1、5 Hermite插值插值一、一、一般情形的埃尔米特（一般情形的埃尔米特（Hermite）插值问题插值问题二、二、特殊情形的埃尔米特（特殊情形的埃尔米特（Hermite）插值问题插值问题三、分段埃尔米特三次插值问题三、分段埃尔米特三次插值问题第五章第五章 2023-4-242 设函数 y=f(x)在区间a,b上有定义，且已知在点 上的值 ，若存在一个多项式 H(x)，使bxxxan10nyyy,100 1iiiH xf xyin ()()(,),成立，就称 H(x)为 f(x)的插值多项式插值多项式，这类问题称为代数代数插值问题插值问题。若还要求H(x)在各个节点 xi(i=0,1,n)处的导
2、数值等于给定的 f(x)的导数值mi，即0 1iiiHxfxmin ()()(,),则称为埃尔米特插值问题埃尔米特插值问题。H(x)的次数应该不超过2n+1.一、一、一般情形的埃尔米特插值问题一般情形的埃尔米特插值问题2023-4-24第五章 第五节 Hermite插值2构造插值基函数 ，使满足0 1(),()(,)jjxxjn00 10 (),(),(,)(),().jii jjijijii jxxi jnxx210()()(),nnjjjjjHxx yx m令则H2n+1(x)满足插值条件0 1iiiiH xy Hxmin,()()(,).2023-4-24第五章 第五节 Hermite插
3、值3由条件00 10 (),(),(,)(),().jii jjijijii jxxi jnxx构造出插值基函数2011 20 1njjjkjkkjxxxlxjnxx ()()()(,),20 1jjjxxxlxjn ()()()(,).从而2023-4-24第五章 第五节 Hermite插值42210011 2nnnjjjjkjkkjHxxxlx yxx()()()20njjjjxxlx m ()().2222121122nnnnfRxf xHxxn()()()()()().()!其余项为特别n=1时有(5.5.8)式（三次埃尔米特插值多项式）。2023-4-24第五章 第五节 Hermit
4、e插值5二、分段埃尔米特三次插值问题（简介）二、分段埃尔米特三次插值问题（简介）分段线性插值函数(5.2.2)的导数是间断的，若在节点上除已知函数值外还给出导数值，这样就可构造一个导数连续的分段插值函数，满足条件：),1,0(nkxkkf)(xIh0 1iiiH xf xyin ()()(,),0 1iiiHxfxmin ()()(,).2023-4-24第五章 第五节 Hermite插值6满足以上条件的分段三次埃尔米特插值多项式为：111110 11 ()()()()(),hiiiiiiiiiiHxyxyxmxmxxx xin2023-4-24第五章 第五节 Hermite插值7其中 Hh(
5、x)及其导数都在a,b上连续，且当h0时一致收敛于 f(x).101max().iii nhxx 三、三、特殊情形的埃尔米特（特殊情形的埃尔米特（Hermite）插值问题）插值问题例1 求一个次数不高于4的多项式P(x)，使它满足00011121PPPPP()(),()(),().解 333331000111HxHHHH()()(),()()（）求满足；2232121P xHxAxxPA()()(),().（）令由确定2023-4-24第五章 第五节 Hermite插值8（代3次埃尔米特插值公式(5.5.8)式求出）例2 已知连续函数 f(x)的如下数据：110051407ffff(),(),
6、(),().（1）用牛顿插值法求满足插值条件(1)10,(0)5,(1)4NNN的二次插值多项式N(x).（2）求不超过三次的多项式P(x),使满足插值条件110051407PPPP(),(),(),().的表达式。（3）若f(x)具有4阶连续导数，导出余项R(x)=f(x)-P(x)2023-4-24第五章 第五节 Hermite插值9补充：牛顿形式的埃尔米特插值补充：牛顿形式的埃尔米特插值特别有特别有1.重节点差商重节点差商2023-4-24第五章 第五节 Hermite插值10牛顿插值多项式为牛顿插值多项式为2.牛顿形式的埃尔米特插值牛顿形式的埃尔米特插值插值余项为插值余项为 21001
7、0012010121012nnnNxf zf zzxzf zz zxzxzf zzzxzxzxz,2101210121nnnRxf zzzxxzxzxz,.222210 1 ,niiifCa bzzxin设并令则2023-4-24第五章 第五节 Hermite插值11 22100000010220001nnnnnNxf xf x xxxf x x xxxf x xxxxxxxxx,2221000nnnnRxf xxxxxxxxx,.2121215 5 1nnNxnHermiteHx.可以证明满足次插值多项式的插值条件.参见：关治，陆金甫，数值分析基础，第二版，北京：高等教育出版社，2010.2
8、023-4-24第五章 第五节 Hermite插值12例1 求一个次数不高于4的多项式P(x)，使它满足00011121PPPPP()(),()(),().解 333331000111HxHHHH()()(),()()（）求满足；（用牛顿形式的埃尔米特插值公式求出）列差商表:xi yi 1阶 2阶 3阶0 00 0 011 1 11 1 1 0 -12023-4-24第五章 第五节 Hermite插值132232121P xHxAxxPA()()(),().（）令由确定22233001112H()()()xx;xxxxx 22312222 10414()()(),A,PHAA22134P xx
9、x()().2023-4-24第五章 第五节 Hermite插值142023-4-2415 给定a,b中(n+1)个互异节点 xi(i=0,1,n)上的函数值和直到mi阶的导数值令 ，若存在一个次数不超过m的多项式 Hm(x)，使得()(),(),().imiiif xfxfx第五章 第五节 Hermite插值153.更一般的埃尔米特插值问题更一般的埃尔米特插值问题011()niimm0011000000111111 ()()()()()(),()(),()(),()(),()(),()(),()(),()mmmmmmmmmmmnnmnHxf xHxfxHxfxHxf xHxfxHxfxHxf
10、 xHx(*)()()(),()().nnmmnmnnfxHxfx成立，就称 Hm(x)为 f(x)的m次埃尔米特插值多项式。埃尔米特插值多项式。定理定理 满足(*)式的m次插值多项式 Hm(x)是存在唯一的。把插值问题(*)看成是在(m+1)个互异节点上的插值，然后取极限成为(n+1)个互异点(nm)上的重节点插值。由此可写出牛顿形式的m次插值多项式 Hm(x)。000000000001100101,mmmmmHxf xf x xxxf xxxxf xx xxx2023-4-24第五章 第五节 Hermite插值160101010110011011110011011 m+1 m+1 m+1,
11、nnnnmmmmmmnnnnnnmf xx xxxxxxf xxxxxxxxxxxx插值余项为001100011101 m+1 ()()(),().()!nnimmmnnnmmnmiif xHxf xxxxxxxxxfxxm2023-4-24第五章 第五节 Hermite插值17注注 当n=0,m0=k，我们得到k+1阶泰勒多项式及其余项。例1 求一个次数不高于4的多项式P(x)，使它满足00011121PPPPP()(),()(),().解法2 列差商表 222210011114P xxxxxxx ()()()()xi yi 1阶 2阶 3阶 4阶0 00 0 011 1 11 1 1 0
12、-12 1 0 -1 -1/2 1/422134P xxx()().0 00111PPPP,(),()注意：2023-4-24第五章 第五节 Hermite插值18例2 已知连续函数 f(x)的如下数据：110051407ffff(),(),(),().求不超过三次的插值多项式P(x)及其余项表达式。2023-4-24第五章 第五节 Hermite插值19xi f(xi)1阶 2阶 3阶-1 100 5 -50 5 -7 -21 4 -1 6 4解法2 列差商表 m=(1+2+1)-1=3.P(x)=10-5(x+1)-2(x+1)x+4(x+1)x2=4x3+2x2-7x+5.42114()
13、()()()().!ff xP xxxx2023-4-24第五章 第五节 Hermite插值20例3 求5次插值多项式H(x)，使得030415161829H(),H(),H(),H(),H(),H().解 列差商表,m=(2+3+1)-1=5.xi yi 1阶 2阶 3阶 4阶 5阶0 30 3 41 5 2 -21 5 6 4 61 5 6 4 0 -6 2 9 4 -2 -6 -3 3/20 0011111112H,()H,()H()H,!HH注意：2222233342616112()()()()P xxxxxxxxx 23453145213342222().P xxxxxx 230 0 111 212 R()x,x()()xfxx余项为623126 ()()R()x()()!fxxx或2023-4-24第五章 第五节 Hermite插值210 2(,在之间)作作 业业习题五习题五 162023-4-24第五章 第五节 Hermite插值22
