1、2018-2019学年江苏省苏州市高一下学期期末数学试题一、单选题1在平面直角坐标系xOy中，直线的倾斜角为（ ）ABCD【答案】B【解析】设直线的倾斜角为，可得，解得【详解】设直线的倾斜角为，解得故选：B【点睛】本题考查直线的倾斜角与斜率之间的关系、三角函数求值，考查推理能力与计算能力，属于基础题2从A，B，C三个同学中选2名代表，则A被选中的概率为（ ）ABCD【答案】D【解析】先求出基本事件总数，被选中包含的基本事件个数，由此能求出被选中的概率【详解】从，三个同学中选2名代表，基本事件总数为：，共个，被选中包含的基本事件为：，共2个，被选中的概率故选：D【点睛】本题考查概率的求法，考查列
2、举法和运算求解能力，是基础题3正方体中，异面直线与BC所成角的大小为（ ）ABCD【答案】D【解析】利用异面直线与BC所成角的的定义，平移直线，即可得答案【详解】在正方体中，易得异面直线与垂直，即所成的角为.故选：D【点睛】本题考查异面直线所成角的定义，考查对基本概念的理解，属于基础题.4甲、乙、丙、丁四名运动员参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示，从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是（ ）人数据甲乙丙丁平均数8.68.98.98.2方差3.53.52.15.6A甲B乙C丙D丁【答案】C【解析】甲，乙，丙，丁四个人中乙和丙的平均数最大且相等，甲，乙，丙，丁
3、四个人中丙的方差最小，说明丙的成绩最稳定，得到丙是最佳人选【详解】甲，乙，丙，丁四个人中乙和丙的平均数最大且相等，甲，乙，丙，丁四个人中丙的方差最小，说明丙的成绩最稳定，综合平均数和方差两个方面说明丙成绩即高又稳定，丙是最佳人选，故选：C【点睛】本题考查平均数和方差的实际应用，考查数据处理能力，求解时注意方差越小数据越稳定.5在平面直角坐标系xOy中，点P（2，1）到直线l：4x3y+4=0的距离为（ ）A3BC1D3【答案】A【解析】由点到直线距离公式计算【详解】故选：A【点睛】本题考查点到直线的距离公式，掌握距离公式是解题基础点到直线的距离为6在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若
4、，则的值为（ ）A4BCD【答案】B【解析】由正弦定理可得，代入即可求解【详解】，由正弦定理可得，则.故选：B【点睛】本题考查正弦定理的简单应用，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，属于基础题7用斜二测画法画一个边长为2的正三角形的直观图，则直观图的面积是：ABCD【答案】C【解析】分析：先根据直观图画法得底不变，为2，再研究高，最后根据三角形面积公式求结果.详解：因为根据直观图画法得底不变，为2，高为 ， 所以直观图的面积是 选C.点睛：本题考查直观图画法，考查基本求解能力.8某超市收银台排队等候付款的人数及其相应概率如下：排队人数01234概率0.10.160.30.30.10.04则至
5、少有两人排队的概率为（ ）A0.16B0.26C0.56D0.74【答案】D【解析】利用互斥事件概率计算公式直接求解【详解】由某超市收银台排队等候付款的人数及其相应概率表，得：至少有两人排队的概率为：故选：D【点睛】本题考查概率的求法、互斥事件概率计算公式，考查运算求解能力，是基础题9在ABC中，如果，那么cosC等于 （ ）ABCD【答案】D【解析】解：由正弦定理可得；sinA：sinB：sinC=a：b：c=2：3：4可设a=2k，b=3k，c=4k（k0）由余弦定理可得，CosC=,选D10若长方体三个面的面积分别为2，3，6，则此长方体的外接球的表面积等于（ ）ABCD【答案】C【解析
6、】设长方体过一个顶点的三条棱长分别为，由已知面积求得，的值，得到长方体对角线长，进一步得到外接球的半径，则答案可求【详解】设长方体过一个顶点的三条棱长分别为，则，解得，长方体的对角线长为则长方体的外接球的半径为，此长方体的外接球的表面积等于故选：C【点睛】本题考查长方体外接球表面积的求法，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意长方体的对角线长为长方体外接球的直径.11已知平面平面，直线平面，直线平面，在下列说法中，若，则；若，则；若，则.正确结论的序号为（ ）ABCD【答案】D【解析】由面面垂直的性质和线线的位置关系可判断；由面面垂直的性质定理可判断；由线面垂直的性质定理可判断【详解】平面
7、平面直线平面，直线平面，若，可得，可能平行，故错误；若，由面面垂直的性质定理可得，故正确；若，可得，故正确故选：D【点睛】本题考查空间线线和线面、面面的位置关系，主要是平行和垂直的判断和性质，考查推理能力，属于基础题12已知中，则BC边上的中线AM的长度为（ ）ABCD【答案】A【解析】利用平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和，求的长【详解】延长至，使，连接、，如图所示；由题意知四边形是平行四边形，且满足，即，解得，所以边上的中线的长度为故选：A【点睛】本题考查平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和应用问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力二、填空题
8、13在平面直角坐标系xOy中，若直线与直线平行，则实数a的值为_.【答案】1【解析】由，解得，经过验证即可得出【详解】由，解得经过验证可得：满足直线与直线平行，则实数故答案为：1【点睛】本题考查直线的平行与斜率之间的关系，考查推理能力与计算能力，属于基础题14如图，某人在高出海平面方米的山上P处，测得海平面上航标A在正东方向，俯角为，航标B在南偏东，俯角，且两个航标间的距离为200米，则_米.【答案】200【解析】根据题意利用方向坐标，根据三角形边角关系，利用余弦定理列方程求出的值【详解】航标在正东方向，俯角为，由题意得，航标在南偏东，俯角为，则有，所以，；由余弦定理知，即，可求得（米故答案为
9、：200【点睛】本题考查方向坐标以及三角形边角关系的应用问题，考查余弦定理应用问题，是中档题15一个封闭的正三棱柱容器，该容器内装水恰好为其容积的一半（如图1，底面处于水平状态），将容器放倒（如图2，一个侧面处于水平状态），这时水面与各棱交点分别为E，F、，则的值是_.【答案】【解析】设，则，由题意得：，由此能求出的值【详解】设，则，由题意得：，解得，故答案为：【点睛】本题考查两线段比值的求法、三棱柱的体积等基础知识，考查运算求解能力，是中档题16在平面直角坐标系xOy中，已知直角中，直角顶点A在直线上，顶点B，C在圆上，则点A横坐标的取值范围是_.【答案】【解析】由题意画出图形，写出以原点为
10、圆心，以为半径的圆的方程，与直线方程联立求得值，则答案可求【详解】如图所示，当点往直线两边运动时，不断变小，当点为直线上的定点时，直线与圆相切时，最大，当为正方形，则，则以为圆心，以为半径的圆的方程为联立，得解得或点横坐标的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意坐标法的应用.三、解答题17在平面直角坐标系xOy中，已知点P是直线与直线的交点.（1）求点P的坐标；（2）若直线l过点P，且与直线垂直，求直线l的方程.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由两条直线组成方程组，求得交点坐标；（2）设与直
11、线垂直的直线方程为，代入点的坐标求得的值，可写出的方程【详解】（1）由直线与直线组成方程组，得，解得，所以点的坐标为；（2）设与直线垂直的直线的方程为，又直线过点，所以，解得，直线的方程为【点睛】本题考查直线方程的求法与应用问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.18在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，.（1）求：（2）求的面积.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由已知可先求，然后结合正弦定理可求的值；（2）利用两角和的正弦函数公式可求的值，根据三角形的面积公式即可计算得解【详解】（1），由正弦定理，可得：.（2），【点睛】本题考查正弦定理，三
12、角形的面积公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.19某地区2012年至2018年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如下表：年份2012201320142015201620172018年份代号1234567人均纯收入2.93.33.64.44.85.25.9（1）已知y与x线性相关，求y关于x的线性回归方程；（2）利用（1）中的线性回归方程，预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入.（附：线性回归方程中，其中为样本平均数）【答案】（1）；（2）6.8千元【解析】（1）由表中数据计算、，求出回归系数，得出关于的线性回归方程；（2）利用线性回归方程计算
13、2020年对应时的值，即可得出结论【详解】（1）由表中数据，计算，关于的线性回归方程为：；（2）利用线性回归方程，计算时，（千元），预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元【点睛】本题考查线性回归方程的求法与应用问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查数据处理20如图，在直三棱柱中，点N为AB中点，点M在边AB上.（1）当点M为AB中点时，求证：平面；（2）试确定点M的位置，使得平面.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）推导出，由此能证明平面（2）当点是中点时，推导出，从而平面，进而，推导出，从而，由此能证明平面【详解】（1）在直三棱柱中，点为中点，为中点，平面
14、，平面，平面（2）当点是中点时，使得平面证明如下：在直三棱柱中，点为中点，点是中点，平面，平面，平面【点睛】本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题21在平面直角坐标系xOy中，已知点，圆.（1）求过点P且与圆C相切于原点的圆的标准方程；（2）过点P的直线l与圆C依次相交于A，B两点.若，求l的方程；当面积最大时，求直线l的方程.【答案】（1）；（2）；或【解析】（1）设所求圆的圆心为，而所求圆的圆心与、共线，故圆心在直线上，又圆同时经过点与点，求出圆的圆心和半径，即可得答案；（2）由题意可得为圆的直径，求出的坐标，可得直线
15、的方程；当直线的斜率不存在时，直线方程为，求出，的坐标，得到的面积；当直线的斜率存在时，设直线方程为利用基本不等式、点到直线的距离公式求得，则直线方程可求【详解】（1）由，得，圆的圆心坐标，设所求圆的圆心为而所求圆的圆心与、共线，故圆心在直线上，又圆同时经过点与点，圆心又在直线上，则有：，解得：，即圆心的坐标为，又，即半径，故所求圆的方程为；（2）由，得为圆的直径，则过点，的方程为，联立，解得，直线的斜率，则直线的方程为，即；当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时，；当直线的斜率存在时，设直线方程为再设直线被圆所截弦长为，则圆心到直线的距离，则当且仅当，即时等号成立此时弦长为10，圆心到直线的
16、距离为5，由，解得直线方程为当面积最大时，所求直线的方程为：或【点睛】本题考查圆的方程的求法、直线与圆的位置关系应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.22在平面直角坐标系xOy中，已知点，.（1）证明：；证明：存在点P使得.并求出P的坐标；（2）过C点的直线将四边形ABCD分成周长相等的两部分，产生的另一个交点为E，求点E的坐标.【答案】（1）见解析；见解析，；（2）.【解析】（1）利用夹角公式可得；由条件知点为四边形外接圆的圆心，根据，可得，四边形外接圆的圆心为的中点，然后求出点的坐标；（2）根据条件可得，然后设的坐标为，根据，可得的坐标【详解】（1），；由知，点为四边形外接圆的圆心，四边形外接圆的圆心为的中点，点的坐标为；（2）由两点间的距离公式可得，过点的直线将四边形分成周长相等的两部分，设的坐标为，则，点的坐标为【点睛】本题考查向量的夹角公式、向量相等、向量的运算性质、两点间的距离公式等，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.第 18 页 共 18 页
