1、3.2.1 几 类 不 同 增 长 的 函 数 模 型3.2函数模型及其应用 第1页，共33页。有人说，一张普通的报纸对折30次后，厚度会超过10座珠穆朗玛峰的高度，会是真的吗？第2页，共33页。设一张纸厚度为设一张纸厚度为0.10.1毫米，请同学们计算将一张纸，对折毫米，请同学们计算将一张纸，对折n n次的厚度？次的厚度？第一次0.2毫米第二次0.4毫米第三次0.8毫米第四次1.6毫米第五次3.2毫米第六次6.4毫米第七次12.8毫米第八次25.6毫米第九次51.2毫米第十次102.4毫米 0.1 2nf n 第3页，共33页。第十五次3276.8毫米=3.2768米 问：在理想状态下对折多
2、少次，能达到珠穆朗玛峰的高度？可能吗？在对折27次就高于珠穆朗玛峰了，是13421.7728米第二十次104857.6 毫米=104.8576 米第4页，共33页。月球距离地球平均为384401公里38万公里，再问：在理想状态下对折多少次，能达到月球？可能吗？第四十二次4 398 046 511 10.4毫米=4 398 046 51.1 104米=4 398 04.6 511 104千米43万公里第5页，共33页。为了你的体健康，从现在开始你每天必须要参加为了你的体健康，从现在开始你每天必须要参加快走锻炼快走锻炼每天走每天走40千步；千步；方案二方案二：第一天走：第一天走10千步，以后每天千
3、步，以后每天 比前一天多走比前一天多走10千步；千步；方案三方案三：第一天走：第一天走0.4千步，以后每千步，以后每 天的步数比前一天翻一番。天的步数比前一天翻一番。请问，我应该选哪种走路方案呢？请问，我应该选哪种走路方案呢？懒人的懒人的“烦恼烦恼”方案一方案一：第6页，共33页。“偷懒偷懒”原则：原则：走路量少者为优走路量少者为优(1)比较三种方案每天步数比较三种方案每天步数(2)比较三种方案一段时间内的总步数比较三种方案一段时间内的总步数思考:第7页，共33页。例1、假设你有一笔资金用于投资，现在有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一、每天回报40元；方案二、第一天回报10元
4、，以后每天比前一天多回报10元；方案三、第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。请问，你会选择哪种投资方案？下面我们先来看两个具体问题.在投资前你对这三种方案最想知道什么？(或者说你投资的依据是什么？)第8页，共33页。投资方案选择原则：投入资金相同，回报量多者为优(1)比较三种方案每天回报量(2)比较三种方案一段时间内的总回报量第9页，共33页。我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据。方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回 报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。y=4
5、0 (xN*)y=10 x(xN*)解：设第x天所得回报为y元，则)(24.0*1Nxyx第10页，共33页。计算三种方案下日回报的增长情况：x/天方案一方案二方案三y/元y/元y/元增加量增加量增加量1234040400010203010100.40.81.60.40.8045678304040404040400000040506070803001010101010103.26.412.825.651.2214748364.81.63.26.412.825.6 107374182.4从表格中获取信息，体会三种函数的增长差异。第11页，共33页。123465789102004060801001
6、20140yx x方案方案一一:y=40:y=401 12 23 34 45 56 67 78 89 910104040404040404040404040404040404040404040 x x方案二方案二y=10 xy=10 x1 12 23 34 45 56 67 78 89 91010102030404050506060707080809090100100 x xy=0.4y=0.4*2 2x-1x-11 12 23 34 45 56 67 78 89 910100.40.81.63.26.412.825.651.2102.4204.8图象法比较三种方案日回报量y=40y=10 x
7、y=0.42x-1x我们看到，底为2的指数函数模型比线性函数模型增长速度要快得多。第12页，共33页。12346578910200406080100120140y图象法比较三种方案日回报量y=40y=10 xy=0.42x-1x有人认为投资14天选择一；58天选择二9天以后选择方案三？从每天的回报量来看：第14天，方案一最多；第58天，方案二最多；第9天以后，方案三最多.第13页，共33页。下面再看累计的回报数：结论：投资16天,应选择方案一;投资7天，应选择方案一或方案二；投资8 10天，应选择方案二；投资11天(含11天)以上，应选择方案三。天数回报/元方案一二三401 2 3 4 5 6
8、 7 8 9 10 1180 120 160 200 240 280 320 360 400 440 10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 6600.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50.8 102 204.4 409.2 818.8第14页，共33页。1.从上述情景中,我们可以体会到,不同的函数增长模型,增长变化存在很大的差异.2.我们可通过 等手段来研究这几种函数 模型的增长差异性.图、表第15页，共33页。实际应用问题分析、抽象、转化构建数学模型解答数学问题审 题数学化寻找解题思路还原（设）（列）（解）（答）解答例1的过程实际上就是建立函数
9、模型的过程，建立函数模型的程序 如下：第16页，共33页。“今人有五子不为多，子又有五今人有五子不为多，子又有五子，父未死而有二十五孙。子，父未死而有二十五孙。是以民是以民众而财寡，事力劳而供养薄众而财寡，事力劳而供养薄”-韩非子韩非子 感受我国为什么要进行计划生育？感受我国为什么要进行计划生育？第17页，共33页。第18页，共33页。例2、某公司2015年为了实现1000万元总利润的目标，他准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随着销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。现有三个
10、奖励模型：y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求呢？思考思考:本题中符合公司要求的 模型有什么条件?销售利润销售利润X X的取值范围的取值范围:奖金奖金y y满足的条件满足的条件:本题中涉及了哪几类函数模型第19页，共33页。我们不妨先作出函数图象：通过观察函数图象得到初步结论：按对数模型进行奖励时符合公司的要求。400600800 1000 1200200 1 2 3 45678xyo 对数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规律。y=5y=0.25x1log7xyxy002.1第20页，共33页。下面列表计算确认上述判断：7综上所述:模型 确
11、实符合公司要求.1logxy2.51.02 2.1851.04 2.544.954.445.044.4424.55模型奖金/万元利润102080081010001log7xyxy002.10.25yx第21页，共33页。对数函数，指数函数和幂函数在(0,+)上都是增函数，但是它们的增长是有差异的，这种差异具体情况是怎么样的呢？第22页，共33页。对比函数模型：y=2x,y=x2,y=log2x 其中x0.1.7661.5851.3791.1380.8480.4850-0.737-2.322y=log2x11.5696.764.843.241.9610.360.04y=x210.55686.06
12、34.5953.4822.63921.5161.149y=2x3.43.02.62.21.81.410.60.2x探究:第23页，共33页。xyo11 24y=2xy=x2y=log2x对比函数模型：y=2x,y=x2,y=log2x 其中x0.的图像。第24页，共33页。xyo11y=2xy=x250100-1.10E+121.13E+15对比函数模型：y=2x,y=x2,其中x0.第25页，共33页。1 1.请同学谈谈你对几类不同增长的函数模型（一次函数、指数函数、一次函数、指数函数、对数函数对数函数）差异的认识。2 2.几类增长函数建模的步骤列列解解析析式式具具体体问问题题画出图像（画出
13、图像（形形）列出表格（列出表格（数数）不不同同增增长长确确定定模模型型预报和决策预报和决策控制和优化控制和优化常数函数一次函数指数函数对数函数增长量为零增长量为零增长量相同增长量相同增长量迅速增加增长量迅速增加增长量减少增长量减少没有增长没有增长直线上升直线上升指数爆炸指数爆炸对数增长对数增长第26页，共33页。1.向高为H的水瓶中注水，注满为止.如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是 ()hV0HB达标检测：第27页，共33页。第28页，共33页。第29页，共33页。第30页，共33页。第31页，共33页。小结与反思：通过实例和计算机作图体会、认识直线上升、指数小结与反思：通过实例和计算机作图体会、认识直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数模型的增长的含义，认识数学的价值爆炸、对数增长等不同函数模型的增长的含义，认识数学的价值，认识数学与现实生活、与其他学科的密切联系，从而体会数学，认识数学与现实生活、与其他学科的密切联系，从而体会数学的实用价值，享受数学的应用美的实用价值，享受数学的应用美 第32页，共33页。Thanks!第33页，共33页。
