1、圆的证明与计算 专 题 研 究圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响，所以解决好此题比较关键。一、考点分析： 1.圆中的重要定理:(1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆.(2)垂径定理:主要是用来证明弧相等、线段相等、垂直关系等等.(3)三者之间的关系定理: 主要是用来证明弧相等、线段相等、圆心角相等.(4)圆周角性质定理及其推轮: 主要是用来证明直角、角相等、弧相等.(5)切线的性质定理:主要是用来证明垂直关系.(6)切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线.(7)切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等. 2.圆中几个关键元素之间的
2、相互转化:弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到.二、考题形式分析：主要以解答题的形式出现,第1问主要是判定切线；第2问主要是与圆有关的计算：求线段长（或面积）；求线段比；求角度的三角函数值（实质还是求线段比）。三、解题秘笈：1、判定切线的方法：（1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；（2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；总而言之，要完成两个层次的证明：直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；直线与半
3、径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.例：（1）如图，AB是O的直径，BCAB，ADOC交O于D点，求证：CD为O的切线；（2）如图，以RtABC的直角边AB为直径作O，交斜边AC于D，点E为BC的中点，连结DE，求证：DE是O的切线.（3）如图，以等腰ABC的一腰为直径作O，交底边BC于D，交另一腰于F，若DEAC于E（或E为CF中点），求证：DE是O的切线.（4）如图，AB是O的直径，AE平分BAF，交O于点E，过点E作直线EDAF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C，求证：CD是O的切线.2、与圆有关
4、的计算：计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式复杂，无规律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。其中重要而常见的数学思想方法有：（1）构造思想：如：构建矩形转化线段；构建“射影定理”基本图研究线段（已知任意两条线段可求其它所有线段长）；构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径；构造勾股定理模型；构造三角函数.（2）方程思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等关系建立方程
5、，解决问题。（3）建模思想：借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形的问题，通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系。3、典型基本图型：图形1：如图1：AB是O的直径，点E、C是O上的两点，基本结论有：（1）在“AC平分BAE”；“ADCD”；“DC是O的切线”三个论断中，知二推一。（2）如图2、3，DE等于弓形BCE的高；DC=AE的弦心距OF（或弓形BCE的半弦EF）。（3）如图（4）：若CKAB于K，则：CK=CD；BK=DE；CK=BE=DC；AE+AB=2BK=2AD;ADCACBAC2=ADAB（4）在(1)中的条件、
6、中任选两个条件，当BGCD于E时（如图5），则：DE=GB；DC=CG；AD+BG=AB；ADBG=DC2 图形2：如图：RtABC中，ACB=90。点O是AC上一点，以OC为半径作O交AC于点E，基本结论有：（1）在“BO平分CBA”;“BODE”;“AB是O的切线”;“BD=BC”。四个论断中，知一推三。（2）G是BCD的内心； ；BCOCDEBODE=COCE=CE2；（3）在图（1）中的线段BC、CE、AE、AD中，知二求四。（4）如图（3），若BC=CE，则：=tanADE；BC：AC：AB=3：4：5 ；（在、中知一推二）设BE、CD交于点H，,则BH=2EH图形3：如图：RtAB
7、C中，ABC=90,以AB为直径作O交AC于D，基本结论有：如右图：（1）DE切OE是BC的中点； （2）若DE切O，则：DE=BE=CE； D、O、B、E四点共圆CED=2ACDCA=4BE2, 图形特殊化：在（1）的条件下如图1：DEABABC、CDE是等腰直角三角形；如图2：若DE的延长线交AB的延长线于点F，若AB=BF，则：;图形4：如图，ABC中，AB=AC，以AB为直径作O，交BC于点D，交AC于点F，基本结论有：（1）DEACDE切O；（2）在DEAC或DE切O下，有：DFC是等腰三角形；EF=EC；D是 的中点。与基本图形1的结论重合。连AD，产生母子三角形。图形5：以直角梯
8、形ABCD的直腰为直径的圆切斜腰于， 基本结论有：（1）如图1：AD+BCCD； COD=AEB=90； OD平分ADC（或OC平分BCD）；（注：在、及“CD是O的切线”四个论断中，知一推三）ADBC2=R2；（2）如图2，连AE、CO，则有：COAE，COAE=2R2(与基本图形2重合)（3）如图3，若EFAB于F，交AC于G，则：EG=FG.图形6：如图：直线PRO的半径OB于E，PQ切O于Q，BQ交直线PQ于R。基本结论有：（1）PQ=PR (PQR是等腰三角形)；（2）在“PROB”、“PQ切O”、“PQ=PR”中，知二推一（3）2PRRE=BRRQ=BE2R=AB2图形7：如图，A
9、BC内接于O，I为ABC的内心。基本结论有：（1）如图1，BD=CD=ID；DI2DEDA；AIB=90+ACB;（2）如图2，若BAC=60，则：BD+CE=BC.图形8：已知，AB是O的直径，C是 中点，CDAB于D。BG交CD、AC于E、F。基本结论有：（1）CD=BG；BE=EF=CE；GF=2DE(反之，由CD=BG或BE=EF可得：C是 中点)（2）OE=AF，OEAC；ODEAGF（3）BEBG=BDBA（4）若D是OB的中点，则：CEF是等边三角形； 四、范例讲解：例题1：ABP中，ABP=90，以AB为直径作O交AP于C点，弧=，过C作AF的垂线，垂足为M，MC的延长线交BP
10、于D.（1）求证：CD为O的切线；（2）连BF交AP于E，若BE=6，EF=2，求的值。例题2：直角梯形ABCD中，BCD=90，AB=AD+BC，AB为直径的圆交BC于E，连OC、BD交于F.求证：CD为O的切线若，求的值例题3：如图，AB为直径，PB为切线，点C在O上，ACOP。（1）求证：PC为O的切线。（2）过D点作DEAB，E为垂足，连AD交BC于G，CG=3，DE=4，求的值。例题4（2009调考）：如图，已知ABC中，以边BC为直径的O与边AB交于点D，点E为 的中点，AF为ABC的角平分线，且AFEC。（1）求证：AC与O相切；（2）若AC6，BC8，求EC的长五、练习：1如图
11、，RtABC，以AB为直径作O交AC于点D， ，过D作AE的垂线，F为垂足.（1）求证：DF为O的切线；（2）若DF=3，O的半径为5，求的值.2如图，AB为O的直径，C、D为O上的两点， ，过D作直线BC的垂线交直线AB于点E，F为垂足.（1）求证：EF为O的切线；（2）若AC=6，BD=5，求的值.3如图，AB为O的直径，半径OCAB，D为AB延长线上一点，过D作O的切线，E为切点，连结CE交AB于点F.（1）求证：DE=DF；（2）连结AE，若OF=1，BF=3，求的值.4如图，RtABC中，C=90，BD平分ABC，以AB上一点O为圆心过B、D两点作O，O交AB于点一点E，EFAC于点
12、F.（1）求证：O与AC相切；（2）若EF=3，BC=4，求的值.5如图，等腰ABC中，AB=AC，以AB为直径作O交BC于点D，DEAC于E.（1）求证：DE为O的切线；（2）若BC=，AE=1，求的值. 6如图，BD为O的直径，A为 的中点，AD交BC于点E，F为BC延长线上一点，且FD=FE.（1）求证：DF为O的切线；（2）若AE=2，DE=4，BDF的面积为，求的值.7、如图，AB是O的直径，M是线段OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N，交BC的延长线于点E，直线CF交EN于点F，且ECF=E（1）求证：CF是O的切线；（2）设O的半径为1，且AC=CE，求的长8、如图，AB是O
13、的直径，BCAB，过点C作O的切线CE，点D是CE延长线上一点，连结AD，且AD+BC=CD.（1）求证：AD是O的切线；（2）设OE交AC于F，若OF=3，EF=2，求线段BC的长.9、如图，ABC中，AB=BC，以AB为直径的O交AC于点D，且CD=BD.（1）求证：BC是O的切线；（2）已知点M、N分别是AD、CD的中点，BM延长线交O于E，EFAC，分别交BD、BN的延长线于H、F，若DH=2，求EF的长.10、如图，AB是半O上的直径，E是的中点，OE交弦BC于点D，过点C作交AD的平行线交OE的延长线于点F. ADO=B.（1）求证：CF为O的O切线；（2）求sinBAD 的值.11、如图，ABC中，ABAC，以AC为直径的O与AB相交于点E，点F是BE的中点（1）求证：DF是O的切线（2）若AE14，BC12，求BF的长
