1、 20202020 年中考数学大题狂练之中等大题满分夯基练（江苏专用）年中考数学大题狂练之中等大题满分夯基练（江苏专用） 专题专题 1 新定义材料阅读类创新题新定义材料阅读类创新题 【真题再现】【真题再现】 1 （2019 年南京第 27 题） 【概念认识】 城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式 行走可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系 xOy，对两点 A（x1，y1）和 B（x2，y2） ，用 以下方式定义两点间距离：d（A，B）|x1x2|+|y1y2| 【数学理解】 （1）已知点 A（2，1） ，则 d（O，A） 3 函数
2、y2x+4（0x2）的图象如图所示，B 是图象上一点，d（O，B）3，则点 B 的坐标是 （1，2） （2）函数 y= 4 （x0）的图象如图所示求证：该函数的图象上不存在点 C，使 d（O，C）3 （3）函数 yx25x+7（x0）的图象如图所示，D 是图象上一点，求 d（O，D）的最小值及对应的 点 D 的坐标 【问题解决】 （4）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图，道路以 M 为起点，先沿 MN 方向到某处，再在该处 拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意 图并简要说明理由） 【分析】 （1）根据定义可求出 d（O，A）|0+2|+|
3、01|2+13；由两点间距离：d（A，B）|x1 x2|+|y1y2|及点 B 是函数 y2x+4 的图象上的一点， 可得出方程组， 解方程组即可求出点 B 的坐标； （2）由条件知 x0，根据题意得 + 4 = 3，整理得 x23x+40，由0 可证得该函数的图象上不存 在点 C，使 d（O，C）3 （3）根据条件可得|x|+|x25x+7|，去绝对值后由二次函数的性质可求出最小值； （4）以 M 为原点，MN 所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系 xOy，将函数 yx 的图象沿 y 轴正方 向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止，设交点为 E，过点 E 作 EHMN，垂足为 H，修
4、建 方案是：先沿 MN 方向修建到 H 处，再沿 HE 方向修建到 E 处，可由 d（O，P）d（O，E）证明结论 即可 【解析】 （1）由题意得：d（O，A）|0+2|+|01|2+13； 设 B（x，y） ，由定义两点间的距离可得：|0x|+|0y|3， 0x2， x+y3， + = 3 = 2 + 4， 解得： = 1 = 2， B（1，2） ， 故答案为：3， （1，2） ； （2）假设函数 = 4 (0)的图象上存在点 C（x，y）使 d（O，C）3， 根据题意，得| 0| + | 4 0| = 3， x0， 4 0，| 0| + | 4 0| = + 4 ， + 4 = 3， x2
5、+43x， x23x+40， b24ac70， 方程 x23x+40 没有实数根， 该函数的图象上不存在点 C，使 d（O，C）3 （3）设 D（x，y） ， 根据题意得，d（O，D）|x0|+|x25x+70|x|+|x25x+7|， 2 5 + 7 = ( 5 2) 2 + 3 4 0， 又 x0， d（O，D）|x|+|x25x+7|x+x25x+7x24x+7（x2）2+3， 当 x2 时，d（O，D）有最小值 3，此时点 D 的坐标是（2，1） （4）如图，以 M 为原点，MN 所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系 xOy，将函数 yx 的图象沿 y 轴正方向平移，直到与景观湖边界
6、所在曲线有交点时停止， 设交点为 E，过点 E 作 EHMN，垂足为 H，修建方案是：先沿 MN 方向修建到 H 处，再沿 HE 方向修 建到 E 处 理由：设过点 E 的直线 l1与 x 轴相交于点 F在景观湖边界所在曲线上任取一点 P，过点 P 作直线 l2 l1，l2与 x 轴相交于点 G EFH45， EHHF，d（O，E）OH+EHOF， 同理 d（O，P）OG， OGOF， d（O，P）d（O，E） ， 上述方案修建的道路最短 点睛：考查了二次函数的综合题，涉及的知识点有新定义，解方程（组） ，二次函数的性质等 2 （2019 年南通第 28 题）定义：若实数 x，y 满足 x22
7、y+t，y22x+t，且 xy，t 为常数，则称点 M（x， y）为“线点” 例如，点（0，2）和（2，0）是“线点” 已知：在直角坐标系 xOy 中，点 P（m，n） （1）P1（3，1）和 P2（3，1）两点中，点 P2 是“线点” ； （2）若点 P 是“线点” ，用含 t 的代数式表示 mn，并求 t 的取值范围； （3）若点 Q（n，m）是“线点” ，直线 PQ 分别交 x 轴、y 轴于点 A，B，当|POQAOB|30时， 直接写出 t 的值 【分析】 （1）若 x，y 满足 x2+2yt，y2+2xt 且 xy，t 为常数，则称点 M 为“线点” ，由新定义即可得 出结论； （2
8、）由新定义得出 m2+2nt，n2+2mt，得出 m2+2nn22m0，m2+2n+n2+2m2t，分解因式得出 （mn） （m+n2）0，得出 m+n2，mn4t，由完全平方公式得出（m+n）24mn0，得出 mn 1，即可得出结果； （3）证出AOB 是等腰直角三角形，求出POQ120或 60，得出 P、Q 两点关于 yx 对称，再 分两种情况讨论，求出 t 的值即可 【解析】 （1）当 M 点（x，y） ，若 x，y 满足 x22yt，y22xt 且 xy，t 为常数，则称点 M 为“线 点” ， 又P1（3，1） ，则 32217， （1）2235，75， 点 P1不是线点； P2（3
9、，1） ，则（3）2217，122（3）7，77， 点 P2是线点， 故答案为：P2； （2）点 P（m，n）为“线点” ， 则 m22nt，n22mt， m22nn2+2m0，m22n+n22m2t， （mn） （m+n+2）0， mn， m+n+20， m+n2， m22n+n22m2t， （m+n）22mn2（m+n）2t， 即： （2）22mn+222t， mn4t， mn， （mn）20， m22mn+n20， （m+n）24mn0， （2）24mn0， mn1， mn4t， t3； （3）设 PQ 直线的解析式为：ykx+b， 则 = + = + ， 解得：k1， 直线 PQ 分别
10、交 x 轴，y 轴于点 A、B， AOB90， AOB 是等腰直角三角形， |AOBPOQ|30， POQ120或 60， P（m，n） ，Q（n，m） ， P、Q 两点关于 yx 对称， 若POQ120时，如图 1 所示： 作 PCx 轴于 C，QDy 轴于 D，作直线 MNAB P、Q 两点关于 yx 对称，PONQON= 1 2POQ60， AOB 是等腰直角三角形， AONBON45， POCQOD15， 在 OC 上截取 OTPT，则TPOTOP15， CTP30， PT2PC2n，TC= 3n， m= 3n+2n， 由（2）知，m+n2， 解得：m13，n= 3 1， 由（2）知：
11、mn4t，t3， （13） （1+3）4t， 解得：t6， 若POQ60时，如图 2 所示， 作 PDx 轴于 D，QCy 轴于 C，作直线 MNAB P、Q 两点关于 yx 对称， PONQON= 1 2POQ30， AOB 是等腰直角三角形， AONBON45， PODQOC15， 在 OD 上截取 OTPT，则TPOTOP15， DTP30， PT2PD2n，TD= 3n， m= 3n2n， 由（2）知，m+n2， 解得 m1 3 3 ，n1+ 3 3 ， 由（2）知：mn4t，t3， （1 3 3 ） （1+ 3 3 ）4t， 解得：t= 10 3 ， 综上所述，t 的值为：6 或10
12、 3 点睛：本题是三角形综合题目，考查了新定义“线点” 、轴对称图形的性质、等腰直角三角形的判定与性 质、坐标与图形性质、待定系数法求直线的解析式、因式分解、完全平方公式、三角函数以及分类讨论 等知识；本题综合性强，有一定难度 3 （2019 年常州第 26 题） 【阅读】 数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建 立相等关系，我们把这一思想称为“算两次” “算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想 【理解】 （1）如图 1，两个边长分别为 a、b、c 的直角三角形和一个两条直角边都是 c 的直角三角形拼成一个梯 形用两种不同的方法计算梯
13、形的面积，并写出你发现的结论； （2）如图 2，n 行 n 列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：n2 1+3+5+7+2n1 ； 【运用】 （3）n 边形有 n 个顶点，在它的内部再画 m 个点，以（m+n）个点为顶点，把 n 边形剪成若干个三角形， 设最多可以剪得 y 个这样的三角形当 n3，m3 时，如图 3，最多可以剪得 7 个这样的三角形，所以 y7 当 n4，m2 时，如图 4，y 6 ；当 n5，m 3 时，y9； 对于一般的情形，在 n 边形内画 m 个点，通过归纳猜想，可得 y n+2（m1） （用含 m、n 的代 数式表示） 请对同一个量用算两次
14、的方法说明你的猜想成立 【分析】 （1）此等腰梯形的面积有三部分组成，利用等腰梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和列 出方程并整理 （2） 由图可知 n 行 n 列的棋子排成一个正方形棋子个数为 n2， 每层棋子分别为 1， 3， 5， 7， ， 2n1 故 可得用两种不同的方法计算棋子的个数，即可解答 （3）根据探画出图形究不难发现，三角形内部每增加一个点，分割部分增加 2 部分，即可得出结论 【解析】 （1）有三个 Rt其面积分别为1 2ab， 1 2ab 和 1 2c 2 直角梯形的面积为1 2（a+b） （a+b） 由图形可知：1 2（a+b） （a+b）= 1 2ab+ 1 2ab
15、+ 1 2c 2 整理得（a+b）22ab+c2，a2+b2+2ab2ab+c2， a2+b2c2 故结论为：直角长分别为 a、b 斜边为 c 的直角三角形中 a2+b2c2 （2）n 行 n 列的棋子排成一个正方形棋子个数为 n2，每层棋子分别为 1，3，5，7，2n1 由图形可知：n21+3+5+7+2n1 故答案为 1+3+5+7+2n1 （3）如图 4，当 n4，m2 时，y6， 如图 5，当 n5，m3 时，y9 算法y 个三角形，共 3y 条边，其中 n 边形的每边都只使用一次，其他边都各使用两次，所以 n 边 形内部共有 （3yn）2 条线段；算法n 边形内部有 1 个点时，其内
16、部共有 n 条线段，共分成 n 个 三角形，每增加一个点，都必在某个小三角形内，从而增加 3 条线段，所以 n 边形内部有 m 个点时，其 内部共有 n+3（m1）条线段，由 （3yn）2n+3（m1）化简得：yn+2（m1） 故答案为：6，3；n+2（m1） 点睛：本题考查了图形的变化规律的问题，读懂题目信息，找到变化规律是解题的关键 4 （2019 年镇江第 26 题） 【材料阅读】 地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一个经线圈（如图 1 中的O） 人们在北半球可观测到 北极星，我国古人在观测北极星的过程中发明了如图 2 所示的工具尺（古人称它为“复矩” ） ，尺的两边 互相垂直，
17、角顶系有一段棉线，棉线末端系一个铜锤，这样棉线就与地平线垂直站在不同的观测点， 当工具尺的长边指向北极星时，短边与棉线的夹角 的大小是变化的 【实际应用】 观测点 A 在图 1 所示的O 上，现在利用这个工具尺在点 A 处测得 为 31，在点 A 所在子午线往北 的另一个观测点 B，用同样的工具尺测得 为 67PQ 是O 的直径，PQON （1）求POB 的度数； （ 2 ） 已 知 OP 6400km ， 求 这 两 个 观 测 点 之 间 的 距 离 即 O 上 的 长 （ 取 3.1 ） 【分析】 （1）设点 B 的切线 CB 交 ON 延长线于点 E，HDBC 于 D，CHBH 交 B
18、C 于点 C，则DHC 67，证出HBDDHC67，由平行线的性质得出BEOHBD67，由直角三角形的性 质得出BOE23，得出POB902367； （2）同（1）可证POA31，求出AOBPOBPOA36，由弧长公式即可得出结果 【解析】 （1） 设点 B 的切线 CB 交 ON 延长线于点 E， HDBC 于 D， CHBH 交 BC 于点 C， 如图所示： 则DHC67， HBD+BHDBHD+DHC90， HBDDHC67， ONBH， BEOHBD67， BOE906723， PQON， POE90， POB902367； （2）同（1）可证POA31， AOBPOBPOA67313
19、6， = 366400 180 =3968（km） 点睛：本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、弧长公式等知识；熟练掌握切线的性质和弧长公式 是解题的关键 5 （2018 年南京第 27 题）结果如此巧合! 下面是小颖对一道题目的解答 题目：如图，RtABC 的内切圆与斜边 AB 相切于点 D，AD3，BD4，求ABC 的面积 解：设ABC 的内切圆分别与 AC、BC 相切于点 E、F，CE 的长为 x 根据切线长定理，得 AEAD3，BFBD4，CFCEx 根据勾股定理，得（x+3）2+（x+4）2（3+4）2 整理，得 x2+7x12 所以 SABC= 1 2ACBC = 1 2（x+3
20、） （x+4） = 1 2（x 2+7x+12） = 1 2 （12+12） 12 小颖发现 12 恰好就是 34，即ABC 的面积等于 AD 与 BD 的积这仅仅是巧合吗？ 请你帮她完成下面的探索 已知：ABC 的内切圆与 AB 相切于点 D，ADm，BDn 可以一般化吗？ （1）若C90，求证：ABC 的面积等于 mn 倒过来思考呢？ （2）若 ACBC2mn，求证C90 改变一下条件 （3）若C60，用 m、n 表示ABC 的面积 【分析】 （1）由切线长知 AEADm、BFBDn、CFCEx，根据勾股定理得（x+m）2+（x+n）2 （m+n）2，即 x2+（m+n）xmn，再利用三角
21、形的面积公式计算可得； （2）由由 ACBC2mn 得（x+m） （x+n）2mn，即 x2+（m+n）xmn，再利用勾股定理逆定理求证即 可； （3）作 AGBC，由三角函数得 AGACsin60= 3 2 （x+m） ，CGACcos60= 1 2（x+m） 、BGBC CG（x+n） 1 2（x+m） ，在 RtABG 中，根据勾股定理可得 x 2+（m+n）x3mn，最后利用三角形的 面积公式计算可得 【解析】设ABC 的内切圆分别与 AC、BC 相切于点 E、F，CE 的长为 x， 根据切线长定理，得：AEADm、BFBDn、CFCEx， （1）如图 1， 在 RtABC 中，根据勾
22、股定理，得： （x+m）2+（x+n）2（m+n）2， 整理，得：x2+（m+n）xmn， 所以 SABC= 1 2ACBC = 1 2（x+m） （x+n） = 1 2x 2+（m+n）x+mn = 1 2（mn+mn） mn， （2）由 ACBC2mn，得： （x+m） （x+n）2mn， 整理，得：x2+（m+n）xmn， AC2+BC2（x+m）2+（x+n）2 2x2+（m+n）x+m2+n2 2mn+m2+n2 （m+n）2 AB2， 根据勾股定理逆定理可得C90； （3）如图 2，过点 A 作 AGBC 于点 G， 在 RtACG 中，AGACsin60= 3 2 （x+m） ，
23、CGACcos60= 1 2（x+m） ， BGBCCG（x+n） 1 2（x+m） ， 在 RtABG 中，根据勾股定理可得： 3 2 （x+m）2+（x+n） 1 2（x+m） 2（m+n）2， 整理，得：x2+（m+n）x3mn， SABC= 1 2BCAG = 1 2 （x+n） 3 2 （x+m） = 3 4 x2+（m+n）x+mn = 3 4 （3mn+mn） = 3mn 点睛：本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握切线长定理的运用、三角函数的应用及勾股定理 及其逆定理等知识点 6 （2018 年南通第 28 题） 【定义】如图 1，A，B 为直线 l 同侧的两点，过点 A
24、作直线 1 的对称点 A，连 接 AB 交直线 l 于点 P，连接 AP，则称点 P 为点 A，B 关于直线 l 的“等角点” 【运用】如图 2，在平面直坐标系 xOy 中，已知 A（2，3） ，B（2，3）两点 （1）C（4， 3 2 ） ，D（4， 2 2 ） ，E（4，1 2）三点中，点 是点 A，B 关于直线 x4 的等角点； （2）若直线 l 垂直于 x 轴，点 P（m，n）是点 A，B 关于直线 l 的等角点，其中 m2，APB，求 证：tan 2 = 2； （3）若点 P 是点 A，B 关于直线 yax+b（a0）的等角点，且点 P 位于直线 AB 的右下方，当APB 60时，求
25、 b 的取值范围（直接写出结果） 【分析】 （1）求 B 点的对称点 B，连 AB，求直线 AB解析式，得到与直线 x4 的交点即可； （2）由对称性证明AGPBHP，求A度数，利用锐角三角形函数定义求正切值即可； （3）构造以 AB 为弦，所对圆周角为 60，且圆心在 AB 下方的圆，点 P 为圆上的点，利用 P 点为直线 yax+b 的等角点分情况讨论直线 yax+b（a0）与圆相交、相切的情况 【解析】 （1）点 B 关于直线 x4 的对称点为 B（10，3） ， 直线 AB解析式为：y= 3 4 + 33 2 ， 当 x4 时，y= 3 2 故答案为：C； （2）如图，过点 A 作直线
26、 l 的对称点 A，连 AB，交直线 l 于点 P作 BHl 于点 H 点 A 和 A关于直线 l 对称， APGAPG， BPHAPG， APGBPH， 又AGPBHP90， AGPBHP， = ，即 ;2 :2 = 3; :3， mn23，即 m= 23 APB，APAP， AA= 2， 在 RtAGP 中，tan 2 = = 3; ;2 = 3; 23 ;2 = 2； （3）点 P 位于直线 AB 的右下方，APB60时，点 P 在以 AB 为弦，所对圆周角为 60，且圆心在 AB 下方，如图 若直线 yax+b（a0）与圆相交，设圆与直线 yax+b（a0）的另一个交点为 Q 由对称性
27、可知：APQAPQ， 又APB60， APQAPQ60， ABQAPQ60，AQBAPB60， BAQ60AQBABQ， ABQ 是等边三角形 线段 AB 为定线段， 点 Q 为定点 若直线 yax+b（a0）与圆相切，易得 P、Q 重合， 直线 yax+b（a0）过定点 Q 连 OQ，过点 A、Q 分别作 AMy 轴，QNy 轴，垂足分别为 M、N A（2，3） ，B（2，3） ， OAOB= 7 ABQ 是等边三角形， AOQBOQ90，OQ= 3 = 21， AOM+NOQ90， 又AOM+MAO90，NOQMAO， AMOONQ90， AMOONQ， = = ， 2 = 3 = 7 2
28、1 ， ON23，NQ3， Q 点坐标为（3，23） 设直线 BQ 解析式为 ykx+b， 将 B、Q 坐标代入得3 = 2 + 23 = 3 + ， 解得 = 3 5 = 73 5 ， 直线 BQ 的解析式为：y= 3 5 73 5 设直线 AQ 的解析式为：ymx+n， 将 A、Q 两点代入得3 = 2 + 23 = 3 + ， 解得 = 33 = 73 ， 直线 AQ 的解析式为：y33 + 73 若点 P 与 B 点重合，则直线 PQ 与直线 BQ 重合，此时，b= 73 5 ； 若点 P 与点 A 重合，则直线 PQ 与直线 AQ 重合，此时，b73 又yax+b（a0） ，且点 P
29、 位于 AB 右下方， b 73 5 且 b23或 b73 点睛：本题为代数几何综合题，综合考查了一次函数、圆以及锐角三角函数的相关知识，解答关键是数 形结合 【专项突破】【专项突破】 【题组一】【题组一】 1 （2019鼓楼区一模）把一个函数图象上每个点的纵坐标变为原来的倒数（原函数图象上纵坐标为 0 的点 除外） 、横坐标不变，可以得到另一个函数的图象，我们称这个过程为倒数变换 例如：如图，将 yx 的图象经过倒数变换后可得到 y= 1 的图象特别地，因为 yx 图象上纵坐标为 0 的点是原点，所以该点不作变换，因此 y= 1 的图象上也没有纵坐标为 0 的点 （1）请在下面的平面直角坐标
30、系中画出 yx+1 的图象和它经过倒数变换后的图象 （2）观察上述图象，结合学过的关于函数图象与性质的知识， 猜想：倒数变换得到的图象和原函数的图象之间可能有怎样的联系？写出两个即可 说理：请简要解释你其中一个猜想 （3）请画出函数 y= 1 2+（c 为常数）的大致图象 【分析】 （1）画出 y= 1 +1的图象； （2）猜想一：倒数变换得到的图象和原函数的图象之间如果存在交点，则其纵坐标为 1 或1； 猜想二：倒数变换得到的图象和原函数的图象的对称性相同，比如原函数是轴对称图形，则倒数变换的 图象也是轴对称图象； （3）分三种情况画图：c0c0c0； 【解析】 （1）在平面直角坐标系中画出
31、 yx+1 的图象和它经过倒数变换后的图象如图： 图中去掉（1，0）的点 （2）猜想一：倒数变换得到的图象和原函数的图象之间如果存在交点，则其纵坐标为 1 或1； 猜想二：倒数变换得到的图象和原函数的图象的对称性相同，比如原函数是轴对称图形，则倒数变换的 图象也是轴对称图象； 猜想一：因为只有 1 和1 的倒数是其本身，所以如果原函数存在一个点的纵坐标为 1 或1，那么倒 数变换得到的图象上必然也存在这样对应的纵坐标为 1 或1，即两个函数图象的交点 （3）当 c0 时， 当 c0 时， 当 c0 时， 2 （2019鼓楼区二模）提出问题：用一张等边三角形纸片剪一个直角边长分别为 2cm 和
32、3cm 的直角三角形 纸片，等边三角形纸片的边最小值是多少？ 探究思考：几位同学画出了以下情况，其中C90，BC2cm，ADE 为等边三角形 （1）同学们对图 1，图 2 中的等边三角形展开了讨论： 图一中 AD 的长度 图中 AD 的长度（填“” ， “”或“” ） 等边三角形 ADE 经过图形变化AD 可以更小请描述图形变化的过程 （2）有同学画出了图 3，但老师指出这种情况不存在，请说明理由 （3）在图 4 中画出边长最小的等边三角形，并写出它的边长 经验运用： （4）用一张等边三角形纸片剪一个直角边长为 1cm 和 3cm 的直角三角形纸片，等边三角形纸片的边长 最小是多少？画出示意图
33、并写出这个最小值 【分析】 （1）图 1 和图 2 中分别作高线 AG 和 AH，根据 AG 和 AH 的大小决定结论，由 AB 相等，所 以根据 BGBH 可知：AGAH，可得结论；画图进行说明即可； （2）计算 DC 的长，可知：BCDC，所以图 3 这种情况不存在； （3）当 D 与 B 重合时，AD 最小，如图 4，此时 ADAB； （4）首先考虑特殊的情况：AC高线 AH 时，如图 6，ACAH 时，如图 7，C 在边 DE 上，AC AH 时，如图 8，综上，可以得到当 AB 与 AD 共线时，AD 是最小的，计算此时的值即可 【解析】 （1）在图 1 和图 2 中分别过 A 向
34、DE 作垂线 AG 和 AH， RtACB 中，BC2，AC3， AB= 22+ 32= 13， 由图 1 和图 2 可知：BHBG， AGAH， ADE 为等边三角形， D60， sin60= = ， 图一中 AD 的长度图中 AD 的长度， 故答案为：； 如图 5，将ADE 绕点 A 被逆时针方向旋转一定的角度，再以 A 为位似中心，将ADE 缩小，使得点 B 再次落在边 DE 上； （2）如图 3，ADAE，ACDE，DAE60， DAC= 1 2DAE30， 在 RtDAC 中，tanDAC= ， 即 tan30= 3 = 3 3 ，DC= 3， BC2， BCDC， 而这与题意矛盾，
35、所以图 3 这种情况不存在； （3）当 D 与 B 重合时，AD 最小，如图 4， 此时 ADAB= 13； 则它的边长是13cm； （4）作等边ADE 的高 AH， AHsin60AD， 当 AD 最小时，AH 最小， 考虑以下三种情况： 当 AC 是等边ADE 的高时，如图 6， 如图 7，C 在边 DE 上，此时 ACAH， 如图 8，B 在边 DE 上，此时 AHAC， 所以在图 7 中，AD 越往右偏，则 AH 越小， 综上，可以得到当 AB 与 AD 共线时，AD 是最小的， 如图 9，AB 与 AD 共线时，AD 最小，过 C 作 CFAB 于 F， RtACB 中，AC3，BC
36、1， AB= 10， SABC= 1 2 = 1 2 ， 10CF13， CF= 3 10 = 310 10 ， AF= 2 2= 32 ( 3 10) 2 = 910 10 ， RtDFC 中，tan60= ， DF= 310 10 3 = 30 10 ， ADAF+DF= 9 1010 + 30 10 ， 答：等边三角形纸片的边长最小值是（ 9 10 10 + 30 10 ）cm 3 （2019建邺区一模）我们定义：有一组对角相等的四边形叫做“等对角四边形” （1）如图，四边形 ABCD 内接于O，点 E 在 CD 的延长线上，且 AEAD证明：四边形 ABCE 是 “等对角四边形” （2
37、）如图，在“等对角四边形”ABCD 中，DABBCD53，B90，AB17，BC18， 求 CD 的长 （sin53 4 5，cos53 3 5，tan53 4 3） （3）如图，在 RtACD 中，ACD90，DAC30，CD4，若四边形 ABCD 是“等对角四 边形” ，且BD，则 BD 的最大值是 4+43 （直接写出结果） 【分析】 （1）证明BE，即可证明四边形 ABCE 是“等对角四边形” ； （2） ）过点 D 作 DEAB 于点 E，DFBC 于点 F，先证明四边形 EBFD 为矩形，于是 BEDF，BF DE，在 RtCDF 中，tanFCD= =tan53= 4 3，可设
38、DF4x，CF3x，则 CD5x 则 BEDF4x，DEBF183x，AE174x，在 RtADE 中，A53，tanA= = 4 3，于是 3DE4AE，列出方程 3（183x）4（174x） ，求得 x2，即 CD5x10； （3） ）由ABC60，可知点 B 在以 AC 为边的等边三角形的外接圆的 上运动，当 BD 经过圆心 O 时，BD 最长，即为 B1D 的长，求出即可 【解析】 （1）证明：四边形 ABCD 内接于O， B+ADC180， ADE+ADC180， BADE， AEAD， EADE， BE， 四边形 ABCE 是“等对角四边形” ； （2）如图，过点 D 作 DEAB
39、 于点 E，DFBC 于点 F， BEDBFD90， 又B90， 四边形 EBFD 为矩形， BEDF，BFDE， 在 RtCDF 中， tanFCD= =tan53= 4 3， 设 DF4x，CF3x，则 CD5x BEDF4x，DEBF183x，AE174x， 在 RtADE 中，A53，tanA= = 4 3， 3DE4AE， 3（183x）4（174x） ， x2， CD5x10 （3）ACD90，DAC30， CDA60，ABC60， 点 B 在以 AC 为边的等边三角形的外接圆的 上运动， 当 BD 经过圆心 O 时，BD 最长，即为 B1D 的长， 如图，连接 DO，与弧交于点
40、B1，连接 OC，作 OEAC，与 DC 的延长线交于点 E ACD90，DAC30，CD4， AC43， 易知OCA30，COEOCA30， OCOB4，CE2，OE= 23， DECE+DC2+46 OD= 2+ 2 =(23) 2+ 62 = 43， DB1OD+OB143 +4， 则 BD 的最大值是43 + 4 故答案为43 + 4 4 （2020河南一模） 【问题提出】在ABC 中，ABACBC，点 D 和点 A 在直线 BC 的同侧，BDBC， BAC，DBC，且 +120，连接 AD，求ADB 的度数 （不必解答） 【特例探究】小聪先从特殊问题开始研究，当 90，30时，利用轴
41、对称知识，以 AB 为对称轴 构造ABD 的轴对称图形ABD，连接 CD（如图 2） ，然后利用 90，30以及等边三角形 等相关知识便可解决这个问题 请结合小聪研究问题的过程和思路， 在这种特殊情况下填空： DBC 的形状是 等边 三角形； ADB 的度数为 30 【问题解决】 在原问题中，当DBCABC（如图 1）时，请计算ADB 的度数； 【拓展应用】 在原问题中， 过点 A 作直线 AEBD， 交直线 BD 于 E， 其他条件不变若 BC7， AD2 请 直接写出线段 BE 的长为 7+3或 73 【分析】 【特例探究】如图 2 中，作ABDABD，BDBD，连接 CD，AD，由ABD
42、 ABD，推出DBC 是等边三角形； 借助的结论，再判断出ADBADC，得ADBADC，由此即可解决问题 【问题解决】 当 60120时， 如图 3 中， 作AB DABD， B DBD， 连接 CD， AD， 证明方法类似（1） 【拓展应用】第种情况：当 60120时，如图 3 中，作AB DABD，B DBD，连接 CD，AD，证明方法类似（1） ，最后利用含 30 度角的直角三角形求出 DE，即可得出结论； 第种情况：当 060时，如图 4 中，作ABDABD，BDBD，连接 CD，AD证 明方法类似（1） ，最后利用含 30 度角的直角三角形的性质即可得出结论 【解析】 【特例探究】如图 2 中，作ABDABD，BDBD，连接 CD，AD， ABAC，BAC90， ABC45， DBC30， ABDABCDBC15， 在ABD 和ABD中， = = = ABDABD， ABDABD15，ADBADB， DBCABD+ABC60， BDBD，BDBC， BDBC， DBC 是等边三角形， DBC 是等边三角形， DBDC，BDC60， 在ADB 和ADC 中， = = = ADBADC， ADBADC， ADB= 1 2BDC30，
