1、 中考数学几何模型 6：弦图模型 名师点睛 拨开云雾 开门见山 弦图模型，包含两种模型：内弦图模型和外弦图模型. （一）内弦图模型：（一）内弦图模型：如图，在正方形 ABCD 中，AEBF 于点 E，BFCG 于点 F，CGDH 于点 G，DH AE 于点 H，则有结论：ABEBCFCDGDAH. （二）外弦图模型：（二）外弦图模型：如图，在正方形 ABCD 中，E，F，G，H 分别是正方形 ABCD 各边上的点，且四边形 EFGH 是正方形，则有结论：AHEBEFCFGDGH. 典题探究 启迪思维 探究重点 例题例题 1. 如图，在ABC 中，ABC=90，分别以 AB，AC 向外作正方形
2、ABDE，ACFG，连接 EG，若 AB=12，BC=16，求AEG 的面积. 注意局部弦图注意局部弦图 包含“一线三垂直”包含“一线三垂直” 变式练习变式练习 1如图，四边形 ABCD 是边长为 4 的正方形，点 E 在边 AD 上，连接 CE，以 CE 为边作正方形 CEFG，点 D，F 在直线 CE 的同侧，连接 BF，若 AE=1，求 BF 的长. 例题例题 2. 如图，以 RtABC 的斜边 BC 在ABC 同侧作正方形 BCEF，该正方形的中心为点 O，连接 AO. 若 AB=4，AO=6 2，求 AC 的长. 变式练习变式练习 2如图，点 A，B，C，D，E 都在同一条直线上，四
3、边形 X，Y，Z 都是正方形，若该图形总面积是 m， 正方形 Y 的面积是 n，则图中阴影部分的面积是_. 例题例题 3. 如图， 在ABC 中， BAC=45， D 为ABC 外一点， 满足CBD=90， BC=BD， 若= 4 . 5 A C D S， 求 AC 的长. 变式练习变式练习 3点 P 是正方形 ABCD 外一点，PB=10cm，APB 的面积是 60cm2，CPB 的面积是 30cm2求正方形 ABCD 的面积. 例题例题 4. 在边长为 10 的正方形 ABCD 中，内接有 6 个大小相同的正方形，P、Q、M、N 是落在大正方形边 上的小正方形的顶点，如图所示，求这六个小正
4、方形的面积. 变式练习变式练习 4如图，在平面直角坐标系中，经过点 A 的双曲线 y（x0）同时经过点 B，且点 A 在点 B 的左侧， 点 A 的横坐标为，AOBOBA45，则 k 的值为 1+ 【解答】解：在AOM 和BAN 中， AOMBAN（AAS）， AMBN，OMAN，OD+，BD， B（+，），双曲线 y（x0）同时经过点 A 和 B， （+）（）k，整理得：k22k40， 解得：k1（负值舍去）， k1+； 故答案为：1+ 例题例题 5. 如图，在等腰 RtACB 和等腰 RtDCE 中，AXB=DCE=90，连接 AD，BE，点 I 在 AD 上， （1）若 ICBE，求证：
5、I 为 AD 中点； （2）若 I 为 AD 中点，求证：ICBE 例题例题 6. 在平面直角坐标系中，直线 l 的解析式为2yxb，其与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于点 B，在直线 l 移动的过程中，直线 y=4 上是否存在点 P，使得PAB 是等腰直角三角形，若存在，请求出满足条件的所 有点 P 的坐标，如不存在，请说明理由. 达标检测 领悟提升 强化落实 1. 如图所示，“赵爽弦图”是由 8 个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形 ABCD，正方形 EFGH， 正方形 MNKT 的面积分别为 S1，S2，S3，已知 S1+S2+S310，则 S2的值是 【解答】解：将四边形 MT
6、KN 的面积设为 x，将其余八个全等的三角形面积一个设为 y， 正方形 ABCD，正方形 EFGH，正方形 MNKT 的面积分别为 S1，S2，S3，S1+S2+S310， 得出 S18y+x，S24y+x，S3x， S1+S2+S33x+12y10，故 3x+12y10， x+4y，所以 S2x+4y， 故答案为： 2. 我国古代数学家赵爽利用弦图证明了勾股定理，这是著名的赵爽弦图（如图 1）它是由四个全等的直 角三角形拼成了内、外都是正方形的美丽图案在弦图中（如图 2），已知点 O 为正方形 ABCD 的对角 线 BD 的中点，对角线 BD 分别交 AH，CF 于点 P、Q在正方形 EFG
7、H 的 EH、FG 两边上分别取点 M， N，且 MN 经过点 O，若 MH3ME，BD2MN4则APD 的面积为 5 【解答】解：如图，连接 FH，作 EKMN，OLDG 四边形 ABCD 是正方形，且 BD2MN4 MN2，AB2 四边形 EFGH 是正方形 FOHO，EHFG HMOFNO，MHONFO，且 FOHO MHOFNO（AAS），MHFN MH3ME，MHFN3EM，EHEF4EM EKKN，EHFG，四边形 EMNK 是平行四边形 MNEK2，KNEM，FK2EM EF2+FK2EK2，16EM2+4EM220，EM1，EH4， AD2（AE+4）2+DH2，且 AEDH
8、DHAE2，AH6 PHOL，PH1，AP5，SAPD525 故答案为 5 3如图，在ABC 中，ACB90，分别以边 AB、AC 向外作正方形 ABDE 和正方形 ACFG，连接 CE， BG，EG（正方形的各边都相等，各角均为 90） （1）判断 CE 与 BG 的关系，并说明理由； （2）若 BC3，AB5，则 AEG 面积等于 6 【解答】解：（1）如图， EABGAC90，EACBAG， 在EAC 和BAG 中， EACBAG（SAS）， CEBG，AECABG， AEC+APE90，APEBPC， BPC+ABG90， CEBG； （2）延长 GA，过 E 作 EQAQ， EABG
9、AC90， EAG+BAC180， EAG+EAQ180， EAQBAC， EQAEsinEAQABBC3， BC3，AB5， AC4， AEG 面积AGEQ436 4【问题解决】 一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图 1，点 P 是正方形 ABCD 内一点，PA1，PB2，PC 3你能求出APB 的度数吗？ 小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路： 思路一：将BPC 绕点 B 逆时针旋转 90，得到BPA，连接 PP，求出APB 的度数； 思路二：将APB 绕点 B 顺时针旋转 90，得到CPB，连接 PP，求出APB 的度数 请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程 【类比探究
10、】 如图 2，若点 P 是正方形 ABCD 外一点，PA3，PB1，PC，求APB 的度数 【解答】解：（1）思路一、如图 1， 将BPC 绕点 B 逆时针旋转 90，得到BPA，连接 PP， ABPCBP， PBP90，BPBP2，APCP3， 在 RtPBP中，BPBP2， BPP45，根据勾股定理得，PPBP2， AP1， AP2+PP21+89， AP2329， AP2+PP2AP2， APP是直角三角形，且APP90， APBAPP+BPP90+45135； （2）如图 2， 将BPC 绕点 B 逆时针旋转 90，得到BPA，连接 PP， ABPCBP， PBP90，BPBP1，AP
11、CP， 在 RtPBP中，BPBP1， BPP45，根据勾股定理得，PPBP， AP3， AP2+PP29+211， AP2（）211， AP2+PP2AP2， APP是直角三角形，且APP90， APBAPPBPP904545 5如图，已知ABC90，D 是直线 AB 上一点，ADBC （1）如图 1，过点 A 作 AFAB，并截取 AFBD，连接 DC、DF、CF 求证：AF+ABBC 判断 FD 与 DC 的关系并证明； （2）如图 2，E 是直线 BC 上一点，且 CEBD，直线 AE、CD 相交于点 P，APD 的度数是一个固定 的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由 【解
12、答】（1）证明：ADBC， ADAB+BD，AFBD，AF+ABBC AFAB，FAD90， 又DBC90，FADDBC， AFBD，ADBC，FADDBC（SAS）， FDCD，ADFBCD，BDC+ADFBDC+BCD90，即 DFDC； （2）解：作 AFAB 于 A，使 AFBD，连结 DF，CF，如图， AFAD，ABC90，FADDBC， 在FAD 与DBC 中，FADDBC（SAS）， FDDC，CDF 是等腰三角形， FADDBC，FDADCB， BDC+DCB90，BDC+FDA90， CDF 是等腰直角三角形，FCD45， AFCE，且 AFCE，四边形 AFCE 是平行四
13、边形， AECF，APDFCD45 6【探究证明】（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行 探究，提出下列问题，请你给出证明 如图 1，矩形 ABCD 中，EFGH，EF 分别交 AB，CD 于点 E，F，GH 分别交 AD，BC 于点 G，H，求 证：； 【结论应用】 （2） 如图 2， 在满足 （1） 的条件下， 又 AMBN， 点 M， N 分别在边 BC， CD 上， 若， 则的值为 ；（直接写出结果） 【联系拓展】（3）如图 3，四边形 ABCD 中，ABC90，ABAD6，BCCD3，AMDN，点 M，N 分别在边 BC，AB 上，求的值 【解
14、答】解：（1）过点 A 作 APEF，交 CD 于 P，过点 B 作 BQGH，交 AD 于 Q，如图 1， 四边形 ABCD 是矩形，ABDC，ADBC 四边形 AEFP、四边形 BHGQ 都是平行四边形， APEF，GHBQ 又GHEF，APBQ，QAT+AQT90 四边形 ABCD 是矩形，DABD90，DAP+DPA90， AQTDPAPDAQAB，； （2）如图 2， EFGH，AMBN，由（1）中的结论可得，； ， 故答案为； （3）过点 D 作平行于 AB 的直线，交过点 A 平行于 BC 的直线于 R，交 BC 的延长线于 S，如图 3， 则四边形 ABSR 是平行四边形 AB
15、C90， 平行四边形 ABSR 是矩形， RS90，RSAB6，ARBS AMDN， 由（1）中的结论可得 设 SCx，DSy，则 ARBS3+x，RD6y， 在 RtCSD 中，x2+y29， 在 RtARD 中，（3+x）2+（6y）236， 由得 x2y3， 解方程组 ，得（舍去），或 ，AR3+x， 7如图，直角梯形 ABCD 中，ADBC，ADC90，l 是 AD 的垂直平分线，交 AD 于点 M，以腰 AB 为边作正方形 ABFE，EPl 于 P 求证：2EP+AD2CD 【解答】证明：作 AHBC 于 H，延长 EP 交 AH 于 G， l 是 AD 的垂直平分线，AMMDAD，
16、lAH， 又四边形 ABCD 是直角梯形，四边形 AHCD 是矩形，AHCD， PEl，EGAH，四边形 AGPM 是矩形， GPAMAD，AHBAGE90，1+290， 在正方形 ABFE 中，ABAE，BAE90， 2+390，13， 在ABH 和EAG 中，ABHEAG（AAS），AHEG， CDGP+PEAD+PE，即 2CDAD+2PE 8提出问题： 如图 1，在ABC 中，ACB90，分别以边 AB、AC 向外作正方形 ABDE 和正方形 ACFG，连接 CE， BG，EG （1）探索 CE 与 BG 的关系； （2）探究ABC 与AEG 面积是否仍然相等？说明理由 （3）如图 2
17、，学校教学楼前的一个六边形花圃被分成七个部分，分别种上不同品种的花卉，已知CDG 是直角三角形，CGD90，DG3m，CG4m，四边形 ABCD、CIHG、GFED 均为正方形，则这 个六边形花圃 ABIHFE 的面积为 74m2 【解答】解（1）CEBG，CEBG； 理由：EABGAC90，EACBAG， 在EAC 和BAG 中，EACBAG（SAS）， CEBG，AECABG， AEC+APE90，APEBPC，BPC+ABG90， CEBG；即：CEBG，CEBG； （2）如图 1， 过点 E 作 EHAG 交 GA 延长线于 H；EHA90BCA， EAH+BAH90，BAC+BAH9
18、0， EAHBAC， 在EHA 和BCA 中， EHABCA，EHBC， ACAGSABCACBCACEH， SAGEAGEHACEH， SABCSAGE， （3）在 RtCDG 中，DG3m，CG4m， CD5m， 四边形 ABCD，CIHG、GFED 均为正方形 CGGH4，DGFG3， 同（2）的方法得出 SBCISCDG，SADESCDG S六边形花圃ABIHFES正方形ABCD+SBCI+S正方形CIHG+SFGH+S正方形DEFG+SADE+SSDG S正方形ABCD+SCDG+S正方形CIHG+SFGH+S正方形DEFG+SCDG+SCDG S正方形ABCD+S正方形CIHG+S
19、FGH+S正方形DEFG+3SCDG CD2+CG2+GHFG+DG2+3CGDG 52+42+43+32+43 25+16+6+9+18 74（m2） 故答案为 74m2 9 已知： l1l2l3l4， 平行线 l1与 l2、 l2与 l3、 l3与 l4之间的距离分别为 d1、 d2、 d3， 且 d1d31， d22 我 们把四个顶点分别在 l1、l2、l3、l4这四条平行线上的四边形称为“格线四边形” （1）如图 1，正方形 ABCD 为“格线四边形”，则正方形 ABCD 的边长为 （2）矩形 ABCD 为“格线四边形”，其长：宽2：1，求矩形 ABCD 的宽 （3）如图 1，EG 过
20、正方形 ABCD 的顶点 D 且垂直 l1于点 E，分别交 l2，l4于点 F，G将AEG 绕点 A 顺时针旋转 30得到AED （如图 2） ， 点 D在直线 l3上， 以 AD为边在 ED左侧作菱形 AB CD，使 B，C分别在直线 l2，l4上，求菱形 ABCD的边长 【解答】解：（1）l1l2l3l4，AED90DGC90， 四边形 ABCD 为正方形 ADC90，ADCD，ADE+290， 1+290，1ADE， l3l4，1DCG，ADEDCG， 在AED 与DGC 中，AEDGDC（AAS）， AEGD1，EDGC3，AD， 故答案为：； （2）如图 2 过点 B 作 BEL1于
21、点 E，反向延长 BE 交 L4于点 F， 则 BE1，BF3， 四边形 ABCD 是矩形，ABC90，ABE+FBC90， ABE+EAB90，FBCEAB， 当 ABBC 时，ABBC，AEBF， AB； 如图 3 当 ABBC 时，同理可得：BC， 矩形的宽为：，； （3）如图 4 过点 E作 ON 垂直于 l1分别交 l1，l3于点 O，N， OAE30，则EFN60 AEAE1，故 EO，EN，ED， 由勾股定理可知菱形的边长为： 10四边形 ABCD 是边长为 4 的正方形，点 E 在边 AD 所在直线上，连接 CE，以 CE 为边，作正方形 CEFG （点 D，点 F 在直线 C
22、E 的同侧），连接 BF （1）如图 1，当点 E 与点 A 重合时，请直接写出 BF 的长； （2）如图 2，当点 E 在线段 AD 上时，AE1； 求点 F 到 AD 的距离； 求 BF 的长； （3）若 BF3，请直接写出此时 AE 的长 【解答】解：（1）作 FHAB 于 H，如图 1 所示：则FHE90， 四边形 ABCD 和四边形 CEFG 是正方形， ADCD4，EFCE，ADCDAHBADCEF90， FEHCED， 在EFH 和CED 中， ， EFHCED（AAS）， FHCD4，AHAD4， BHAB+AH8， BF4； （2）过 F 作 FHAD 交 AD 的延长线于点
23、 H，作 FMAB 于 M，如图 2 所示： 则 FMAH，AMFH， AD4，AE1，DE3， 同（1）得：EFHCED（AAS）， FHDE3，EHCD4， 即点 F 到 AD 的距离为 3； BMAB+AM4+37，FMAE+EH5， BF； （3）分三种情况： 当点 E 在边 AD 的左侧时，过 F 作 FHAD 交 AD 于点 H， 交 BC 延长线于 K如图 3 所示： 同（1）得：EFHCED， FHDEAE+4，EHCD4， FK8+AE，在 RtBFK 中，BKAHEHAE4AE， 由勾股定理得：（4AE）2+（8+AE）2（3）2， 解得：AE1 或 AE5（舍去）， AE1； 当点 E 在边 AD 的右侧时，过 F 作 FHAD 交 AD 的延长线于点 H，交 BC 延长线于 K，如图 4 所示： 同理得：AE2+或 2（舍去） 当点 E 在 AD 上时，可得：（8AE）2+（4+AE）290， 解得 AE5 或1， 54 不符合题意 综上所述：AE 的长为 1 或 2+
