ，则圆的半径，所以，即 所以，圆的方程为.（2）因为圆的方程为，所以，点、.由题意，直线：与线段相交，所以 ，解得；，所以实数的取值范围为. （3）因为圆心到直线：的距离，当，即或时，直线与圆没有交点； 当，即或，直线与圆有一个交点;当，即时，直线与圆有两个交点
