1、 数学竞赛初二试题（五）1将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（ ）（A）2种 （B）3种 （C）4种 （D）5种2小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是 分钟（第3题5数，段成比例，所以）（第8题5数，段成比例，所以）（第8题5数，段成比例，所以）（第8题5数，段成比例，所以）3如图，在中，AB=7，AC=11，点M是BC的中点，（第8题5
2、数，段成比例，所以） AD是BAC 的平分线，MFAD，则FC的长为 4已知0a0，那么就可以交换b，c的位置，这称为一次操作.（1）若圆周上依次放着数1，2，3，4，5，6，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a，b，c，d，都有0？请说明理由.（2）若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003个正整数1，2，2003，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a，b，c，d，都有0？请说明理由.解：（1）（2）12已知，为互质的正整数（即，是正整数，且它们的最大公约数为1），且8，（）试写出一个满足条件的x；（）求所有满足条件的x13、如下图已知ABC内，
3、P、Q分别在BC，CA上，并且AP、BQ分别是BAC、ABC的平分线。（1）若BAC=60，ACB=40，求证：BQ+AQ=AB+BP；（2）若ACB=时，其他条件不变，直接写出BAC=（ ）时，仍有BQ+AQ=AB+BP。14、用任意的方式,给平面上的每一点染上黑色或白色.求证:一定存在一个边长为1或的正三角形,它的三个顶点是同色的.15. 将1, 2, 3, ，10这十个数按着某一顺序排成一行, 使得每相邻三个数的和都不超出n. 问:( 1)当n= 10时, 能否排成, 请说明理由;( 2)当能够排成时, n 的最小值是多少?16. 已知实数a，b，c满足：a+b+c=2，abc=4.（1
4、）求a，b，c中的最大者的最小值；（2）求的最小值.17（本题4分）在等腰三角形ABC中，AB=AC,延长边AB到点D,延长边CA到点E,连结DE,恰有AD=BC=CE=DE.求的度数。参考答案、法一：设a1，a2，a3，a4，a5是1，2，3，4，5的一个满足要求的排列首先，对于a1，a2，a3，a4，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，与已知条件矛盾又如果ai（1i3）是偶数，ai+1是奇数，则ai+2是奇数，这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数所以a1，a2，a3，a4，a5只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5种情形满足条件：2，1
5、，3，4，5；2，3，5，4，1；2，5，1，4，3；4，3，1，2，5；4，5，3，2，1法二：第一位是2，后面两位奇数任意：21345、23145、21543、25143、23541、25341第一位是4，后面两位奇数不能是1、5或5、1：41325、43125、43521、45321排除：23145、21543、25341、41325、43521还剩：21345、25143、23541、43125、45321所以共有5种排法故选：D、设18路公交车的速度是x米/分，小王行走的速度是y米/分，同向行驶的相邻两车的间距为s米每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车，则6x6y=s每隔3分钟从迎面
6、驶来一辆18路公交车，则3x+3y=s由，可得s=4x，所以=4即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟故选B、解：过点B作BGAD交CA延长线于GAD平分BACBADCADBGADABGBAD，GCADABGGAGAB7CGAG+AC7+1118MFADMFBGM是BC的中点MF是三角形CBG的中位线FCCG/29、解：因为0，所以，等于0或1由题设知，其中有18个等于1，所以=0，=1，所以 ，12故1830a19，于是610 a，所以=6、282500解：设原来电话号码的六位数为，则经过两次升位后电话号码的八位数为根据题意，有81= 记，于是 ，解得x=1250(20871a) 因为0x
7、，所以01250(20871a)，故 因为a为整数，所以a=2于是x=1250(208712)=82500所以，小明家原来的电话号码为282500、在平面上有7个点，其中任意3个点都不在同一条直线上，连接其中任意两个点，最多能画6+5+4+3+2+1=21条线段以这些线段为边，最多能构成7(71)(72)6=35个三角形答：最多可以得到21条线段；以这些线段为边，最多能构成35个三角形故答案为：21，35、a2b2=bc,即a2=b(b+c),b2c2=ca,即ca = (b+c)(bc),两式相除得：a/c=b/(bc),即abac=bc,c(a+b)=ab.（*）a2b2=bc,b2c2=
8、ca,两式相加得：a2c2= c(a+b),将（*）代入上式得：a2c2=ab.、欲证四边形是正方形，只须证：(1)四边形是平行四边形；(2)=；(3) (1)如图7，连结C、，延长交AC于点K，延长D交AB于点则由EFAC，GH=AC图7令EF HG，EF=HG 因此，四边形EFGH是平行四边形(2)只须BD=AC 由已知条件得BLC=900 ，ADL=450LA=LD，BL=LC所以，LBDLCA BD=AC再证(3)成立由(2)的结果得LBD=LCA，立得DKC=900，即BKAC从而，GHHE由此知四边形EFGH是正方形9、解：（1）如图1所示，作DEy轴于E点，作PFy轴于F点，可得
9、DEA=AFP=90，DAP为等腰直角三角形，AD=AP，DAP=90，EAD+DAB=90，DAB+BAP=90，EAD=BAP，ABPF，BAP=FPA，EAD=FPA，在ADE和PAF中，DEA=AFP=90EAD=FPAAD=AP ，ADEPAF（AAS），AE=PF=8，OE=OA+AE=14，设点D的横坐标为x，由14=2x+6，得x=4，点D的坐标是（4，14）；（2）存在点D，使APD是等腰直角三角形，理由为：直线y=2x+6向右平移6个单位后的解析式为y=2（x6）+6=2x6，如图2所示，当ADP=90时，AD=PD，易得D点坐标（4，2）；如图3所示，当APD=90时，A
10、P=PD，设点P的坐标为（8，m），则D点坐标为（14m，m+8），由m+8=2（14m）6，得m= D点坐标（ ,）如图4所示，当ADP=90时，AD=PD时，同理可求得D点坐标（ ,），综上，符合条件的点D存在，坐标分别为（4，2），（ ,）（ ,）、设x1，x2，x2008中有q个0，r个1，s个1，t个2（2分）则r+s+2t200r+s+4t2008 （5分）两式相加得s+3t=1104故0t368（10分）由x13+x23+x20083=r+s+8t=6t+200，（12分）得200x13+x23+x200836368+200=2408（15分）由方程组知：当t=0，s=1104，
11、r=904时，x13+x23+x20083取最小值200； （17分）当t=368，s=0，r=536时，x13+x23+x20083取最大值2408（20分）、（1）答：能具体操作如下：（2）答：能理由：设这2003个数的相邻两数乘积之和为P开始时，P0=12+23+34+20022003+20031，经过k（k0）次操作后，这2003个数的相邻两数乘积之和为Pk，此时若圆周上依次相连的4个数a，b，c，d满足不等式（ad）（bc）0，即ab+cdac+bd，交换b，c的位置后，这2003个数的相邻两数乘积之和为Pk+1，有Pk+1Pk=（ac+cb+bd）（ab+bc+cd）=ac+bda
12、bcd0所以Pk+1Pk1，即每一次操作，相邻两数乘积的和至少减少1，由于相邻两数乘积总大于0，故经过有限次操作后，对任意依次相连的4个数a，b，c，d，一定有（ad）（bc）0、解：（1）满足条件 5分（2）因为，为互质的正整数，且8，所以， 即 当a=1时，这样的正整数不存在当a=2时，故=1，此时当a=3时，故=2，此时当a=4时，与互质的正整数不存在当a=5时，故=3，此时当a=6时，与互质的正整数不存在当a=7时，故=3，4，5此时，当a=8时，故=5，此时所以，满足条件的所有分数为，15分、解：（1）BAC=60，ACB=40，ABC=180BACACB=1806040=80，BQ
13、平分ABC，CBQ=ABC=80=40，CBQ=ACB，BQ=CQ， BQ+AQ=CQ+AQ=AC，过点P作PDBQ交CQ于点D，则CPD=CBQ=40，CPD=ACB=40， PD=CD，ADP=CPD+ACB=40+40=80，ABC=80， ABC=ADP，AP平分BAC，BAP=CAP，在ABP与ADP中，ABPADP（AAS），AB=AD，BP=PD，AB+BP=AD+PD=AD+CD=AC，由可得，BQ+AQ=AB+BP；（2）2、证明:(1)若平面上存在距离为2的两个点A,B异色,设O为它们的中点,不妨设A,O同色.考虑以AO为一边的正三角形AOC,AOD,若C,D中有一个与A,
14、O同色,则该三角形满足题意.否则BCD为边长的同色正三角形.(2)否则平面上任两个距离为2的点均同色,考虑任意两个距离为1的点,以他们连线为底,2为腰长作等腰三角形,则任一腰的两顶点同色.所以三个顶点同色,即任两个距离为1的点同色.所以平面上任意一个边长为1的正三角形三个顶点同色.证毕、解：( 1)假设n = 10 时已经排出. 则后九个数之和小于或等于30. 从而, 第一个数不小于25, 矛盾. 故不能排出.( 2)与( 1)的考虑方式相同.当n= 11, 12, 13, 14时, 均不能排出.当n= 15时, 由前九个数之和小于或等于45, 推出第十个数排10;又从后面九个数之和小于或等于
15、45, 推出第一个数排10. 然而, 只有一个10, 故也不能排出.当n= 16时, 可以排出. 如10, 5, 1, 7, 6, 2, 8, 3, 4, 9或9, 4, 3, 7, 2, 6, 8, 1, 5, 10.据此知可排出时, n 的最小值是16.、(1)设a最大,由题意必有a0，b+c=2a,bc=4/a,于是b,c是方程x2(2a)x+4/a=0的两实根则=(a2)24*4/a0去分母得a34a2+4a160,(a4)(a2+4)0所以a4又当a=4，b=c=1即a，b，c中最大者的最小值为4（2）因为abc=40，a+b+c=20所以a，b，c可能全为正，或一正二负当a，b，c
16、全为正时，由（1）知a，b，c中最大者的最小值为4，这与a+b+a=2矛盾当a，b，c一正二负时，设a0，b0，c0则|a|+|b|+|c|=abc=a（b+c）=a（2a）=2a2由（1）知a4所以2a26所以|a|+|b|+|c|的最小值就是6、过D做BC的平行线,过C做AB的平行线,两线交于一点F,连接EF设ABC=x度 BC/DF,CF/DB； 四边形BDFC为平行四边形.BCF=FDB=ABC= x度 EAD=ACF=2x度又AB=AC,BC=AD=DE=CE. AE=BD=CF；DF=BC=DE. 在ADE和EFC中CF=AE CE=DE ECF=EAD=2x ADEEFC EF=AD,EFD为等边三角形EDF=EDA+ADF=(18022x)+x=60 x=40BAC=180240=100度.
