1、专题复习（七）几何综合题类型1类比探究的几何综合题类型2与图形变换有关的几何综合题类型3与动点有关的几何综合题类型4与实际操作有关的几何综合题类型5其他类型的几何综合题类型1类比探究的几何综合题（2018苏州）（2018烟台）（2018东营）（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：如图1，在ABC中，点O在线段BC上，BAO=30，OAC=75，AO=，BO：CO=1:3，求AB的长经过社团成员讨论发现，过点B作BDAC，交AO的延长线于点D，通过构造ABD就可以解决问题（如图2）请回答：ADB= ，AB= （2）请参考以上解决思路，解决问题：如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与
2、BD相交于点O，ACAD，AO=，ABC=ACB=75， BO：OD=1:3，求DC的长(第24题图3)(第24题图2)(第24题图1)（2018长春）（2018陕西）（2018齐齐哈尔）（2018河南）（2018仙桃）问题：如图，在RtABC中，ABAC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为 ；探索：如图，在RtABC与RtADE中，ABAC，ADAE，将ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；应用：如图，在四边形ABCD中，ABCACB
3、ADC45若BD9，CD3，求AD的长（2018襄阳）如图(1)，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GEBC，垂足为点E，GFCD， 垂足为点F(1)证明与推断：求证：四边形CEGF是正方形；推断：的值为 ；(2)探究与证明：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转角(045)，如图(2)所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；(3)拓展与运用正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图(3)所示，延长CG交AD于点H若AG=6，GH=2，则BC= （2018淮安）（2018咸宁）（2018黄石）在ABC中，E、F分别为线段AB、AC上的点（不与A、B、C重
4、合）.（1）如图1，若EFBC，求证：（2）如图2，若EF不与BC平行，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；（3）如图3，若EF上一点G恰为ABC的重心，,求的值.（2018山西）（2018盐城）【发现】如图，已知等边，将直角三角形的角顶点任意放在边上（点不与点、重合），使两边分别交线段、于点、.（1）若，则_；（2）求证：.【思考】若将图中的三角板的顶点在边上移动，保持三角板与、的两个交点、都存在，连接，如图所示.问点是否存在某一位置，使平分且平分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【探索】如图，在等腰中，点为边的中点，将三角形透明纸板的一个顶点放在点处（其中），使两条边分别交边、
5、于点、（点、均不与的顶点重合），连接.设，则与的周长之比为_（用含的表达式表示）.（2018绍兴）（2018达州）（2018菏泽）（2018扬州）问题呈现如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点、和、，与相交于点，求的值.方法归纳求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形.观察发现问题中不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题.比如连接格点、，可得，则，连接，那么就变换到中.问题解决（1）直接写出图1中的值为_；（2）如图2，在边长为1的正方形网格中，与相交于点，求的值；思维拓展（3）如图3，点在上，且，延长到，使，连接交的延长线于点，用上述方法构
6、造网格求的度数.（2018常德）已知正方形中与交于点，点在线段上，作直线交直线于,过作于,设直线交于.（1）如图14，当在线段上时，求证：；（2）如图15，当在线段上，连接,当时，求证：；（3）在图16，当在线段上，连接,当时，求证：.（2018滨州）（2018湖州）（2018自贡）如图，已知,在的平分线上有一点,将一个120角的顶点与点重合，它的两条边分别与直线相交于点 .当绕点旋转到与垂直时（如图1），请猜想与的数量关系，并说明理由；当绕点旋转到与不垂直时，到达图2的位置，中的结论是否成立？并说明理由；当绕点旋转到与的反向延长线相交时，上述结论是否成立？请在图3中画出图形，若成立，请给于证
7、明；若不成立，线段与之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.（2018嘉兴、舟山）.（2018淄博）（1）操作发现：如图，小明画了一个等腰三角形，其中，在的外侧分别以为腰作了两个等腰直角三角形，分别取，的中点，连接.小明发现了：线段与的数量关系是 ；位置关系是 .（2）类比思考：如图，小明在此基础上进行了深入思考.把等腰三角形换为一般的锐角三角形，其中，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由.（3）深入研究：如图，小明在（2）的基础上，又作了进一步的探究.向的内侧分别作等腰直角三角形，其它条件不变，试判断的形状，并给与证明.类型2与图形变换有关的几何综合题（2018宜昌
8、）在矩形中，是边上一点，把沿直线折叠，顶点的对应点是点，过点作，垂足为且在上，交于点.(1)如图1，若点是的中点，求证:；(2) 如图2，求证: ；当，且时，求的值；当时，求的值.图1 图2 图2备用图23.(1)证明：在矩形中，,如图1，又，图1,(2)如图2，图2在矩形中，,沿折叠得到,当时，,又,设，则，解得，,由折叠得，,设， 则在中，,若,解法一：连接，（如图3）,四边形是平行四边形,平行四边形是菱形,解法二：如图2，,又,由得,解法三：（如图4）过点作，垂足为图4（2018邵阳）（2018永州）（2018无锡）（2018包头）（2018赤峰）（2018昆明）（2018岳阳）（201
9、8宿迁）（2018绵阳）（2018南充）（2018徐州）类型3与动点有关的几何综合题（2018吉林）（2018黑龙江龙东）（2018黑龙江龙东）（2018广东）已知RtOAB，OAB=90o，ABO=30o，斜边OB=4，将RtOAB绕点O顺时针旋转60o，如图25-1图，连接BC.（1）填空：OBC=_o；（2）如图25-1图，连接AC，作OPAC，垂足为P，求OP的长度；（3）如图25-2图，点M、N同时从点O出发，在OCB边上运动，M沿OCB路径匀速运动，N沿OBC路径匀速运动，当两点相遇时运动停止.已知点M的运动速度为1.5单位/秒，点N的运动速度为1单位/秒.设运动时间为x秒，OMN
10、的面积为y，求当x为何值时y取得最大值？最大值为多少？（结果可保留根号）（2018衡阳）（2018黔东南）如图，已知矩形，动点从点出发，以的速度向点运动，直到点为止；动点同时从点出发，以的速度向点运动，与点同时结束运动.（1）点到达终点的运动时间是_，此时点的运动距离是_；（2）当运动时间为时，、两点的距离为_；（3）请你计算出发多久时，点和点之间的距离是；（4）如图，以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，长为单位长度建立平面直角坐标系，连结，与相交于点，若双曲线过点，问的值是否会变化？若会变化，说明理由；若不会变化，请求出的值.（2018青岛）已知：如图，四边形，动点从点开始沿边匀速运
11、动，动点从点开始沿边匀速运动，它们的运动速度均为.点和点同时出发，以为边作平行四边形，设运动的时间为，.根据题意解答下列问题：（1）用含的代数式表示；（2）设四边形的面积为，求与的函数关系式；（3）当时，求的值；（4）在运动过程中，是否存在某一时刻，使点在的平分线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.（2018广州）如图12，在四边形ABCD中，B=60，D=30，AB=BC.(1)求A+C的度数（2）连接BD,探究AD,BD,CD三者之间的数量关系，并说明理由。（3）若AB=1，点E在四边形ABCD内部运动，且满足,求点E运动路径的长度。（2018温州）（2018江西）（2018潍坊）
12、类型4与实际操作有关的几何综合题（2018徐州）如图1，一副直角三角板满足ABBC，ACDE，ABCDEF90，EDF30【操作】将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q【探究一】在旋转过程中，（1） 如图2，当时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明.（2） 如图3，当时EP与EQ满足怎样的数量关系？，并说明理由.（3） 根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当时，EP与EQ满足的数量关系式为_,其中的取值范围是_(直接写出结论，不必证明)【探究二】若，AC30cm，连续PQ，设EPQ的面积为
13、S(cm2)，在旋转过程中：（1） S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由.（2） 随着S取不同的值，对应EPQ的个数有哪些变化？不出相应S值的取值范围.（2018成都）（2018枣庄）（2018德州）类型5其他类型的几何综合题（2018宁波）（2018安徽）如图1,RtABC中,ACB=90，点D为边AC上一点，DEAB于点E，点M为BD中点，CM的延长线交AB于点F.（1）求证:CM=EM；（2）若BAC=50,求EMF的大小；（3）如图2,若DAECEM,点N为CM的中点,求证:ANEM.17. （1）证明：M为BD中点RtDCB中，MC=BDRtDEB
14、中，EM=BDMC=ME（2）BAC=50ADE=40CM=MBMCB=CBMCMD=MCB+CBM=2CBM同理，DME=2EBMCME=2CBA=80EMF=180-80=100（3）同（2）中理可得CBA=45CAB=ADE=45DAECEMDE=CM=ME=BD=DM，ECM=45DEM等边EDM=60MBE=30MCB+ACE=45CBM+MBE=45ACE=MBE=30ACM=ACE+ECM=75连接AM，AE=EM=MBMEB=EBM=30AME=MEB=15CME=90CMA=90-15=75=ACMAC=AMN为CM中点ANCMCMEMANCM（2018金华、丽水）在RtAB
15、C中，ACB=90，AC=12.点D在直线CB上，以CA,CD为边作矩形ACDE,直线AB与直线CE,DE的交点分别为F,G.（1）如图，点D在线段CB上，四边形ACDE是正方形.若点G为DE中点，求FG的长.若DG=GF，求BC的长.（2）已知BC=9，是否存在点D,使得DFG是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在，试说明理由.ABDCFGE第24题图 （2018金华（丽水）在RtABC中，ACB=90，AC=12.点D在直线CB上，以CA,CD为边作矩形ACDE,直线AB与直线CE,DE的交点分别为F,G.（1）如图，点D在线段CB上，四边形ACDE是正方形.若点G为DE中点，求
16、FG的长.若DG=GF，求BC的长.（2）已知BC=9，是否存在点D,使得DFG是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在，试说明理由.(2018眉山）如图，在四边形ABCD中，ACBD于点E，AB=AC=BD，点M为BC中点，N为线段AM上的点，且MB=MN.（1）求证：BN平分ABE；（2）若BD=1，连结DN，当四边形DNBC为平行四边形时，求线段BC的长；（3）如图，若点F为AB的中点，连结FN、FM，求证：MFNBDC.(2018泰安)（2018威海）如图，在四边形中，垂足分别为，点分别为的中点，连接.(1)如图，当，时，求的值；(2)若，则可求出图中哪些线段的长？写出解答过程
17、；(3)连接，试证明与全等；(4)在(3)的条件下，图中还有哪些其它的全等三角形？请直接写出.解：(1)分别是的中点，.四边形是平行四边形.又.平行四边形是矩形.又，即.矩形为正方形.，(AAS)，.，.(2)可求线段的长.由(1)知，四边形为矩形，即，.，.，.(3)，.与都是直角三角形.分别是中点.，.，.，.，.，.(SAS).(4).（2018武汉）在ABC中，ABC90、(1) 如图1，分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为M、N，求证：ABMBCN(2) 如图2，P是边BC上一点，BAPC，tanPAC，求tanC的值(3) 如图3，D是边CA延长线上一点，AEAB，DEB90，sinBAC，直接写出tanCEB的值 （2018贵阳）（2018哈尔滨）(2018沈阳)
