1、2.22.2直接证明与间接证明直接证明与间接证明2.2.1 2.2.1 综合法和分析法综合法和分析法(1)(1)演绎推理是证明数学结论、建立数学体演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程系的重要思维过程.数学结论、证明思路的发现数学结论、证明思路的发现,主要靠合主要靠合情推理情推理.复习推推 理理合情推理合情推理（或然性推理）（或然性推理）演绎推理演绎推理（必然性推理）（必然性推理）归纳归纳(特殊到一般）特殊到一般）类比类比（特殊到特殊）（特殊到特殊）三段论三段论（一般到特殊）（一般到特殊）v合情推理得到的结论是不可靠的，需要证明。数学中证明的方法有哪些呢？间接证明（反证法）分析法综
2、合法直接证明证明的方法例例:已知已知a0,b0,a0,b0,求证求证a(ba(b2 2+c+c2 2)+b(c)+b(c2 2+a+a2 2)4abc4abc因为因为b b2 2+c+c2 2 2bc,a02bc,a0所以所以a(ba(b2 2+c+c2 2)2abc.2abc.又因为又因为c c2 2+b+b2 2 2bc,b02bc,b0所以所以b(cb(c2 2+a+a2 2)2abc.2abc.因此因此a(ba(b2 2+c+c2 2)+b(c)+b(c2 2+a+a2 2)4abc.4abc.证明证明:在数学证明中，我们经常从已知条件和某些在数学证明中，我们经常从已知条件和某些数学定
3、义、定理、公理、性质等出发通过推数学定义、定理、公理、性质等出发通过推理导出所要的结论。理导出所要的结论。利用已知条件和某些数学定义、公理、利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等定理等,经过一系列的推理论证经过一系列的推理论证,最后推最后推导出所要证明的结论成立导出所要证明的结论成立,这种证明方这种证明方法叫做法叫做综合法也叫顺推法综合法也叫顺推法用用P P表示已知条件、已有的定义、公理、表示已知条件、已有的定义、公理、定理等定理等,Q,Q表示所要证明的结论表示所要证明的结论.则综合法用框图表示为则综合法用框图表示为:1 1P PQ Q1 12 2Q QQ Q2 23 3Q QQ Qn nQ
4、 QQ Q1 1、综合法：、综合法：综合法是由一个个推理组成的综合法是由一个个推理组成的直接证明1 概念概念 直接从原命题的条件逐步推得命题成立直接从原命题的条件逐步推得命题成立2 直接证明的一般形式：直接证明的一般形式：本题结论已知定理已知公理已知定义本题条件例例1:1:如图如图,ABCABC在平面在平面外外,求证求证:P,Q,R:P,Q,R三点共线三点共线.,RACQBCPAB A AB BC CP PQ QR R v分析：立体几何中证明三点共线或三线共点一般分析：立体几何中证明三点共线或三线共点一般要用公理要用公理2 2。公理。公理2 2的内容是什么的内容是什么?v此题要证明三点共线，需
5、要说明这三点均在一个此题要证明三点共线，需要说明这三点均在一个平面上，则这三点一定在交线上。平面上，则这三点一定在交线上。.ACRBCQABPRQPRACQBCPAB，证明：证明：（1 1）（2 2）ABCRQP平面，）得由（2的公共点与平面是平面，因此ABCRQP三点共线，的交线上，即与平面在平面三点，有一条交线，所以因为两平面相交有且只RQPABCRQP222)(|21:,2babaSbCAaCBABCABC求证设中在例分析：由已知条件和结论我们联想到数量分析：由已知条件和结论我们联想到数量积定义和三解形的面积公式：积定义和三解形的面积公式：CCCabS2cos1sinsin21利用由数量
6、积定义和上公式结合结论探求证由数量积定义和上公式结合结论探求证明思路明思路证明：证明：babaCCbaSABC.cossin21，因为2222222222222).(41).141cos141sin41bababababaCbaCbaSABC（）（所以222).(21babaSABC于是例例3 3：在：在中，三个内角、对中，三个内角、对应的边分别为应的边分别为a a、b b、c c，且、成等，且、成等差数列，差数列，a a、b b、c c成等比数列，求证成等比数列，求证为等边三角形为等边三角形分析：把题中的文字语言转化为符号语分析：把题中的文字语言转化为符号语言：言：A+C=2BA+C=2B，
7、b b2 2=ac=ac由（由（1 1）联想到内角各能得到什么？）联想到内角各能得到什么？由（由（2 2）联想到三角形什么知识？余弦定理，）联想到三角形什么知识？余弦定理，二者联系起来能得到什么结论二者联系起来能得到什么结论证明：证明：由由A A，B B，C C成等差数列，有成等差数列，有 2B=A+C 2B=A+C CBAABCCBA的内角，所以为，因为由由，得，得3B由啊，由啊，a a，b b，c c成等比数列，有成等比数列，有acb 2由余弦定理及由余弦定理及，可得，可得accaBaccab22222cos2再由再由，得，得0222）即（caacacca因此，因此，a=ca=c从而有从而
8、有 A=CA=C由由，得，得3CBA.为等边三角形所以 ABC【巩固练习【巩固练习】abbaba16)sintan,sintan22cossincos122244 （：求证求证已知已知、求证：、求证：8)11)(11)(111,3 cbacbaRcba（求求证证：、已已知知的值。的值。求求两点。两点。、与抛物线交于与抛物线交于过焦点的弦过焦点的弦、已知抛物线、已知抛物线212122112),(),(,)0(24yyxxyxByxAppxy 5.设设 a 0，是是 R上的偶函数。上的偶函数。（1）求）求 a 的值；的值；（2）证明证明 f(x)在（在（0，）上是增函）上是增函数数xxeaaexf )(利用已知条件和某些数学定义、公理、利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等定理等,经过一系列的推理论证经过一系列的推理论证,最后推最后推导出所要证明的结论成立导出所要证明的结论成立,这种证明方这种证明方法叫做法叫做综合法综合法用用P P表示已知条件、已有的定义、公理、表示已知条件、已有的定义、公理、定理等定理等,Q,Q表示所要证明的结论表示所要证明的结论.则综合法用框图表示为则综合法用框图表示为:1 1P PQ Q1 12 2Q QQ Q2 23 3Q QQ Qn nQ QQ Q小结小结综合法的定义综合法的定义:50 150 1
