1、布朗运动和伊藤公式第十章 目录 第一节 随机游走和布朗运动 第二节 伊藤积分和伊藤公式 第三节 用Excel构造布朗运动和股票价格过程（略）2023-4-24第一节 随机游走和布朗运动 一、资产价格运动和随机过程 二、随机游走 三、布朗运动 2023-4-24资产价格运动 资产价格运动表现为一系列的时间和与之对应的即期价 即期价是随机变量 因此，资产价格运动是一个随机过程 2023-4-24资产价格运动 要对资产价格运动建模 必须研究随机过程 上一章的二项式股价运动是一个随机过程 固定收益证券在到期的价格变化由市场利率决定 而市场利率的运动也是一个随机过程 2023-4-24随机过程 定义 随
2、机过程Xt 是以 t T 为参数的一族随机变量 其中T R 为实数集 当T为可数集时，Xt 是离散时间随机过程 当T 是一个实数区间时，Xt 为连续时间随机过程 2023-4-24随机过程的实现 2023-4-24随机过程 时间随机过程XtXt 的3次实现ABC0 x0()0.10.2-0.51x1()-0.40.3-0.32x2()-1.4-1.1-1.03x3()0.9-0.90.14x4()-1.5-0.4-1.35x5()-1.70.20.16x6()0.40.1-0.37x7()1.50.50.18x8()-0.5-0.70.79x9()-0.60.61.110 x10()0.5-0
3、.4-0.92023-4-24二、随机游走 2023-4-24二、随机游走 2023-4-24-1.5-1-0.500.511.5012345678910Xnn对称随机游走的一次实现 2023-4-24缩放随机游走（Scaled Random Walk）2023-4-24缩放随机游走 2023-4-24分区数n分别为10和500时随机游走的样本轨道-5-4-3-2-10100.20.40.60.81随机游走随机游走n=500n=10 2023-4-24随机游走 Xn 的期望值和方差 2023-4-24随机游走 Xn 的期望值和方差 2023-4-24随机游走 Xn 的期望值和方差 2023-4
4、-24三、布朗运动 2023-4-24三、布朗运动 定义 具有以下特征的随机过程 为标准布朗运动 Bt 或维纳过程：B0=0 有连续的样本轨道 有平稳独立的增量 该增量的均值为0，方差为t Bt（t 0）服从均值为0，方差为 t 的正态分布 2023-4-24三、布朗运动 布朗运动的样本轨道 布朗运动样本轨道的一个重要性质是增量独立 即使时间区间的长度非常短 其在两个相邻区间上的增量也是独立的 因此，布朗运动样本轨道非常不规则 几乎处处不可微（Nowhere Differentiable）即几乎在每一点上都有无数的直线与之相切 2023-4-24三、布朗运动 2023-4-24三、布朗运动 2
5、023-4-24三、布朗运动 2023-4-24三、布朗运动 2023-4-24三、布朗运动 2023-4-24三、布朗运动 2023-4-24三、布朗运动 2023-4-24三、布朗运动 滤波 在物理学上 滤波指过滤掉噪音的信号 在随机过程中 滤波是不断增大的信息流 它使我们有可能在 n 时做出 A 是否已经发生的结论 从而使我们能更好地对随机变量未来值进行预期 2023-4-24三、布朗运动 滤波 按照布莱兹尼阿克和扎斯塔尼阿克的说法：“n 代表了我们在时间n时的知识。它包含了 n 时的所有事件A，从而使我们有可能在此时做出A是否已经发生的结论。随着n的不断增加，事件A 会越来越多，代表我
6、们知识的 n 也会越来越大。”随机过程基础，第47页 2023-4-24三、布朗运动 滤波 简言之 我们对一个过程的知识越多 对该过程未来变化的预测就越准确 未来的不确定性就越小 2023-4-24三、布朗运动 2023-4-24三、布朗运动 2023-4-24三、布朗运动 滤波A=股票价格4次变化至少3次上升A 是 S 连续4次变化的结果，故A 4 5 在 4，5 中 我们可以赋予 A 一个概率值 2023-4-24三、布朗运动 滤波 当 n=3 时 3是由连续3次股价变化生成的 域 不包含连续4次变化的结果，因此，A=股票价格4次变化至少3次上升不属于3 在3中，我们不能对 A 赋予一个概
7、率 2023-4-24三、布朗运动 滤波 因为A=股票价格4次变化至少3次上升 不属于3 所以 即使股价前 3次变动结果为：u，u，u 我们此时已经知道在4 中A 肯定会发生 但由于A 3 我们仍不能赋予其一个概率 2023-4-24三、布朗运动 适应（be adapted to,adaptedness）适应是指滤波 t 中包含了足够信息来预期 Xt在下一阶段的变化 2023-4-24三、布朗运动 2023-4-24三、布朗运动 适应 域或 类是由一系列试验生成的事件集的集合 随着试验的不断进行 试验结果的不断产生 随机过程的轨道不断延长 我们对随机过程结构的认识也不断增加 我们因此可以根据随
8、机试验结果提供的信息 来确定随机变量在下一阶段的期望值 2023-4-24三、布朗运动 适应 在二项式股票价格模型中 我们不能确定股价未来是上升还是下降 但是 给定其上升或下降的概率 以及一次涨跌的幅度 我们可以“确定”未来股价变化的所有可能的结果 以及股票所有可能的价值 2023-4-24三、布朗运动 适应 在股价变动一次前 我们没有任何的信息来确定哪一个结果不会发生，因此 我们不能从 u 和d 这两个结果中 排除或“滤掉”任何一个可能的结果 未来的不确定性为100%2023-4-24三、布朗运动 适应 假定股票价格的第1次变化为S1=S(u)此时我们有更多的信息来预期 S 的下期变化 我们
9、可以确定 在第2次变化中，dd肯定不会发生 从而可以将其从不确定事件集中滤掉 未来的不确定性因此减少 2023-4-24三、布朗运动 适应 总之 如果 Xt 和 s 独立 则 s 为我们预测 X 在时间 t 时的值提供了信息 2023-4-24三、布朗运动 鞅 定义 一个随机过程，如果具有下面属性E|Xt|对所有的t0X 适应于 sE(Xt|s)=Xs 对所有的 0st 则称该过程为对应滤波 t 的鞅 2023-4-24三、布朗运动 2023-4-24三、布朗运动 2023-4-24三、布朗运动 2023-4-24三、布朗运动 2023-4-24三、布朗运动 2023-4-24三、布朗运动 2
10、023-4-24三、布朗运动 2023-4-24 2023-4-24三、布朗运动 2023-4-24第二节 伊藤积分和伊藤公式 一、伊藤积分 二、伊藤公式 三、股票价格过程 2023-4-24一、伊藤积分 2023-4-24一、伊藤积分 2023-4-24伊藤积分 2023-4-24一、伊藤积分 伊藤积分 伊藤积分与黎曼积分的区别 在黎曼和中 样本点可以是 x 轴子区间 ti-1,ti 中的任意一点 在伊藤积分中 样本点只能是 ti-1,ti 中的左端点 2023-4-24一、伊藤积分 2023-4-24一、伊藤积分 2023-4-24一、伊藤积分 2023-4-24一、伊藤积分 2023-4-24一、伊藤积分 2023-4-24一、伊藤积分 2023-4-24一、伊藤积分 2023-4-24一、伊藤积分 2023-4-24二、伊藤公式（一）简单伊藤公式（二）一般伊藤公式 2023-4-24（一）简单伊藤公式 2023-4-24（一）简单伊藤公式 2023-4-24（二）一般伊藤公式 2023-4-24（二）一般伊藤公式 2023-4-24（二）一般伊藤公式 2023-4-24（二）一般伊藤公式 2023-4-24（三）股票价格过程 2023-4-24（三）股票价格过程 2023-4-24（三）股票价格过程 2023-4-24（三）股票价格过程 2023-4-24
