1、专题16 解析几何大题部分【训练目标】1、 理解斜率、倾斜角的概念，会利用多种方法计算斜率，掌握斜率与倾斜角之间的变化关系；2、 掌握直线方程的5种形式，熟练两直线的位置关系的充要条件，并且能够熟练使用点到直线的距离，两点间的距离，两平行间的距离公式；3、 识记圆的标准方程和一般方程，掌握两个方程的求法；4、 掌握直线与圆的位置关系的判断，圆与圆的位置关系判断；5、 掌握圆的切线求法，弦长求法，切线长的求法。6、 掌握椭圆，双曲线，抛物线的定义及简单几何性质；7、 掌握椭圆，双曲线的离心率求法；8、 掌握直线与圆锥曲线的位置关系；9、 掌握圆锥曲线中的定值问题，定点问题，最值与范围问题求法；【
2、温馨小提示】本专题在高考中属于压轴题，文科相对简单，只需掌握常见的方法，有一定的计算能力即可；对于理科生来讲，思维难度加大，计算量加大，因此在复习时应该多总结，对于常见的一些小结论加以识记，并采用一些诸如特殊值法，特殊点法加以验证求解。【名校试题荟萃】1、已知圆和圆.（1）若直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程；（2）设平面上的点满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点的坐标。【答案】 （1）或（2）或【解析】（1）设直线的方程为：，即由垂径定理，得：圆心到直线的距离，点到直线距离公式，得： 求直线的
3、方程为：或，即或； 故有：，化简得：关于的方程有无穷多解，有：,或 解之得：点P坐标为或。 2、已知椭圆与抛物线共交点，抛物线上的点到轴的距离等于，且椭圆与抛物线的交点满足（1）求抛物线的方程和椭圆的方程；（2）过抛物线上的点做抛物线的切线交椭圆于，两点，设线段的中点为，求的取值范围【答案】 （1），（2）（2）显然，由，消去，得，由题意知，得，由，消去，得，其中，化简得，又，得，解得设，则由，得的取值范围是3、已知椭圆：的离心率，点，点 分别为椭圆的上顶点和左焦点，且.（1）求椭圆的方程；（2）若过定点的直线与椭圆交于两点（在之间）设直线的斜率，在轴上是否存在点，使得以为邻边的平行四边形为菱
4、形？如果存在，求出的取值范围？如果不存在，请说明理由【答案】（1） （2）（）设直线的方程为，设，则，由于菱形对角线垂直，则，解得，即，（当且仅当时，等号成立）.所以存在满足条件的实数，的取值范围为.4、已知椭圆（1）若椭圆的离心率为，求的值； （2）若过点任作一条直线与椭圆交于不同的两点，在轴上是否存在点，使得， 若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1） （2）（-1，0）5、在平面直角坐标系中，椭圆：的短轴长为，离心率（1）求椭圆的方程；（2）已知为椭圆的上顶点，点为轴正半轴上一点，过点作的垂线与椭圆交于另一点，若，求点的坐标【答案】（1） （2）【解析】（1）因为椭圆的短
5、轴长为，离心率为，所以解得，所以椭圆的方程为在直角中，由，得，所以，解得，所以点的坐标为6、已知点F是椭圆y21（a0）的右焦点，点M（m，0），N（0，n）分别是x轴，y轴上的动点，且满足0.若点P满足2（O为坐标原点）（1）求点P的轨迹C的方程；（2）设过点F任作一直线与点P的轨迹交于A，B两点，直线OA，OB与直线xa分别交于点S，T，试判断以线段ST为直径的圆是否经过点F？请说明理由【答案】（1）y24ax （2）经过【解析】（1） 椭圆y21（a0）右焦点F的坐标为（a，0），（a，n）（m，n），由0，得n2am0.设点P的坐标为（x，y），由2，有（m，0）2（0，n）（x，y）
6、，代入n2am0，得y24ax.即点P的轨迹C的方程为y24ax.解法二：当ABx时，A（a，2a），B（a，2a），则lOA：y2x，lOB：y2x.由得点S的坐标为S（a，2a），则（2a，2a）由得点T的坐标为T（a，2a），则（2a，2a）（2a）（2a）（2a）2a0.当AB不垂直x轴时，设直线AB的方程为yk（xa）（k0），A，B，同解法一，得4a2.由得ky24ay4ka20，y1y24a2.则4a24a24a20. 因此，以线段ST为直径的圆经过点F. 7、如图，已知抛物线C：y2x和M：（x4）2y21，过抛物线C上一点H（x0，y0）（y01）作两条直线与M分别相切于A、
7、B两点，分别交抛物线于E、F两点（1）当AHB的角平分线垂直x轴时，求直线EF的斜率；（2）若直线AB在y轴上的截距为t，求t的最小值【答案】（1） （2）-11法二：当AHB的角平分线垂直x轴时，点H（4，2），AHB60，可得kHA，kHB，直线HA的方程为yx42，联立方程组得y2y420，yE2，yE，xE.同理可得yF，xF，kEF.（2）法一：设点H（m2，m）（m1），HM2m47m216，HA2m47m215.以H为圆心，HA为半径的圆方程为：（xm2）2（ym）2m47m215，M方程：（x4）2y21.得：直线AB的方程为（2xm24）（4m2）（2ym）mm47m214.
8、当x0时，直线AB在y轴上的截距t4m（m1），t关于m的函数在1，）单调递增，tmin11.法二：设A（x1，y1），B（x2，y2），kMA，kHA， 可得，直线HA的方程为（4x1）xy1y4x1150，同理，直线HB的方程为（4x2）xy2y4x2150，（4x1）yy1y04x1150，（4x2）yy2y04x2150，直线AB的方程为（4y）xy0y4y150，令x0，可得t4y0（y01），t关于y0的函数在1，）单调递增，tmin11.8、已知椭圆的一个焦点，点在椭圆上（1）求椭圆的方程；（2）直线平行于直线（坐标原点），且与椭圆交于，两个不同的点，若为钝角，求直线在轴上的截距
9、的取值范围【答案】（1） （2）（2）由直线平行于得直线的斜率为，又在轴上的截距，故的方程为由得，又线与椭圆交于，两个不同的点，设，则，所以，于是 为钝角等价于，且，则，即，又，所以的取值范围为 9、椭圆:（）的离心率为,其左焦点到点的距离为.不过原点的直线与椭圆相交于、两点,且线段被直线平分.（1） 求椭圆的方程；（2） 求的面积取最大时直线的方程.【答案】（1）（2）（2）易得直线的方程,设,中点,其中,因为在椭圆上,所以,相减得,即,故,其中且.令,则,令得,（因和不满足且,舍去） 当时,当时,所以,当时,取得最大值,此时直线的方程为.10、已知抛物线的焦点为，抛物线上存在一点到焦点的距
10、离等于（1）求抛物线的方程；（2）已知点在抛物线上且异于原点，点为直线上的点，且求直线与抛物线的交点个数，并说明理由【答案】（1） （2）1个【解析】（1）抛物线的准线方程为，所以点到焦点的距离为解得所以抛物线的方程为故直线的斜率故直线的方程为，即又抛物线的方程，联立消去得，故，且故直线与抛物线只有一个交点11、已知圆与轴相切于点（0，3），圆心在经过点（2，1）与点（2，3）的直线上（1）求圆的方程；（2）圆与圆：相交于M、N两点，求两圆的公共弦MN的长【答案】（1）（x4）2+（y3）2=16 （2）【解析】（1）经过点（2，1）与点（2，3）的直线方程为，即y=x1由题意可得，圆心在直线
11、y=3上，联立，解得圆心坐标为（4，3），故圆C1的半径为4则圆C1的方程为（x4）2+（y3）2=16；12、已知圆C的半径为2,圆心在x轴的正半轴上,直线与圆C相切.（1）求圆C的方程;（2）过点Q（0,-3）的直线与圆C交于不同的两点A、B，当时,求AOB的面积.【答案】（1） （2）【解析】（1）设圆心为,因为圆C与相切,所以,解得（舍去）,所以圆C的方程为设,则,将代入并整理得,解得k = 1或k =-5（舍去）,所以直线l的方程为圆心C到l的距离,13、已知是椭圆C：上两点，点的坐标为.（1）当两点关于轴对称，且为等边三角形时，求的长；（2）当两点不关于轴对称时，证明：不可能为等边
12、三角形.【答案】（1） （2）见解析根据题意可知，直线AB斜率存在.设直线AB：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点为N（x0，y0），联立，消去y得（2+3k2）x2+6kmx+3m2-9=0，由0得2m2-9k2-60， 所以x1+x2=-,y1+y2=k（x1+x2）+2m=, 所以N（-，），又M（1， 0），假设MAB为等边三角形，则有MNAB，所以kMNk=-1，即k=-1，化简得3k2+2+km=0， 由得m=-，代入得2-3（3k2+2）0，化简得3k2+40，矛盾，所以原假设不成立， 故MAB不可能为等边三角形.14、已知圆，点为圆上的一个动点，轴于点，
13、且动点满足，设动点的轨迹为曲线.（1）求动点的轨迹曲线的方程；（2）若直线与曲线相交于不同的两点、且满足以为直径的圆过坐标原点，求线段长度的取值范围.【答案】（1） （2）（2）当直线的斜率不存在时，因以为直径的圆过坐标原点，故可设直线为，联立解得 同理求得所以；当直线的斜率存在时，设其方程为，设联立，可得 由求根公式得（*）以为直径的圆过坐标原点，即即化简可得，将（*）代入可得，即 即，又将代入，可得 当且仅当，即时等号成立又由，；综上，得15、如图，椭圆经过点A（0，-1），且离心率为。（1）求椭圆E的方程；（2）若经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的亮点P,Q（均异于点A
14、），证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值。 【答案】（1） （2）见解析由已知，设则从而直线的斜率之和为16、如图，抛物线的焦点为，准线与x轴的交点为A，点C在抛物线E上，以C为圆心，为半径作圆，设圆C与准线交于不同的两点M，N.（1）若点C的纵坐标为2，求；（2）若，求圆C的半径.【答案】（1）2 （2）由x=-1，得.设，则由，得，所以，解得，此时.所以圆心C的坐标为或，从而，即圆C的半径为.17、已知顶点是坐标原点的抛物线的焦点在轴正半轴上，圆心在直线上的圆与轴相切，且关于点对称（1）求和的标准方程；（2）过点的直线与交于，与交于，求证：【答案】（1） （2）见解析所以的标准方程为因为与轴相切，故半径，所以的标准方程为所以所以，即
