1、2021年安徽省安庆市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1已知集合Ax|x2x60，Bx|log2（x1）2，则AB（）A（2，3）B（3，5）C（1，3）D（2，1）2已知复数z满足i，则|z|（）AB5C2D43已知a2，blog37，c，则a，b，c的大小关系（）AacbBbacCcabDcba4二项式的展开式的常数项为（）A20B20C160D1605向量（2，1），（3，4），（3m1，12m），若（+2），则实数m等于（）A1BCD26数列an是各项均为正数的等比数列，3a2是a3与2a4的等差中项，则an的公比等于（）A2BC3D7为了得到函数g（x）sin2xc
2、os2x的图象，只需将f（x）2sin（2x）的图象（）A向右平移个单位B向左平移个单位C向右平移个单位D向左平移个单位8已知抛物线yx2上的动点P到直线l：y3距离为d，A点坐标为（2，0），则|PA|+d的最小值等于（）A4B2+C2D3+9蒙特卡洛算法是以概率和统计的理论、方法为基础的一种计算方法，将所求解的问题同一定的概率模型相联系；用均匀投点实现统计模拟和抽样，以获得问题的近似解，故又称统计模拟法或统计实验法，现设计一个实验计算圆周率的近似值，向两直角边分别为6和8的直角三角形中均匀投点40个，落入其内切圆中的点有21个，则圆周率（）ABCD10双曲线C：1（a，b0），圆M：（x+
3、2）2+y23与双曲线C的一条渐近线相交所得弦长为2，则双曲线的离心率等于（）ABCD11如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F是线段A1C1上的两个动点，且EF长为定值，下列结论中不正确的是（）ABDCEBBD面CEFCBEF和CEF的面积相等D三棱锥BCEF的体积为定值12已知f（x）是定义在（，0）（0，+）上的奇函数，f（x）是f（x）的导函数，f（1）0，且满足0，则不等式（x1）f（x）0的解集为（）A（1，+）B（0，1）C（，1）D（，0）（1，+）二、填空题（共4小题）.13已知实数x，y满足，则z2x+y1的最大值为 14函数f（x）（x+1）ex1+a在（1，f（
4、1）处的切线经过点（3，7），则实数a 15已知圆C：x2+y22x+2y+10，点P是直线xy+10的一动点，AB是圆C的一条直径，则的最小值等于 16数列an满足anan1（n2，且nN*），a12，对于任意nN*有an恒成立，则的取值范围是 三、解答题(共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知ccosA+（a+2b）cosC0（1）求C的大小；（2）ABC的面积等于4，D为BC边的中点，当中线AD长最短时，求AB边长18在斜三棱柱ABCABC中，ABC是边长为2的正三角形，侧棱AA2，顶点A在面ABC的射影为BC边的中点
5、O（1）求证：面BCCB面AOA；（2）求面ABC与面ABC所成锐二面角的余弦值19已知椭圆C：1（ab0），过椭圆左焦点F的直线x4y+0与椭圆C在第一象限交于点M，三角形MFO的面积为（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点M作直线l垂直于x轴，直线MA、MB交椭圆分别于A、B两点，且两直线关于直线l对称，求证：直线AB的斜率为定值20某商场为庆祝店庆十周年，准备举办一次有奖促销活动，若顾客一次消费达到400元，则可参加一次抽奖活动，主办方设计了两种抽奖方案：方案：一个不透明的盒子中装有12个质地均匀且大小相同的小球，其中3个红球，9个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球，则顾
6、客获得80元的返金券，若抽到白球，则获得20元的返金券，且顾客有放回地抽取3次方案：一个不透明的盒子中装有12个质地均匀且大小相同的小球，其中3个红球，9个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球，则顾客获得100元的返金券，若抽到白球，则未中奖，且顾客有放回地抽取3次（1）现有一位顾客消费了420元，获得一次抽奖机会，试求这位顾客获得180元返金券的概率；（2）如果某顾客获得一次抽奖机会那么他选择哪种方案更划算21函数f（x）ex2axa（1）讨论函数f（x）的极值；（2）当a0时，求函数f（x）的零点个数请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做
7、，则按所做的第一个题目计分.选修4-4：坐标系与参数方程选讲22在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos（）（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（2）直线l与曲线C交于M、N两点，设点P的坐标为（0，2），求|PM|2+|PN|2的值选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|2xa|x+1|（1）当a2时，求不等式f（x）1的解集；（2）若a0，不等式f（x）+20恒成立，求实数a的取值范围参考答案一、选择题（共12小题）.1已知集合Ax|x2x60，Bx|log2（x1）2，则AB（）A（2，
8、3）B（3，5）C（1，3）D（2，1）解：Ax|2x3，Bx|0x14x|1x5，AB（1，3）故选：C2已知复数z满足i，则|z|（）AB5C2D4解：复数z满足i，2z34izi（2+i）z3+4i，z，|z|,故选：A3已知a2，blog37，c，则a，b，c的大小关系（）AacbBbacCcabDcba解：a22log54log516（1，2），0blog37log331，c2，cab故选：C4二项式的展开式的常数项为（）A20B20C160D160解：二项式（2x）6的展开式的通项公式为Tr+1（1）r26rx62r，令62r0，求得r3，可得展开式中的常数项是8160，故选：D5
9、向量（2，1），（3，4），（3m1，12m），若（+2），则实数m等于（）A1BCD2解：根据题意，（3，4），（3m1，12m），则+2（3m7，92m），若（+2），则（+2）2（3m7）+（92m）4m50，解可得：m，故选：B6数列an是各项均为正数的等比数列，3a2是a3与2a4的等差中项，则an的公比等于（）A2BC3D解：设正数等比数列an的公比为q，因为3a2是a3与2a4的等差中项，所以6a2a3+2a4，即6a1qa1q2+2a1q3，所以2q2+q60，解得q或q2（舍）故选：B7为了得到函数g（x）sin2xcos2x的图象，只需将f（x）2sin（2x）的图象（）A
10、向右平移个单位B向左平移个单位C向右平移个单位D向左平移个单位解：函数g（x）sin2xcos2x要得到g（x）的函数图像，只需将f（x）2sin（2x）的图象向右平移个单位即可，故选：C8已知抛物线yx2上的动点P到直线l：y3距离为d，A点坐标为（2，0），则|PA|+d的最小值等于（）A4B2+C2D3+【解答】解析：抛物线x24y的焦点F(0,1)，d|PE|+2|PF|+2,|PF|+|PA|PA|,从而|PA|+d|PA|+|PF|+2+2所以|PA|+d的最小值等于2+，故选：B9蒙特卡洛算法是以概率和统计的理论、方法为基础的一种计算方法，将所求解的问题同一定的概率模型相联系；用
11、均匀投点实现统计模拟和抽样，以获得问题的近似解，故又称统计模拟法或统计实验法，现设计一个实验计算圆周率的近似值，向两直角边分别为6和8的直角三角形中均匀投点40个，落入其内切圆中的点有21个，则圆周率（）ABCD解：由勾股定理可得斜边长为c10，设三角形内切圆的半径为r，由等面积法可得（8+6+10）r86，解得r2，所以S8624，S圆224，由题意知，解得，所以圆周率故选：A10双曲线C：1（a，b0），圆M：（x+2）2+y23与双曲线C的一条渐近线相交所得弦长为2，则双曲线的离心率等于（）ABCD解：双曲线的一条渐近线bxay0，条件知圆心(2,0)到渐近线的距离等于，从而，所以故选：
12、A11如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F是线段A1C1上的两个动点，且EF长为定值，下列结论中不正确的是（）ABDCEBBD面CEFCBEF和CEF的面积相等D三棱锥BCEF的体积为定值解：在正方体ABCDA1B1C1D1中，BD平面ACC1A1，因为CE平面ACC1A1，故BDCE，故选项A正确；因为平面CEF与平面ACC1A1是同一个平面，故BD面CEF，故选项B正确；点B到EF的距离为BA1C1的高，点C到EF的距离为CC1，所以BEF的面积大于CEF的面积，故选项C错误；点B到平面CEF的距离为定值的长，CEF的面积也为定值，故三棱锥BCEF的体积为定值，故选项D正确故选：
13、C12已知f（x）是定义在（，0）（0，+）上的奇函数，f（x）是f（x）的导函数，f（1）0，且满足0，则不等式（x1）f（x）0的解集为（）A（1，+）B（0，1）C（，1）D（，0）（1，+）解：f(x)lnxf(x)+f(x)lnx0,g(x)f(x)lnx在（0，+）上为减函数，而g(1)0,在(0,1)上，lnx0,g(x)0,在(1,+)上，lnx0,g(x)0,而f(1)0,在(0,+)上，f(x)0,又f(x)是奇函数，在（，0）上，f(x）0,不等式(x1)f(x)0等价于或,解得：x1或x0,故不等式的解集是（，0）（1，+），故选：D二、填空题(共4小题，每题5分，共2
14、0分)13已知实数x，y满足，则z2x+y1的最大值为3解：不等式组所表示区域为图中阴影区域，联立，解得A（1，2），由z2x+y1，得y2x+z+1，由图可知，当直线y2x+z+1过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为3故答案为：314函数f（x）（x+1）ex1+a在（1，f（1）处的切线经过点（3，7），则实数a1解：函数f（x）（x+1）ex1+a，f（x）ex1+（x+1）ex1，在点（1，f（1）的处的切线斜率为f（1）3，切线方程为：y73（x3），即3xy20，又f（1）1，可得f（1）（1+1）e11+a1，a1，故答案为：115已知圆C：x2+y22x+2y+10，点
15、P是直线xy+10的一动点，AB是圆C的一条直径，则的最小值等于解：由x2+y22x+2y+10，得（x1）2+（y+1）21，可得圆C的圆心坐标为C（1，1），半径r1，由（+）（+）+（）+，即为d2r2，其中d为圆心到直线上点的距离，r为半径，因此当d取最小值时，的取值最小，可知d的最小值为，故的最小值为故答案为：16数列an满足anan1（n2，且nN*），a12，对于任意nN*有an恒成立，则的取值范围是,+)解：因为anan1（n2，且nN*），a12，所以ana1+（a2a1）+（a3a2）+（an1an2）+（anan1）2+（）+（）+（）+（），所以数列an为递增数列，当n
16、+时，0，所以an，因为对于任意nN*有an恒成立，所以，即的取值范围是,+)故答案为：,+)三、解答题(共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知ccosA+（a+2b）cosC0（1）求C的大小；（2）ABC的面积等于4，D为BC边的中点，当中线AD长最短时，求AB边长解：（1）由ccosA+（a+2b）cosC0，得sinCcosA+（sinA+2sinB）cosC0，即sin（A+C）2sinBcosC，从而，而C（0，180），可得C120（2），ab16，当且仅当，即时，等号成立，此时，故18在斜三棱柱ABCABC中
17、，ABC是边长为2的正三角形，侧棱AA2，顶点A在面ABC的射影为BC边的中点O（1）求证：面BCCB面AOA；（2）求面ABC与面ABC所成锐二面角的余弦值【解答】（1）证明：ABAC，且O为BC中点，AOBC，又AO面ABC，所以AOBC，AO与AO在面AAO内且相交于点O，故BC面AAO，而BC面BCCB，从而面BCCB面AAO（2）解：以OA为x轴，OB为y轴，OA为z轴建立空间直角坐标系，如图所示：因为，所以AO3，由条件可得，从而，设面ABC的法向量为，则从而可得，因为AO面ABC，所以 面ABC的一个法向量，设面ABC与面ABC所成锐二面角为，则，故面ABC与面ABC所成锐二面角
18、的余弦值为19已知椭圆C：1（ab0），过椭圆左焦点F的直线x4y+0与椭圆C在第一象限交于点M，三角形MFO的面积为（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点M作直线l垂直于x轴，直线MA、MB交椭圆分别于A、B两点，且两直线关于直线l对称，求证：直线AB的斜率为定值解：（1）直线过左焦点F，所以，又由，可知，从而椭圆经过点，由椭圆定义知4，即a2，故椭圆的方程为（2）证明：由条件知，直线MA、MB斜率存在，且两直线斜率互为相反数，设直线交椭圆于点A（x1，y1），直线交椭圆于点B（x2，y2），由得，从而有，即，故，同理可得，即证直线AB的斜率为定值，且为20某商场为庆祝店庆十周年，准备举办一次
19、有奖促销活动，若顾客一次消费达到400元，则可参加一次抽奖活动，主办方设计了两种抽奖方案：方案：一个不透明的盒子中装有12个质地均匀且大小相同的小球，其中3个红球，9个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球，则顾客获得80元的返金券，若抽到白球，则获得20元的返金券，且顾客有放回地抽取3次方案：一个不透明的盒子中装有12个质地均匀且大小相同的小球，其中3个红球，9个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球，则顾客获得100元的返金券，若抽到白球，则未中奖，且顾客有放回地抽取3次（1）现有一位顾客消费了420元，获得一次抽奖机会，试求这位顾客获得180元返金券的概率；（
20、2）如果某顾客获得一次抽奖机会那么他选择哪种方案更划算解：（1）在一次抽奖机会的情况下，要想获得180元返金券，只能选择方案一，且摸到两次红球，一次白球，而每一次摸到红球的概率为 设“这位顾客获得180元返金券”为事件A，则故这位顾客均获得180元返金券的概率 （2）若选择抽奖方案，则每一次摸到红球的概率为，每一次摸到白球的概率为设获得返金券金额为X元，则X可能的取值为60，120，180，240则，所以选择抽奖方案，该顾客获得返金券金额的数学期望为（元） 若选择抽奖方案，设三次摸球的过程中，摸到红球的次数为Y，最终获得返金券的金额为Z元，则，故选择方案，该顾客获得返金券金额的数学期望为（元）
21、从而有E（X）E（Z），所以应选择方案更划算 21函数f（x）ex2axa（1）讨论函数f（x）的极值；（2）当a0时，求函数f（x）的零点个数解：（1）f（x）ex2a，当a0时，f（x）ex2a0，f（x）在R上为单调增函数，无极值，当a0时，由f（x）ex2a0，xln（2a），f（x）在（ln（2a），+）上为单调增函数，由f（x）ex2a0，xln（2a），f（x）在（，ln（2a）上为单调减函数，所以，f极小值f（ln（2a）a2aln（2a），无极大值综上所述：当a0时，无极值，当a0时，f极小值f（ln（2a）a2aln（2a），无极大值；（2）由（1）知当a0时，f（x）在（
22、ln（2a），+）上为单调增函数，在（，ln（2a）上为单调减函数，f极小值f（ln（2a）a2aln（2a），而f（x）exa（2x+1），当x时，f（x）+，当x+时，f（x）+；当a2aln（2a）0，即时，f（x）无零点，当a2aln（2a）0，即时，f（x）有1个零点，当a2aln（2a）0，即时，f（x）有2个零点，综上：当时，f（x）无零点，当时，f（x）有1个零点，当时，f（x）有2个零点请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.选修4-4：坐标系与参数方程选讲22在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以
23、坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos（）（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（2）直线l与曲线C交于M、N两点，设点P的坐标为（0，2），求|PM|2+|PN|2的值解：（1）曲线C的参数方程为（为参数），转换为直角坐标方程为（x2）2+（y1）24直线l的极坐标方程为cos（）整理得，根据转换为直角坐标方程为：xy20（2）把直线l的参数方程转换为：，代入（x2）2+（y1）24，得到 （t1和t2为M和N对应的参数），故 ，t1t29，故|PA|2+|PB|232选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|2xa|x+1|（1）当a2时，求不等式f（x）1的解集；（2）若a0，不等式f（x）+20恒成立，求实数a的取值范围解：（1）当a2时，f（x）|2x2|x+1|，即，当x1时，f（x）1即x31，从而有1x4；当1x1时，f（x）1即13x1，从而有0x1；当x1时，f（x）1即3x1，此时为；综上所述：x（0，4）；（2）若a0，由函数性质可知，所以f（x）minf（）1，由题意可得f（x）min2，即，从而得a2，又a0，故a（0，2）
