1、 期中数学试卷 题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知A=a，1，B=2，a，且AB=1，2，4，则AB=（）A. 1，2B. 2，4C. 4D. 2. 下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（）A. y=x2B. y=-log2xC. y=3xD. y=x3+x3. 是第三象限角，且sin，则tan=（）A. B. C. D. 4. 已知向量，的夹角为60，且|=2，|=1，则|=（）A. 2B. C. 2D. 25. ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=60，a=4，b=4，则B=（）A. 45或135B. 135C. 45D
2、. 以上都不对6. 在a，b中插入n个数，使它们和a、b组成等差数列a，a1，a2，an，b，则a1+a2+an=（）A. n（a+b）B. C. D. 7. 若，则一定有（ ）A. B. C. D. 8. 在等比数列an中，若a1-a5=-，前四项的和S4=-5，则a4=（）A. 1B. -1C. D. 9. 已知函数f（x）=log2（x2-ax+3a）在2，+）上是增函数，则a的取值范围是（）A. （-，4B. （-，2C. （-4，4D. （-4，210. 圆锥的高h和底面半径r之比h：r=2：1，且圆锥的体积V=18，则圆锥的表面积为（）A. 18B. 9（1+2）C. 9D. 9（
3、1+）11. 函数f（x）=（）cosx的图象大致为（）A. B. C. D. 12. 设a+b=2，b0，则+的最小值是（）A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在等比数列an中，a2a3a4=8，a7=8，则a1=_14. 已知tan=2，则=_15. 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，M为B1C1中点，连接A1B，D1M，则异面直线A1B和D1M所成角的余弦值为_16. 在ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，M是BC的中点，BM=2，AM=c-b，ABC面积的最大值为_三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知A
4、=x|-x2+40，B=x|x2-2x-30，求AB及AB18. 已知在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，2ccosB=2a+b（1）求角C的值；（2）若a=2b，求tanA19. 北京某附属中学为了改善学生的住宿条件，决定在学校附近修建学生宿舍，学校总务办公室用1000万元从政府购得一块廉价土地，该土地可以建造每层1000平方米的楼房，楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高0.02万元，已知建筑第5层楼房时，每平方米建筑费用为0.8万元（1）若学生宿舍建筑为x层楼时，该楼房综合费用为y万元（综合费用是建筑费用与购地费用之和），写出y=f（
5、x）的表达式；（2）为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低，学校应把楼层建成几层？此时平均综合费用为每平方米多少万元？20. 已知f（x）=2sinxcosx+（cos2x-sin2x）（1）求函数y=f（x）的最小正周期和对称轴方程；（2）若x0，求y=f（x）的值域21. 已知等比数列an的前n项和为Sn，公比q0，S2=2a2-2，S3=a4-2（1）求等比数列an的通项公式；（2）设bn=log2an，求的前n项和Tn22. 已知函数f（x）=ax2+bx+c（abc）的图象上有两点A（m1，f（m1），B（m2，f（m2）（m1m20函数f（x）满足f（1）=0，且（a+f（m1）（
6、a+f（m2）=0（1）求证：-2；（2）求证：b0；（3）能否保证f（m1+3）和f（m2+3）中至少有一个为正数？请证明你的结论答案和解析1.【答案】C【解析】解：A=a，1，B=2，a，且AB=1，2，4；a=4；AB=4故选：C根据条件可求出a=4，然后进行交集的运算即可考查列举法表示集合的定义，以及交集、并集的运算2.【答案】D【解析】解：由题意，可知：对于A：很明显y=x2是偶函数，所以排除A；对于B：y=-log2x在其定义域内是减函数，所以排除B；对于C：y=3x不是奇函数，所以排除C；对于D：y=x3+x，y=3x2+10，y=x3+x是增函数，f（-x）=-f（x），y=x
7、3+x是奇函数故选：D本题可根据各种函数的奇偶性及单调性采用排除法逐个判别最终能得出正确选项本题主要考查二次函数、对数函数、指数函数及三次函数的奇偶性和单调性，本题属基础题3.【答案】B【解析】解：因为是第三象限角，且sin，所以，所以故选：B利用同角三角函数的基本关系可得结果本题考查了同角三角函数的基本关系，属基础题4.【答案】D【解析】解：根据已知条件，=4+4+4=12；故选：D由已知条件及向量数量积的运算即可求出，从而便求出考查数量积的运算及数量积的计算公式，求向量的长度先求的方法5.【答案】C【解析】解：A=60，a=4，b=4，由正弦定理=得：sinB=，ab，AB，则B=45故选
8、：C由A的度数求出sinA的值，再由a与b的值，利用正弦定理求出sinB的值，由b小于a，得到B小于A，即可求出B的度数此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键6.【答案】B【解析】解：依题意，设等差数列a，a1，a2，an，b，记为cn，其前n项和为Sn，则c1=a，cn+2=b，所以a1+a2+an=Sn+2-（a+b）=，故选：B在a，b中插入n个数，使它们和a、b组成等差数列，则第一项为a，第n+2项为b，根据等差数列的前n项和公式求解即可本题考查了等差数列的前n项和，等差数列的性质，属于基础题7.【答案】D【解析】【分析】本题考查不等式比较大小，特值
9、法有效，倒数计算正确利用特例法，判断选项即可【解答】解：不妨令a=3，b=1，c=-3，d=-1，则，A、B不正确；，=-，C不正确，D正确解法二：cd0，-c-d0，ab0，-ac-bd，故选：D8.【答案】A【解析】解：根据题意，设等比数列an的公比为q，若a1-a5=-，即a1（1-q4）=-，若其前四项的和S4=-5，则有S4=-5，解可得q=-，又由a1（1-q4）=-，则a1=-8，则a4=a1q3=（-8）（-）3=1；故选：A根据题意，设等比数列an的公比为q，由a1-a5=-分析可得a1（1-q4）=-，结合等比数列的前n项和公式可得S4=-5，解可得q的值，进而可得a1=-
10、8，结合等比数列的通项公式计算可得答案本题考查等比数列的性质以及前n项和公式，属于基础题9.【答案】C【解析】【分析】本题考查复合函数的单调性，二次函数的性质，对数函数的单调区间，属于简单题若函数f（x）=log2（x2-ax+3a）在2，+）上是增函数，则x2-ax+3a0在2，+）恒成立,结合二次函数的单调性，得a的不等式求解即可【解答】解：若函数f（x）=log2（x2-ax+3a）在2，+）上是增函数，则函数g（x）=x2-ax+3a在2,+)上为增函数，且x2，+）上，x2-ax+3a0恒成立，所以，g（2）=4+a0，解得-4a4故选C10.【答案】D【解析】解：圆锥的高h和底面半
11、径r之比h：r=2：1，h=2r，又圆锥的体积V=18，即r2h=18，解得r=3；h=6，母线长为l=3，则圆锥的表面积为S=rl+r2=33+32=9（1+）故选：D根据圆锥的体积求出底面圆的半径r和高h，再求出母线长l，即可计算圆锥的表面积本题考查了圆锥的体积与表面积计算问题，是基础题11.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数的图象的判断与应用，考查函数的零点以及特殊值的计算，利用函数的零点排除选项，然后通过特殊点的位置判断即可，属于中档题【解答】解：函数f（x）=（）cosx，当x=时，是函数的一个零点，所以排除A，B；当x（0，1）时，cosx0，0，函数f（x）=（）cosx0，
12、函数的图象在x轴下方；排除D；故选C12.【答案】D【解析】【分析】本题考查了基本不等式的应用，需要根据条件和所求式子的特点，进行变形凑出定值再进行求解，考查了转化和分类讨论的能力由题意得=1代入所求的式子，进行化简后，再对部分式子利用基本不等式求出范围，再由a的范围求出式子的最小值【解答】解：a+b=2，=1，+=（+）=+，b0，|a|0，+1（当且仅当b2=4a2时取等号），+1，故当a0时，+的最小值为故选：D13.【答案】1【解析】解：根据题意，等比数列an中，其公比为q，a2a3a4=8，则（a3）3=8，解可得a3=2，又由a7=8，则有q4=4，则q2=2，则a1=1；故答案为
13、：1根据题意，由等比数列的性质可得（a3）3=8，解可得a3=2，又由q4=，计算可得q2的值，进而计算可得答案本题考查等比数列的性质以及应用，关键是求出等比数列的公比，属于基础题14.【答案】【解析】解：tan=2，则=故答案为：=$fractanalpha-32tanalpha+1，将tan=2代入求值即可本题考查了三角函数的化简求值，属基础题15.【答案】【解析】解：如图，连接CD1，CM，由A1D1BC，A1D1=BC，可得四边形A1BCD1为平行四边形，则A1BCD1，CD1M为异面直线A1B和D1M所成角，由正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，M为B1C1中点，得，在CMD
14、1中，由余弦定理可得，cosCD1M=异面直线A1B和D1M所成角的余弦值为故答案为：连接CD1，CM，由A1D1BC，A1D1=BC，可得四边形A1BCD1为平行四边形，则A1BCD1，可得CD1M为异面直线A1B和D1M所成角，再由已知求出CD1M的三边长，由余弦定理求解本题考查异面直线所成角及其求法，考查余弦定理的应用，是基础的计算题16.【答案】2【解析】解：在ABM中，由余弦定理得：cosB=在ABC中，由余弦定理得：cosB=即b2+c2=4bc-8cosA=，sinA=S=sinA=bc=由cosA=（-1，1）可得bc（4，12）当bc=8时，S取得最大值2故答案为2在ABM和
15、ABC中分别使用余弦定理得出bc的关系，求出cosA，sinA，代入面积公式求出最大值本题考查了余弦定理得应用，根据余弦定理得出bc的关系是解题关键17.【答案】解：A=x|x-2，或x2，B=x|-1x3；AB=x|2x3，AB=x|x-2，或x-1【解析】可求出集合A，B，然后进行交集、并集的运算即可考查描述法表示集合的定义，一元二次不等式的解法，以及交集、并集的运算18.【答案】解（1）因为2sinCcosB=2sinA+sinB2sinCcosB=2（sinBcosC+cosBsinC）+sinBcosC=-，C是三角形内角，C=120（2）根据余弦定理c=b根据正弦定理=，所以sin
16、A=sinC=cosA=所以tanA=【解析】（1）将已知条件边化角可得；（2）先根据余弦定理求得c=b，再根据正弦定理求得sinA=，然后根据同角公式求得正切值本题考查了三角形中的几何计算，属中档题19.【答案】解：（1）由建筑第5层楼房时，每平方米建筑费用为0.8万元，且楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高0.02万元，可得建筑第1层楼房每平方米建筑费用为：0.72万元建筑第1层楼房建筑费用为：0.721000=720（万元）楼房每升高一层，整层楼建筑费用提高：0.021000=20（万元）建筑第x层楼时，该楼房综合费用为：y=f（x）=720x+1000=10x2+710x+100
17、0y=f（x）=10x2+710x+1000（x1，xZ）；（2）设该楼房每平方米的平均综合费用为g（x），则：g（x）=2=0.91，当且仅当，即x=10时，上式等号成立学校应把楼层建成10层，此时平均综合费用为每平方米0.91万元【解析】本题考查简单的数学建模思想方法，训练了等差数列前n项和的求法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题（1）由已知求出第1层楼房每平方米建筑费用为0.72万元，得到第1层楼房建筑费用，由楼房每升高一层，整层楼建筑费用提高20（万元），然后利用等差数列前n项和求建筑x层楼时的综合费用y=f（x）；（2）设楼房每平方米的平均综合费用为g（x），则g（x）=，然后利
18、用基本不等式求最值20.【答案】解：（1）f（x）=2sinxcosx+（cos2x-sin2x）=令，则f（x）的对称轴为，最小正周期；（2）当x0，时，因为y=sinx在单调递增，在单调递减，在取最大值，在取最小值，所以，所以f（x）-1，2【解析】（1）将f（x）化简，利用整体法求出f（x）的对称轴和周期即可；（2）根据正弦函数的单调性，求出f（x）的最大值和最小值即可本题考查了三角函数的图象与性质和三角函数的化简求值，属基础题21.【答案】解：（1）等比数列an的前n项和为Sn，公比q0，S2=2a2-2，S3=a4-2-，得a3=a4-2a2，则q2-q-2=0，又q0，所以q=2，
19、因为S2=2a2-2，所以a1+a2=2a2-2，所以a1=2，所以an=2n；（2）bn=log2an=log22n=n，=-，所以前n项和Tn=1-+-+-=1-=【解析】（1）由数列的递推式和等比数列的通项公式，解方程可得公比，由等比数列的求和可得首项，进而得到所求通项公式；（2）求得bn=log2an=log22n=n，=-，再由数列的裂项相消求和，化简可得所求和本题考查等比数列的通项公式和数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于基础题22.【答案】（1）证明：f（1）=a+b+c=0，且abc，所以a0，c0，因为b=-a-c，所以a-a-cc，所以，（2）因为（a+f（m1
20、）（a+f（m2）=0所以f（m1）=-a或f（m2）=-a，即m1或m2是方程f（x）=-a的一个实根，即ax2+bx+c+a=0的有根，所以=b2-4a（a+c）0，因为b=-a-c，所以b24a（a+c）=-4ab，即b（b+4a）0，即b（3a-c）0，因为3a-c0，所以b0（3）设f（x）=0的两根为x1，x2，显然其中一根为1，另一根为设f（x）=a（x-1）（x-），若f（m1）=-a，则a（m1-1）（m2-）=-a0所以，所以又函数f（x）在（1，+）上是增函数，所以f（m1+3）f（1）=0同理当f（m2）=-a时，f（m2+3）0所以f（m1+3），f（m2+3）中至少有一个是正数【解析】（1）由f（1）=0，且abc，可判断a0，c0且b=-a-c，所以a-a-cc，从而可证明；（2）由已知可知f（m1）=-a或f（m2）=-a，即m1或m2是方程f（x）=-a的一个实根，即ax2+bx+c+a=0的有根，结合二次方程的实根存在条件即可证；（3）由f（x）=0的两根中，其中一根为1，另一根为，结合二次方程的根的存在及二次函数的单调性可证本题主要考查了二次方程的根的存在及二次不等式的求解，二次函数性质的综合应用，属于中档试题
