1、 20202020 年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练（江苏专用）年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练（江苏专用） 专题专题 06 几何综合探究变化型问题几何综合探究变化型问题 【真题再现】【真题再现】 1 （2019 年宿迁中考第 28 题）如图，在钝角ABC 中，ABC30，AC4，点 D 为边 AB 中点，点 E 为边 BC 中点，将BDE 绕点 B 逆时针方向旋转 度（0180） （1）如图，当 0180 时，连接 AD、CE求证：BDABEC； （2）如图，直线 CE、AD 交于点 G在旋转过程中，AGC 的大小是否发生变化？如变化，请说明 理由；如不变，请求出这个角的度数；
2、（3）将BDE 从图位置绕点 B 逆时针方向旋转 180，求点 G 的运动路程 【分析】 （1）如图利用三角形的中位线定理，推出 DEAC，可得 = ，在图中，利用两边成 比例夹角相等证明三角形细相似即可 （2）利用相似三角形的性质证明即可 （3）点 G 的运动路程，是图1 中的 的长的两倍，求出圆心角，半径，利用弧长公式计算即可 【解析】 （1）如图中， 由图，点 D 为边 AB 中点，点 E 为边 BC 中点， DEAC， = ， = ， DBEABC， DBAEBC， DBAEBC （2）AGC 的大小不发生变化，AGC30 理由：如图中，设 AB 交 CG 于点 O DBAEBC， D
3、ABECB， DAB+AOG+G180，ECB+COB+ABC180，AOGCOB， GABC30 （3）如图1 中设 AB 的中点为 K，连接 DK，以 AC 为边向左边等边ACO，连接 OG，OB 以 O 为圆心，OA 为半径作O， AGC30，AOC60， AGC= 1 2AOC， 点 G 在O 上运动， 以 B 为圆心，BD 为半径作B，当直线与B 相切时，BDAD， ADB90， BKAK， DKBKAK， BDBK， BDDKBK， BDK 是等边三角形， DBK60， DAB30， BOG2DAB60， 的长= 604 180 = 4 3 ， 观察图象可知，点 G 的运动路程是
4、的长的两倍= 8 3 点评： 本题属于相似形综合题， 考查了相似三角形的判定和性质， 弧长公式， 等边三角形的判定和性质， 圆周角定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会正确寻找点的运动轨迹，属于中 考压轴题 2 （2019 年连云港中考第 27 题）问题情境：如图 1，在正方形 ABCD 中，E 为边 BC 上一点（不与点 B、C 重合） ，垂直于 AE 的一条直线 MN 分别交 AB、AE、CD 于点 M、P、N判断线段 DN、MB、EC 之间的 数量关系，并说明理由 问题探究：在“问题情境”的基础上 （1） 如图 2， 若垂足 P 恰好为 AE 的中点， 连接 BD， 交
5、 MN 于点 Q， 连接 EQ， 并延长交边 AD 于点 F 求 AEF 的度数； （2）如图 3，当垂足 P 在正方形 ABCD 的对角线 BD 上时，连接 AN，将APN 沿着 AN 翻折，点 P 落 在点 P处，若正方形 ABCD 的边长为 4，AD 的中点为 S，求 PS 的最小值 问题拓展：如图 4，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，点 M、N 分别为边 AB、CD 上的点，将正方形 ABCD 沿着 MN 翻折，使得 BC 的对应边 BC恰好经过点 A，CN 交 AD 于点 F分别过点 A、F 作 AGMN， FHMN，垂足分别为 G、H若 AG= 5 2，请直接写出 FH 的长
6、 【分析】问题情境：过点 B 作 BFMN 分别交 AE、CD 于点 G、F，证出四边形 MBFN 为平行四边形， 得出 NFMB，证明ABEBCF 得出 BECF，即可得出结论； 问题探究： （1）连接 AQ，过点 Q 作 HIAB，分别交 AD、BC 于点 H、I，证出DHQ 是等腰直角三角 形， HDHQ， AHQI， 证明 RtAHQRtQIE 得出AQHQEI， 得出AQE 是等腰直角三角形， 得出EAQAEQ45，即可得出结论； （2）连接 AC 交 BD 于点 O，则APN 的直角顶点 P 在 OB 上运动，设点 P 与点 B 重合时，则点 P与 点D重合； 设点P与点O重合时，
7、 则点P的落点为O， 由等腰直角三角形的性质得出ODAADO 45，当点 P 在线段 BO 上运动时，过点 P 作 PGCD 于点 G，过点 P作 PHCD 交 CD 延长线 于点 H，连接 PC，证明APBCPB 得出BAPBCP，证明 RtPGNRtNHP得出 PGNH， GNPH， 由正方形的性质得出PDG45， 易得出 PGGD， 得出 GNDH， DHPH， 得出PDH 45，故PDA45，点 P在线段 DO上运动；过点 S 作 SKDO，垂足为 K，即可得出结果； 问题拓展：延长 AG 交 BC 于 E，交 DC 的延长线于 Q，延长 FH 交 CD 于 P，则 EGAG= 5 2
8、，PHFH， 得出 AE5，由勾股定理得出 BE= 2 2=3，得出 CEBCBE1，证明ABEQCE，得 出 QE= 1 3AE= 5 3，AQAE+QE= 20 3 ，证明AGMABE，得出 AM= 25 8 ，由折叠的性质得：ABEB 3，BB90，CBCD90，求出 BM= 2 2= 7 8，AC1，证明AFC MAB，得出 AF= 25 7 ，DF4 25 7 = 3 7，证明DFPDAQ，得出 FP= 5 7，得出 FH= 1 2FP= 5 14 【解答】问题情境： 解：线段 DN、MB、EC 之间的数量关系为：DN+MBEC；理由如下： 四边形 ABCD 是正方形， ABEBCD
9、90，ABBCCD，ABCD， 过点 B 作 BFMN 分别交 AE、CD 于点 G、F，如图 1 所示： 四边形 MBFN 为平行四边形， NFMB， BFAE， BGE90， CBF+AEB90， BAE+AEB90， CBFBAE， 在ABE 和BCF 中， = = = = 90 ， ABEBCF（ASA） ， BECF， DN+NF+CFBE+EC， DN+MBEC； 问题探究： 解： （1）连接 AQ，过点 Q 作 HIAB，分别交 AD、BC 于点 H、I，如图 2 所示： 四边形 ABCD 是正方形， 四边形 ABIH 为矩形， HIAD，HIBC，HIABAD， BD 是正方形
10、 ABCD 的对角线， BDA45， DHQ 是等腰直角三角形，HDHQ，AHQI， MN 是 AE 的垂直平分线， AQQE， 在 RtAHQ 和 RtQIE 中， = = ， RtAHQRtQIE（HL） ， AQHQEI， AQH+EQI90， AQE90， AQE 是等腰直角三角形， EAQAEQ45，即AEF45； （2）连接 AC 交 BD 于点 O，如图 3 所示： 则APN 的直角顶点 P 在 OB 上运动， 设点 P 与点 B 重合时，则点 P与点 D 重合；设点 P 与点 O 重合时，则点 P的落点为 O， AOOD，AOD90， ODAADO45， 当点 P 在线段 BO
11、 上运动时，过点 P 作 PGCD 于点 G，过点 P作 PHCD 交 CD 延长线于点 H， 连接 PC， 点 P 在 BD 上， APPC， 在APB 和CPB 中， = = = ， APBCPB（SSS） ， BAPBCP， BCDMPA90， PCNAMP， ABCD， AMPPNC， PCNPNC， PCPN， APPN， PNA45， PNP90， PNH+PNG90， PNH+NPH90，PNG+NPG90， NPGPNH，PNGNPH， 由翻折性质得：PNPN， 在PGN 和NHP中， = = = ， PGNNHP（ASA） ， PGNH，GNPH， BD 是正方形 ABCD
12、的对角线， PDG45， 易得 PGGD， GNDH， DHPH， PDH45，故PDA45， 点 P在线段 DO上运动； 过点 S 作 SKDO，垂足为 K， 点 S 为 AD 的中点， DS2，则 PS 的最小值为2； 问题拓展： 解：延长 AG 交 BC 于 E，交 DC 的延长线于 Q，延长 FH 交 CD 于 P，如图 4： 则 EGAG= 5 2，PHFH， AE5， 在 RtABE 中，BE= 2 2=3， CEBCBE1， BECQ90，AEBQEC， ABEQCE， = =3， QE= 1 3AE= 5 3， AQAE+QE= 20 3 ， AGMN， AGM90B， MAG
13、EAB， AGMABE， = ，即 5 = 5 2 4， 解得：AM= 25 8 ， 由折叠的性质得：ABEB3，BB90，CBCD90， BM= 2 2= 7 8，AC1， BAD90， BAMCFA， AFCMAB， = = 1 7 8 ， 解得：AF= 25 7 ， DF4 25 7 = 3 7， AGMN，FHMN， AGFH， AQFP， DFPDAQ， = ，即 20 3 = 3 7 4 ， 解得：FP= 5 7， FH= 1 2FP= 5 14 点评：本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、相似三角形的判定 与性质、 全等三角形的判定与性质、 等腰直角
14、三角形的判定与性质等知识； 本题综合性强， 有一定难度， 证明三角形全等和三角形相似是解题的关键 3 （2019 年无锡中考副卷第 28 题）如图，在 RtABC 中，ACBC4，ACB90，正方形 BDEF 的 边长为 2，将正方形 BDEF 绕点 B 旋转一周，连接 AE、BE、CD （1）请找出图中与ABE 相似的三角形，并说明理由； （2）求当 A、E、F 三点在一直线上时 CD 的长； （3）设 AE 的中点为 M，连接 FM，试求 FM 长的取值范围 【分析】 （1）根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定定理即可得到结论； （ 2 ） 根 据 相 似 三 角 形 的 性 质 得 到
15、AB = 2 BC 4 2 ， 根 据 勾 股 定 理 得 到 AF= 2 2=(42)2 22=27，如图 1，当 AE 在 AB 左上方时，如图 2，当 AE 在 AB 右下方 时，即可得到结论； （3）如图 3，延长 EF 到 G 使 FGEF，连接 AG，BG，求得BFG 是等腰直角三角形，得到 BG= 2BF 22，设 M 为 AE 的中点，连接 MF，根据三角形中位线的定理得到 AG2FM，根据三角形的三边关 系即可得到结论 【解析】 （1）ABECBD， 在 RtABC 中，ACBC4，ACB90， ABCEBD45， ABECBD， =2， =2， = ， ABECBD； （2
16、）ABECBD， = =2， CD= 2 2 AE， ACBC4，ACB90， AB= 2BC42， 当 A、E、F 三点在一直线上时， AFB90， AF= 2 2=(42)2 22=27， 如图 1，当 AE 在 AB 左上方时，AEAFEF27 2， CD= 14 2； 如图 2，当 AE 在 AB 右下方时， 同理，AEAF+EF27 +2， CD= 14 + 2； 综上所述，当 A、E、F 三点在一直线上时，CD 的长为14 2或14 + 2； （3）如图 3，延长 EF 到 G 使 FGEF，连接 AG，BG， 则BFG 是等腰直角三角形， BG= 2BF22， 设 M 为 AE
17、的中点， 连接 MF， MF 是AGE 的中位线， AG2FM， 在ABG 中，ABBGAGAB+BG， 22 AG62， 2 FM32 点评：本题考查了相似形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形 的性质，三角形中位线定理，正确的作出辅助线是解题的关键 4 （2019 年盐城中考第 25 题）如图是一张矩形纸片，按以下步骤进行操作： （）将矩形纸片沿 DF 折叠，使点 A 落在 CD 边上点 E 处，如图； （）在第一次折叠的基础上，过点 C 再次折叠，使得点 B 落在边 CD 上点 B处，如图，两次折痕 交于点 O； （）展开纸片，分别连接 OB、OE、OC、
18、FD，如图 【探究】 （1）证明：OBCOED； （2）若 AB8，设 BC 为 x，OB2为 y，求 y 关于 x 的关系式 【分析】 （1）利用折叠性质，由边角边证明OBCOED； （2）过点 O 作 OHCD 于点 H由（1）OBCOED，OEOB，BCx，则 ADDEx，则 CE 8x，OH= 1 2CD4，则 EHCHCE4（8x）x4 在 RtOHE 中，由勾股定理得 OE 2 OH2+EH2，即 OB242+（x4）2，所以 y 关于 x 的关系式：yx28x+32 【解析】 （1）证明：由折叠可知，ADED，BCODCOADOCDO45 BCDE，COD90，OCOD， 在OB
19、COED 中， = = = ， OBCOED（SAS） ； （2）过点 O 作 OHCD 于点 H 由（1）OBCOED， OEOB， BCx，则 ADDEx， CE8x， OCOD，COD90 CH= 1 2CD= 1 2AB= 1 2 8 =4， OH= 1 2CD4， EHCHCE4（8x）x4 在 RtOHE 中，由勾股定理得 OE2OH2+EH2， 即 OB242+（x4）2， y 关于 x 的关系式：yx28x+32 点评：本题是四边形综合题，熟练运用轴对称的性质和全等三角形的判定以及勾股定理是解题的关键 5 （2019扬州）如图，已知等边ABC 的边长为 8，点 P 是 AB 边
20、上的一个动点（与点 A、B 不重合） 直 线 1 是经过点 P 的一条直线，把ABC 沿直线 1 折叠，点 B 的对应点是点 B （1）如图 1，当 PB4 时，若点 B恰好在 AC 边上，则 AB的长度为 4 或 0 ； （2）如图 2，当 PB5 时，若直线 1AC，则 BB的长度为 53 ； （3） 如图 3， 点 P 在 AB 边上运动过程中， 若直线 1 始终垂直于 AC， ACB的面积是否变化？若变化， 说明理由；若不变化，求出面积； （4）当 PB6 时，在直线 1 变化过程中，求ACB面积的最大值 【分析】 （1）证明APB是等边三角形即可解决问题 （2）如图 2 中，设直线
21、l 交 BC 于点 E连接 BB交 PE 于 O证明PEB 是等边三角形，求出 OB 即 可解决问题 （3）如图 3 中，结论：面积不变证明 BBAC 即可 （4）如图 4 中，当 BPAC 时，ACB的面积最大，设直线 PB交 AC 于 E，求出 BE 即可解决 问题 【解析】 （1）如图 1 中， ABC 是等边三角形， A60，ABBCAC8， PB4， PBPBPA4， A60， APB是等边三角形， ABAP4 当直线 l 经过 C 时，点 B与 A 重合，此时 AB0 故答案为 4 或 0 （2）如图 2 中，设直线 l 交 BC 于点 E连接 BB交 PE 于 O PEAC， B
22、PEA60，BEPC60， PEB 是等边三角形， PB5， B，B关于 PE 对称， BBPE，BB2OB OBPBsin60= 53 2 ， BB53 故答案为 53 （3）如图 3 中，结论：面积不变 B，B关于直线 l 对称， BB直线 l， 直线 lAC， ACBB， SACBSACB= 1 2 8 3 2 8163 （4）如图 4 中，当 BPAC 时，ACB的面积最大， 设直线 PB交 AC 于 E， 在 RtAPE 中，PA2，PAE60， PEPAsin60= 3， BE6+3， SACB的最大值= 1 2 8（6+3）43 +24 解法二：如图 5 中，过点 P 作 PH
23、垂直于 AC， 由题意可得：B在以 P 为圆心半径长为 6 的圆上运动， 当 PH 的延长线交圆 P 于点 B时面积最大， 此时 BH6+3，SACB的最大值= 1 2 8（6+3）43 +24 点评：本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的性质和判定，轴对称变换，解直角三角形，平行 线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题 6 （2019 年南京中考第 26 题）如图，在 RtABC 中，C90，AC3，BC4求作菱形 DEFG， 使点 D 在边 AC 上，点 E、F 在边 AB 上，点 G 在边 BC 上 小明的作法 1如图，在边 AC 上取一
24、点 D，过点 D 作 DGAB 交 BC 于点 G 2以点 D 为圆心，DG 长为半径画弧，交 AB 于点 E 3在 EB 上截取 EFED，连接 FG，则四边形 DEFG 为所求作的菱形 （1）证明小明所作的四边形 DEFG 是菱形 （2）小明进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点 D 的位置变化而变化请你继续探索，直接 写出菱形的个数及对应的 CD 的长的取值范围 【分析】 （1）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可 （2）求出几种特殊位置的 CD 的值判断即可 【解答】 （1）证明：DEDG，EFDE， DGEF， DGEF， 四边形 DEFG 是平行四边形， DGDE， 四边形 D
25、EFG 是菱形 （2）如图 1 中，当四边形 DEFG 是正方形时，设正方形的边长为 x 在 RtABC 中，C90，AC3，BC4， AB= 32+ 42=5， 则 CD= 3 5x，AD= 5 4x， AD+CDAC， 3 5 + 5 4x3， x= 60 37， CD= 3 5x= 36 37， 观察图象可知：0CD 36 37时，菱形的个数为 0 如图 2 中，当四边形 DAEG 是菱形时，设菱形的边长为 m DGAB， = ， 3; 3 = 5 ， 解得 m= 15 8 ， CD3 15 8 = 9 8， 如图 3 中，当四边形 DEBG 是菱形时，设菱形的边长为 n DGAB， =
26、 ， 4; 4 = 5， n= 20 9 ， CG4 20 9 = 16 9 ， CD=(20 9 )2 (16 9 )2= 4 3， 观察图象可知：当 0CD 36 37或 4 3 CD3 时，菱形的个数为 0，当 CD= 36 37或 9 8 CD 4 3时，菱形的个 数为 1，当36 37 CD 9 8时，菱形的个数为 2 点评：本题考查相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，作图复杂作图等知识，解题的关键是 学会寻找特殊位置解决问题，属于中考常考题型，题目有一定难度 【专项突破】【专项突破】 【题组一】【题组一】 1 （2020海门市校级模拟）已知正方形 ABCD，P 为射线 AB
27、上的一点，以 BP 为边作正方形 BPEF，使点 F 在线段 CB 的延长线上，连接 EA、EC （1）如图 1，若点 P 在线段 AB 的延长线上，求证：EAEC； （2）若点 P 在线段 AB 上，如图 2，当点 P 为 AB 的中点时，判断ACE 的形状，并说明理由； （3）在（1）的条件下，将正方形 ABCD 固定，正方形 BPEF 绕点 B 旋转一周，设 AB4，BPa，若 在旋转过程中ACE 面积的最小值为 4，请直接写出 a 的值 【分析】 （1）根据正方形的性质证明APECFE，可得结论； （2）分别证明PAE45和BAC45，则CAE90，即ACE 是直角三角形； （3）如图
28、 3 中，连接 BD 交 AC 于 O因为点 E 的运动轨迹是以 B 为圆心，2a 为半径的圆，推出当点 E 在线段 OB 上时，ACE 的面积最小，构建方程即可解决问题（注意一题多解） 【解答】证明： （1）如图 1 中， 四边形 ABCD 和四边形 BPEF 是正方形， ABBC，BPBF， APCF， 在APE 和CFE 中， = = = ， APECFE， EAEC； （2）ACE 是直角三角形， 理由是：如图 2 中， P 为 AB 的中点， PAPB， PBPE， PAPE， PAE45， 又BAC45， CAE90，即ACE 是直角三角形； （3）如图 3 中，连接 BD 交 A
29、C 于 O 点 E 的运动轨迹是以 B 为圆心，2a 为半径的圆， 当点 E 在线段 OB 上时，ACE 的面积最小， 1 2 ACOE4， OE= 2， BE22 2 = 2 a1， 满足条件的 a 的值为 1 【题组二】【题组二】 2 （2019 秋青龙县期末）在等边三角形 ABC 中，点 D 是 BC 的中点，点 E、F 分别是边 AB、AC（含线段 AB、AC 的端点）上的动点，且EDF120，小明和小慧对这个图形展开如下研究： 问题初探： （1）如图 1，小明发现：当DEB90时，BE+CFnAB，则 n 的值为 1 2 ； 问题再探： （2）如图 2，在点 E、F 的运动过程中，小
30、慧发现两个有趣的结论： DE 始终等于 DF；BE 与 CF 的和始终不变；请你选择其中一个结论加以证明 成果运用 （3）若边长 AB4，在点 E、F 的运动过程中，记四边形 DEAF 的周长为 L，LDE+EA+AF+FD，则周 长 L 的变化范围是 23 +6L10 【分析】 （1） 先利用等边三角形判断出 BDCD= 1 2AB， 进而判断出 BE= 1 2BD， 再判断出DFC90， 得出 CF= 1 2CD，即可得出结论； （2）构造出EDGFDH（ASA） ，得出 DEDF，即可得出结论； 由（1）知，BG+CH= 1 2AB，由知，EDGFDH（ASA） ，得出 EGFH，即可得
31、出结论； （3）由（1） （2）判断出 L2DE+6，再判断出 DEAB 时，L 最小，点 F 和点 C 重合时，DE 最大，即 可得出结论 【解答】解： （1）ABC 是等边三角形， BC60，ABBC， 点 D 是 BC 的中点， BDCD= 1 2BC= 1 2AB， DEB90， BDE90B30， 在 RtBDE 中，BE= 1 2BD， EDF120，BDE30， CDF180BDEEDF30， C60， DFC90， 在 RtCFD 中，CF= 1 2CD， BE+CF= 1 2BD+ 1 2 = 1 2BC= 1 2AB， BE+CFnAB， n= 1 2， 故答案为1 2；
32、（2）如图 2， 过点 D 作 DGAB 于 G，DHAC 于 H， DGBAGDCFDAHF90， ABC 是等边三角形， A60， GDH360AGDAHDA120， EDF120， EDGFDH， ABC 是等边三角形，且 D 是 BC 的中点， BADCAD， DGAB，DHAC， DGDH， 在EDG 和FDH 中， = = 90 = = ， EDGFDH（ASA） ， DEDF， 即：DE 始终等于 DF； 同（1）的方法得，BG+CH= 1 2AB， 由知，EDGFDH（ASA） ， EGFH， BE+CFBGEG+CH+FHBG+CH= 1 2AB， BE 与 CF 的和始终不
33、变 （3）由（2）知，DEDF，BE+CF= 1 2AB， AB4， BE+CF2， 四边形 DEAF 的周长为 LDE+EA+AF+FD DE+ABBE+ACCF+DF DE+ABBE+AB+DE 2DE+2AB（BE+CF） 2DE+242 2DE+6， DE 最大时，L 最大，DE 最小时，L 最小， 当 DEAB 时，DE 最小， 由（1）知，BG= 1 2BD1， DE最小= 3BG= 3， L最小23 +6， 当点 F 和点 C 重合时，DE 最大，此时，BDE180EDF12060， B60， BBDEBED60， BDE 是等边三角形， DEBD= 1 2AB2， 即：L 最大
34、22+610， 周长 L 的变化范围是 23 +6L10， 故答案为 23 +6L10 3 （2019 秋张家港市期末）在长方形纸片 ABCD 中，点 E 是边 CD 上的一点，将AED 沿 AE 所在的直线 折叠，使点 D 落在点 F 处 （1）如图 1，若点 F 落在对角线 AC 上，且BAC54，则DAE 的度数为 18 （2）如图 2，若点 F 落在边 BC 上，且 AB6，AD10，求 CE 的长 （3）如图 3，若点 E 是 CD 的中点，AF 的沿长线交 BC 于点 G，且 AB6，AD10，求 CG 的长 【分析】 （1）由矩形的性质和已知得出DAC905436，由折叠的性质得
35、DAEFAE， 得出DAE= 1 2DAC18即可； （2）由矩形的性质得出BC90，BCAD10，CDAB6，由折叠的性质得 AFAD10， EFED， 由勾股定理得出 BF= 2 2=8， 得出 CFBCBF2， 设 CEx， 则 EFED6x， 在 RtCEF 中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （3）连接 EG，证明 RtCEGFEG（HL） ，得出 CGFG，设 CGFGy，则 AGAF+FG10+y， BGBCCG10y，在 RtABG 中，由勾股定理得出方程，解方程即可 【解答】解： （1）四边形 ABCD 是矩形， BAD90， BAC54， DAC905436， 由折叠的性
36、质得：DAEFAE， DAE= 1 2DAC18； 故答案为：18； （2）四边形 ABCD 是矩形， BC90，BCAD10，CDAB6， 由折叠的性质得：AFAD10，EFED， BF= 2 2= 102 62=8， CFBCBF1082， 设 CEx，则 EFED6x， 在 RtCEF 中，由勾股定理得：22+x2（6x）2， 解得：x= 8 3， 即 CE 的长为8 3； （3）连接 EG，如图 3 所示： 点 E 是 CD 的中点， DECE， 由折叠的性质得：AFAD10，AFED90，FEDE， EFG90C， 在 RtCEG 和FEG 中， = = ， RtCEGFEG（HL）
37、 ， CGFG， 设 CGFGy， 则 AGAF+FG10+y，BGBCCG10y， 在 RtABG 中，由勾股定理得：62+（10y）2（10+y）2， 解得：y= 9 10， 即 CG 的长为 9 10 4 （2020兴化市模拟）如图，现有一张矩形纸片 ABCD，AB4，BC8，点 M，N 分别在矩形的边 AD， BC 上， 将矩形纸片沿直线 MN 折叠， 使点 C 落在矩形的边 AD 上， 记为点 P， 点 D 落在 G 处， 连接 PC， 交 MN 丁点 Q，连接 CM （1）求证：PMPN； （2）当 P，A 重合时，求 MN 的值； （3）若PQM 的面积为 S，求 S 的取值范围
38、 【分析】 （1）想办法证明PMNPNM 即可解决问题 （2）点 P 与点 A 重合时，设 BNx，表示出 ANNC8x，利用勾股定理列出方程求解得 x 的值，进 而用勾股定理求得 MN （3）当 MN 过 D 点时，求得四边形 CMPN 的最小面积，进而得 S 的最小值，当 P 与 A 重合时，S 的值 最大，求得最大值即可 【解答】 （1）证明：如图 1 中， 四边形 ABCD 是矩形， PMCN， PMNMNC， MNCPNM， PMNPNM， PMPN （2）解：点 P 与点 A 重合时，如图 2 中， 设 BNx，则 ANNC8x， 在 RtABN 中，AB2+BN2AN2， 即 4
39、2+x2（8x）2， 解得 x3， CN835，AC= 2+ 2= 42+ 82=45， CQ= 1 2AC25， QN= 2 2=52 (25)2= 5， MN2QN25 （3） 解： 当 MN 过点 D 时， 如图 3 所示， 此时， CN 最短， 四边形 CMPN 的面积最小， 则 S 最小为 S= 1 4S 菱形 CMPN= 1 4 444， 当 P 点与 A 点重合时，CN 最长，四边形 CMPN 的面积最大，则 S 最大为 S= 1 4 545， 4S5， 【题组二】【题组二】 5 （2019 秋娄星区期末）在ABC 中，ABAC，点 D 为射线 CB 上一个动点（不与 B、C 重
40、合） ，以 AD 为一边在 AD 的右侧作ADE，使 ADAE，DAEBAC，过点 E 作 EFBC，交直线 AC 于点 F， 连接 CE （1）如图，若BAC60，则按边分类：CEF 是 等边 三角形； （2）若BAC60 如图，当点 D 在线段 CB 上移动时，判断CEF 的形状并证明； 当点 D 在线段 CB 的延长线上移动时， CEF 是什么三角形？请在图中画出相应的图形并直接写出 结论（不必证明） 【分析】 （1）根据题意推出ACBABC60，然后通过求证EACDAB，结合平行线的性质， 即可推出EFC 为等边三角形； （2）根据（1）的推理方法，即可推出EFC 为等腰三角形；根据题
41、意画出图形，然后根据平行线 的性质，通过求证EACDAB，推出等量关系，即可推出EFC 为等腰三角形 【解答】解： （1）如图 1，ABAC，ADAE，BACDAE60， ACBABC60，EACDAB， DABEAC， ECAB60， EFBC， EFCACB60， 在EFC 中，EFCECF60CEF， EFC 为等边三角形， 故答案为：等边； （2）CEF 为等腰三角形， 证明：如图 2，ABAC，ADAE，BACDAE， ACBABC，EACDAB， EACDAB， ECAB， ACEACB， EFBC， EFCACB， EFCACE， CEFE， EFC 为等腰三角形； 如图，EFC 为等腰三角形 当点 D 在 BC 延长线上时，以 AD 为一边在 AD 的左侧作ADE，使 ADAE，DAEBAC，过点 E 作 BC 的平行线 EF，交直线 AC 的延长线于点 F，连接 DE 证明：ABAC，ADAE，BACDAE， ACBABC，EACDAB， EACDAB， ECADBA， ECFABC， EFBC， AFEACB， 又ABCACB， AFEECF， ECEF， EFC 为等腰三角形
