1、 20202020 年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练（江苏专用）年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练（江苏专用） 专题专题 03 二次函数与相似问题二次函数与相似问题 【真题再现】【真题再现】 1（2019年镇江第27题） 如图， 二次函数yx2+4x+5图象的顶点为D， 对称轴是直线l， 一次函数y= 2 5x+1的 图象与 x 轴交于点 A，且与直线 DA 关于 l 的对称直线交于点 B （1）点 D 的坐标是 ； （2）直线 l 与直线 AB 交于点 C，N 是线段 DC 上一点（不与点 D、C 重合） ，点 N 的纵坐标为 n过点 N 作直线与线段 DA、DB 分别交于点 P、
2、Q，使得DPQ 与DAB 相似 当 n= 27 5 时，求 DP 的长； 若对于每一个确定的 n 的值， 有且只有一个DPQ 与DAB 相似， 请直接写出 n 的取值范围 2 （2018 年扬州第 28 题）如图 1，四边形 OABC 是矩形，点 A 的坐标为（3，0） ，点 C 的坐标为（0，6） ， 点 P 从点 O 出发，沿 OA 以每秒 1 个单位长度的速度向点 A 运动，同时点 Q 从点 A 出发，沿 AB 以每秒 2 个单位长度的速度向点 B 运动，当点 P 与点 A 重合时运动停止设运动时间为 t 秒 （1）当 t2 时，线段 PQ 的中点坐标为 ； （2）当CBQ 与PAQ 相
3、似时，求 t 的值； （3）当 t1 时，抛物线 yx2+bx+c 经过 P，Q 两点，与 y 轴交于点 M，抛物线的顶点为 K，如图 2 所 示，问该抛物线上是否存在点 D，使MQD= 1 2MKQ？若存在，求出所有满足条件的 D 的坐标；若不 存在，说明理由 3 （2018 年镇江第 27 题）如图，二次函数 yx23x 的图象经过 O（0，0） ，A（4，4） ，B（3，0）三点， 以点 O 为位似中心， 在 y 轴的右侧将OAB 按相似比 2： 1 放大， 得到OAB， 二次函数 yax2+bx+c （a0）的图象经过 O，A，B三点 （1）画出OAB，试求二次函数 yax2+bx+c
4、（a0）的表达式； （2）点 P（m，n）在二次函数 yx23x 的图象上，m0，直线 OP 与二次函数 yax2+bx+c（a0） 的图象交于点 Q（异于点 O） 求点 Q 的坐标（横、纵坐标均用含 m 的代数式表示） 连接 AP，若 2APOQ，求 m 的取值范围； 当点 Q 在第一象限内，过点 Q 作 QQ平行于 x 轴，与二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象交于另 一点 Q，与二次函数 yx23x 的图象交于点 M，N（M 在 N 的左侧） ，直线 OQ与二次函数 yx2 3x 的图象交于点 PQPMQBN，则线段 NQ 的长度等于 4 （2018 年连云港第 26 题） 如图
5、1， 图形 ABCD 是由两个二次函数 y1kx2+m（k0） 与 y2ax2+b （a0） 的部分图象围成的封闭图形已知 A（1，0） 、B（0，1） 、D（0，3） （1）直接写出这两个二次函数的表达式； （2）判断图形 ABCD 是否存在内接正方形（正方形的四个顶点在图形 ABCD 上） ，并说明理由； （3）如图 2，连接 BC，CD，AD，在坐标平面内，求使得BDC 与ADE 相似（其中点 C 与点 E 是对 应顶点）的点 E 的坐标 5 （2018 年宿迁第 27 题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y（xa） （x3） （0a3）的图象与 x 轴交于点 A、B（点 A 在点
6、B 的左侧） ，与 y 轴交于点 D，过其顶点 C 作直线 CPx 轴，垂足为点 P， 连接 AD、BC （1）求点 A、B、D 的坐标； （2）若AOD 与BPC 相似，求 a 的值； （3）点 D、O、C、B 能否在同一个圆上？若能，求出 a 的值；若不能，请说明理由 【专项突破】【专项突破】 【题组一】【题组一】 1 （2019 秋江阴市期末）如图，已知二次函数 yx22x+m 的图象与 x 轴交于点 A、B，与 y 轴交于点 C， 直线 AC 交二次函数图象的对称轴于点 D，若点 C 为 AD 的中点 （1）求 m 的值； （2）若二次函数图象上有一点 Q，使得 tanABQ3，求点
7、Q 的坐标； （3）对于（2）中的 Q 点，在二次函数图象上是否存在点 P，使得QBPCOA？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 2 （2019 秋张家港市期末）如图，抛物线 ya（x1） （x3） （a0）与 x 轴交于 A，B 两点，抛物线上 另有一点 C 在 x 轴下方，且使OCAOBC （1）求线段 OC 的长度； （2）设直线 BC 与 y 轴交于点 D，点 C 是 BD 的中点时，求直线 BD 和抛物线的解析式， （3）在（2）的条件下，点 P 是直线 BC 下方抛物线上的一点，过 P 作 PEBC 于点 E，作 PFAB 交 BD 于点 F，是否存在一点 P，使得
8、PE+PF 最大，若存在，请求出该最大值；若不存在，请说明理由 3 （2020山西模拟）如图，二次函数 y0.5x2+bx+c 的图象过点 B（0，1）和 C（4，3）两点，与 x 轴交于 点 D、点 E，过点 B 和点 C 的直线与 x 轴交于点 A （1）求二次函数的解析式； （2）在 x 轴上有一动点 P，随着点 P 的移动，存在点 P 使PBC 是直角三角形，请你求出点 P 的坐标； （3）若动点 P 从 A 点出发，在 x 轴上沿 x 轴正方向以每秒 2 个单位的速度运动，同时动点 Q 也从 A 点 出发，以每秒 a 个单位的速度沿射线 AC 运动，是否存在以 A、P、Q 为顶点的三
9、角形与ABD 相似？若 存在，直接写出 a 的值；若不存在，说明理由 4 （2019建昌县一模）如图，二次函数 y= 1 2 2 +bx+c 与 x 轴交于点 A（2，0） 、与 y 轴交于点 C（0， 4） ，过点 A 的直线 y= 1 2x+1 与抛物线的另一个交点为 B，D 是抛物线的顶点 （1）求抛物线的解析式并直接写出顶点 D 的坐标； （2）如图 1，点 P 是线段 AB 上方抛物线上一动点，求点 P 运动到什么位置时，ABP 的面积最大，最 大面积是多少？ （3）如图 2，设直线 AB 与 y 轴交于点 E点 M 是直线 AB 上的一个动点（不与点 A、B 重合） ，当MEC 与
10、AOE 相似时，请直接写出点 M 的坐标 【题组二】【题组二】 5 （2019泸州）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知二次函数 yax2+bx+c 的图象经过点 A（2，0） ， C（0，6） ，其对称轴为直线 x2 （1）求该二次函数的解析式； （2）若直线 y= 1 3x+m 将AOC 的面积分成相等的两部分，求 m 的值； （3）点 B 是该二次函数图象与 x 轴的另一个交点，点 D 是直线 x2 上位于 x 轴下方的动点，点 E 是第 四象限内该二次函数图象上的动点，且位于直线 x2 右侧若以点 E 为直角顶点的BED 与AOC 相 似，求点 E 的坐标 6 （2019恩施州）如
11、图，抛物线 yax22ax+c 的图象经过点 C（0，2） ，顶点 D 的坐标为（1， 8 3） ， 与 x 轴交于 A、B 两点 （1）求抛物线的解析式 （2）连接 AC，E 为直线 AC 上一点，当AOCAEB 时，求点 E 的坐标和 的值 （3）点 F（0，y）是 y 轴上一动点，当 y 为何值时， 5 5 FC+BF 的值最小并求出这个最小值 （4）点 C 关于 x 轴的对称点为 H，当 5 5 FC+BF 取最小值时，在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使 QHF 是直角三角形？若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 7 （2019亭湖区二模）如图，在平面直角坐标系中，二次
12、函数 y= 1 4x 2+bx+c 的图象与 y 轴交于点 A（0， 8） ，与 x 轴交于 B、C 两点，其中点 C 的坐标为（4，0） 点 P（m，n）为该二次函数在第二象限内图象 上的动点，点 D 的坐标为（0，4） ，连接 BD （1）求该二次函数的表达式及点 B 的坐标； （2） 连接 OP， 过点 P 作 PQx 轴于点 Q， 当以 O、 P、 Q 为顶点的三角形与OBD 相似时， 求 m 的值； （3）连接 BP，以 BD、BP 为邻边作BDEP，直线 PE 交 y 轴于点 T 当点 E 落在该二次函数图象上时，求点 E 的坐标； 在点 P 从点 A 到点 B 运动过程中（点 P
13、 与点 A 不重合） ，直接写出点 T 运动的路径长 8 （2019昆山市二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx+c（a0）交 x 轴于点 A（2，0） ， B（3，0） ，交 y 轴于点 C，且经过点 D（6，6） ，连接 AD，BD （1）求该抛物线的函数关系式； （2） 若点 M 为 X 轴上方的抛物线上一点， 能否在点 A 左侧的 x 轴上找到另一点 N， 使得AMN 与ABD 相似？若相似，请求出此时点 M、点 N 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点 P 是直线 AD 上方的抛物线上一动点（不与 A，D 重合） ，过点 P 作 PQy 轴交直线 AD 于点 Q
14、， 以 PQ 为直径作E， 则E 在直线 AD 上所截得的线段长度的最大值等于 （直接写出答案） 【题组三】【题组三】 9 （2019苏州一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 yx3 的图象与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于 点 B，点 B 关于 x 轴的对称点是 C，二次函数 yx2+bx+c 的图象经过点 A 和点 C （1）求二次函数的表达式； （2）如图 1，平移线段 AC，点 A 的对应点 D 落在二次函数在第四象限的图象上，点 C 的对应点 E 落在 直线 AB 上，求此时点 D 的坐标； （3）如图 2，在（2）的条件下，连接 CD，交 x 轴于点 M，点 P 为直线 AC
15、 上方抛物线上一动点，过点 P 作 PFAC，垂足为点 F，连接 PC，是否存在点 P，使得以点 P，C，F 为顶点的三角形与COM 相 似？若存在，求点 P 的横坐标；若不存在，请说明理由 10 （2019工业园区一模）如图，已知抛物线 y= 3 3 x2 23 3 x 与 x 轴相交于 O、A 两点，B 为顶点，C 是第 二象限内抛物线上一点，且AOC120 （1）求点 C 的坐标； （2）向下平移该抛物线得到一条新抛物线，设新抛物线与 x 轴相交于点 O、A（点 A在点 O的 右侧） 问：是否存在以点 A、A、B 为顶点且与OBC 相似的三角形？若存在，求出新抛物线对应的 函数表达式；若
16、不存在，请说明理由 11 （2019铜山区一模）已知，如图，二次函数 yx2+bx+c 的图象经过点 A（1，0） ，B（3，0） ，点 E 为二次函数第一象限内抛物线上一动点，EHx 轴于点 H，交直线 BC 于点 F，以 EF 为直径的圆M 与 BC 交于点 R （1）b ；c ； （2）当EFR 周长最大时 求此时点 E 点坐标及EFR 周长； 点 P 为M 上一动点，连接 BP，点 Q 为 BP 的中点，连接 HQ，直接写出 HQ 的最大值为 ； （3）连接 CE、BE，当ERCBRE 时，求出点 E 点坐标 【题组四】【题组四】 12 （2019东台市模拟）如图 1，已知抛物线 yx
17、2+bx+c 交 y 轴于点 A（0，4） ，交 x 轴于点 B（4，0） ， 点 P 是抛物线上一动点，试过点 P 作 x 轴的垂线 1，再过点 A 作 1 的垂线，垂足为 Q，连接 AP （1）求抛物线的函数表达式和点 C 的坐标； （2）若AQPAOC，求点 P 的横坐标； （3）如图 2，当点 P 位于抛物线的对称轴的右侧时，若将APQ 沿 AP 对折，点 Q 的对应点为点 Q， 请直接写出当点 Q落在坐标轴上时点 P 的坐标 13 （2019滕州市模拟）如图，已知抛物线经过原点 O，顶点为 A（1，1） ，且与直线 yx2 交于 B，C 两点 （1）求抛物线的解析式及点 C 的坐标；
18、 （2）求ABC 的面积； （3）若点 N 为 x 轴上的一个动点，过点 N 作 MNx 轴与抛物线交于点 M，则是否存在以 O，M，N 为 顶点的三角形与ABC 相似？若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 14 （2019剑阁县模拟）如图，二次函数 yax2+bx+2 的图象与 x 轴相交于点 A（1，0） 、B（4，0） ，与 y 轴相交于点 C （1）求该函数的表达式； （2）点 P 为该函数在第一象限内的图象上一点，过点 P 作 PQBC，垂足为点 Q，连接 PC 求线段 PQ 的最大值； 若以点 P、C、Q 为顶点的三角形与ABC 相似，求点 P 的坐标 【题组五】【题
19、组五】 15 （2019无锡模拟）已知：如图，一次函数 y2x 与二次函数 yax2+2ax+c 的图象交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的右侧） ，与其对称轴交于点 C （1）求点 C 的坐标； （2）设二次函数图象的顶点为 D，点 C 与点 D 关于 x 轴对称，且ACD 的面积等于 2 求二次函数的解析式； 在该二次函数图象的对称轴上求一点 P（写出其坐标） ，使PBC 与ACD 相似 16 （2019新疆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx+c 经过 A（1，0） ，B（4，0） ，C（0，4） 三点 （1）求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标； （2）将（1）中的抛物
20、线向下平移15 4 个单位长度，再向左平移 h（h0）个单位长度，得到新抛物线若 新抛物线的顶点 D在ABC 内，求 h 的取值范围； （3）点 P 为线段 BC 上一动点（点 P 不与点 B，C 重合） ，过点 P 作 x 轴的垂线交（1）中的抛物线于点 Q，当PQC 与ABC 相似时，求PQC 的面积 17 （2019安顺）如图，抛物线 y= 1 2x 2+bx+c 与直线 y=1 2x+3 分别相交于 A，B 两点，且此抛物线与 x 轴的 一个交点为 C，连接 AC，BC已知 A（0，3） ，C（3，0） （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线对称轴 l 上找一点 M，使|MBMC|的
21、值最大，并求出这个最大值； （3）点 P 为 y 轴右侧抛物线上一动点，连接 PA，过点 P 作 PQPA 交 y 轴于点 Q，问：是否存在点 P 使得以 A，P，Q 为顶点的三角形与ABC 相似？若存在，请求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存 在，请说明理由 【题组六】【题组六】 18 （2019锦州）如图 1，在平面直角坐标系中，一次函数 y= 3 4x+3 的图象与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于 B 点，抛物线 yx2+bx+c 经过 A，B 两点，在第一象限的抛物线上取一点 D，过点 D 作 DCx 轴于点 C，交直线 AB 于点 E （1）求抛物线的函数表达式 （2）是否存在
22、点 D，使得BDE 和ACE 相似？若存在，请求出点 D 的坐标，若不存在，请说明理由； （3）如图 2，F 是第一象限内抛物线上的动点（不与点 D 重合） ，点 G 是线段 AB 上的动点连接 DF， FG，当四边形 DEGF 是平行四边形且周长最大时，请直接写出点 G 的坐标 19 （2019娄底）如图，抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴交于点 A（1，0） ，点 B（3，0） ，与 y 轴交于点 C， 且过点 D（2，3） 点 P、Q 是抛物线 yax2+bx+c 上的动点 （1）求抛物线的解析式； （2）当点 P 在直线 OD 下方时，求POD 面积的最大值 （3）直线 OQ 与线段 BC 相交于点 E，当OBE 与ABC 相似时，求点 Q 的坐标 20 （2019莱芜区）如图，抛物线 yax2+bx+c 经过 A（3，0） ，B（1，0） ，C（0，3）三点 （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图 1，P 为抛物线上在第二象限内的一点，若PAC 面积为 3，求点 P 的坐标； （3）如图 2，D 为抛物线的顶点，在线段 AD 上是否存在点 M，使得以 M，A，O 为顶点的三角形与 ABC 相似？若存在，求点 M 的坐标；若不存在，请说明理由
