1、 中考数学几何模型 9：隐圆模型 名师点睛 拨开云雾 开门见山 【点睛【点睛 1】触发隐圆模型的类型触发隐圆模型的类型 （1 1）动点定长模型）动点定长模型 若 P 为动点，但 AB=AC=AP 原理：原理：圆 A 中，AB=AC=AP 则 B、C、P 三点共圆，A 圆心，AB 半径 备注：备注：常转全等或相似证明出定长 （2 2）直角圆周角）直角圆周角模型模型 固定线段 AB 所对动角C 恒为 90 原理：原理：圆 O 中，圆周角为 90所对弦是直径 则 A、B、C 三点共圆，AB 为直径 备注：备注：常通过互余转换等证明出动角恒为直角 （3 3）定弦定角模型）定弦定角模型 固定线段 AB
2、所对动角P 为定值 原理：原理：弦 AB 所对同侧圆周角恒相等 则点 P 运动轨迹为过 A、B、C 三点的圆 备注：备注：点 P 在优弧、劣弧上运动皆可 （4 4）四点共圆模型）四点共圆模型 若动角A+动角C=180 原理：原理：圆内接四边形对角互补 则 A、B、C、D 四点共圆 备注：备注：点 A 与点 C 在线段 AB 异侧 （5 5）四点）四点共圆模型共圆模型 固定线段 AB 所对同侧动角P=C 原理：原理：弦 AB 所对同侧圆周角恒相等 则 A、B、C、P 四点共圆 备注：备注：点 P 与点 C 需在线段 AB 同侧 【点睛【点睛 2】圆中旋转最值问题圆中旋转最值问题 条件：条件：线段
3、 AB 绕点 O 旋转一周，点 M 是线段 AB 上的一动点，点 C 是定点 （1）求 CM 最小值与最大值 （2）求线段 AB 扫过的面积 （3）求 ABC S最大值与最小值 作法：作法：如图建立三个同心圆，作 OMAB，B、A、M 运动路径分别为大圆、中圆、小圆 结论：结论：CM1最小，最小，CM3最大最大 线段线段 AB 扫过面积为大圆与小圆组成的圆环面积扫过面积为大圆与小圆组成的圆环面积 ABC S最小值以最小值以 AB 为底，为底，CM1为高；最大值以为高；最大值以 AB 为底，为底，CM2为高为高 典题探究 启迪思维 探究重点 例题例题 1. 如图， 在边长为 2 的菱形 ABCD
4、 中， A=60 ， M 是 AD 边的中点， N 是 AB 边上的一动点， 将AMN 沿 MN 所在直线翻折得到AMN，连接 AC，则 AC 长度的最小值是_ A N M AB C D 【分析】考虑AMN 沿 MN 所在直线翻折得到AMN，可得 MA=MA=1，所以 A轨迹是以 M 点为圆心， MA 为半径的圆弧连接 CM，与圆的交点即为所求的 A，此时 AC 的值最小构造直角MHC，勾股定理 求 CM，再减去 AM 即可，答案为7-1 A N M AB C D D C BA M N A H A N M AB C D 变式练习变式练习 1如图，在 RtABC 中，C=90 ，AC=6，BC=
5、8，点 F 在边 AC 上，并且 CF=2，点 E 为边 BC 上的动点， 将CEF 沿直线 EF 翻折，点 C 落在点 P 处，则点 P 到边 AB 距离的最小值是_ A B C E F P 【分析】考虑到将FCE 沿 EF 翻折得到FPE，可得 P 点轨迹是以 F 点为圆心，FC 为半径的圆弧过 F 点作 FHAB，与圆的交点即为所求 P 点，此时点 P 到 AB 的距离最小由相似先求 FH，再减去 FP，即可 得到 PH答案为 1.2. A B C E F P H P F E C B A 例题例题 2. 如图，已知圆 C 的半径为 3，圆外一定点 O 满足 OC=5，点 P 为圆 C 上
6、一动点，经过点 O 的直线 l 上有两点 A、B，且 OA=OB，APB=90 ，l 不经过点 C，则 AB 的最小值为_ l P O C BA 【分析】连接 OP，根据APB 为直角三角形且 O 是斜边 AB 中点，可得 OP 是 AB 的一半，若 AB 最小，则 OP 最小即可连接 OC，与圆 C 交点即为所求点 P，此时 OP 最小，AB 也取到最小值答案为 4. l P O C BA AB C O P l 变式练习变式练习 2如图，矩形 ABCD 中，AB=4，BC=8，P、Q 分别是直线 BC、AB 上的两个动点，AE=2，AEQ 沿 EQ 翻 折形成FEQ，连接 PF、PD，则 P
7、F+PD 的最小值是_ Q A BC D E F P 答案为 8. 【分析】F 点轨迹是以 E 点为圆心，EA 为半径的圆，作点 D 关于 BC 对称点 D，连接 PD，PF+PD 化为 PF+PD连接 ED，与圆的交点为所求 F 点，与 BC 交点为所求 P 点，勾股定理先求 ED,再减去 EF 即可 D P F E D CB A Q Q A BC D E F P D 例题例题 3. 如图，E、F 是正方形 ABCD 的边 AD 上的两个动点，满足 AE=DF，连接 CF 交 BD 于点 G，连接 BE 交 AG 于点 H，若正方形边长为 2，则线段 DH 长度的最小值是_ H G A BC
8、 D EF 【分析】根据条件可知：DAG=DCG=ABE，易证 AGBE，即AHB=90 ，所以 H 点轨迹是以 AB 为 直径的圆弧当 D、H、O 共线时，DH 取到最小值，勾股定理可求答案为51 H G A BC D EF O FE D CB A G H H A BC D O 变式练习变式练习 3如图，RtABC 中，ABBC，AB=8，BC=4，P 是ABC 内部的一个动点，且满足PAB=PBC，则线 段 CP 长的最小值是_ P A B C 答案为4 24 【分析】PBC+PBA=90 ，PBC=PAB，PAB+PBA=90 ，APB=90 ， P 点轨迹是以 AB 为直径的圆弧 当
9、O、P、C 共线时，CP 取到最小值，勾股定理先求 OC，再减去 OP 即可 O P A B C C B A O P 例题例题 4. 如图，在 RtABC 中，ACB=90 ，BC=4，AC=10，点 D 是 AC 上的一个动点，以 CD 为直径作圆 O，连接 BD 交圆 O 于点 E，则 AE 的最小值为_ O E D C B A 【分析】连接 CE，由于 CD 为直径，故CED=90，考虑到 CD 是动线段，故可以将此题看成定线段 CB 对直角CEB取 CB 中点 M，所以 E 点轨迹是以 M 为圆心、CB 为直径的圆弧连接 AM，与圆弧交点即 为所求 E 点，此时 AE 值最小， 22
10、10222 262AEAMEM O E D C B A M A B C D E O M E C B A 变式练习变式练习 4如图，正方形 ABCD 的边长为 4，动点 E、F 分别从点 A、C 同时出发，以相同的速度分别沿 AB、CD 向终点 B、D 移动，当点 E 到达点 B 时，运动停止，过点 B 作直线 EF 的垂线 BG，垂足为点 G，连接 AG， 则 AG 长的最小值为 G F E D CB A 【分析】首先考虑整个问题中的不变量，仅有 AE=CF，BGEF，但BGE 所对的 BE 边是不确定的 重点放在 AE=CF，可得 EF 必过正方形中心 O 点，连接 BD，与 EF 交点即为
11、 O 点 BGO 为直角且 BO 边为定直线，故 G 点轨迹是以 BO 为直径的圆记 BO 中点为 M 点，当 A、G、M 共 线时，AG 取到最小值，利用 RtAOM 勾股定理先求 AM，再减去 GM 即可答案为102 A BC D E F G O A BC D E F G M O A BC D E F G M O A BC D E F G 例题例题 5. 如图，等边ABC 边长为 2，E、F 分别是 BC、CA 上两个动点，且 BE=CF，连接 AE、BF，交点为 P 点，则 CP 的最小值为_ E F CB A P 答案为 2 3 3 【分析】由 BE=CF 可推得ABEBCF，所以AP
12、F=60 ，但APF 所对的边 AF 是变化的所以考虑 APB=120 ， 其对边AB是定值 所以如图所示， P点轨迹是以点O为圆心的圆弧（构造OA=OB且AOB=120 ） 当 O、P、C 共线时，可得 CP 的最小值，利用 RtOBC 勾股定理求得 OC，再减去 OP 即可 60 E F CB A P 120 E F CB A P 120 M O P A BC F E 120 CB A P O 120 变式练习变式练习 5在ABC 中，AB=4，C=60 ，AB，则 BC 的长的取值范围是_ 【分析】先作图，如下 4 AB C 60 答案为： 8 3 4 3 BC 条件不多， 但已经很明显
13、， AB 是定值， C=60 ， 即定边对定角 故点 C 的轨迹是以点 O 为圆心的圆弧 （作 AO=BO 且AOB=120 ）题意要求AB，即 BCAC，故点 C 的轨迹如下图当 BC 为直径时，BC 取到 最大值为 8 3 3 ，考虑A 为ABC 中最大角，故 BC 为最长边，BCAB=4无最小值 O 120 60 C BAAB C 60 120 O O 120 C BA O 120 C BA 例题例题 6. 如图，ABCD 为正方形，O 为 AC、BD 的交点， DCE 为 Rt ，CED90 ，DCE30 ，若 OE，则正方形的面积为（ ） A5 B4 C3 D2 【解答】解：如图，过
14、点 O 作 OMCE 于 M，作 ONDE 交 ED 的延长线于 N， CED90 ， 四边形 OMEN 是矩形， MON90 ， COM+DOMDON+DOM， COMDON， 四边形 ABCD 是正方形， OCOD， 在 COM 和 DON 中， COMDON（AAS）， OMON， 四边形 OMEN 是正方形， 设正方形 ABCD 的边长为 2a， DCE30 ，CED90 DEa，CEa， 亦可按隐圆模型解答 设 DNx，x+DECEx，解得：x， NEx+a， OENE， ， a1， S正方形ABCD4 故选：B 变式练习变式练习 6如图， BE，CF 为ABC 的高，且交于点 H，
15、连接 AH 并延长交于 BC 于点 D，求证：ADBC. D H E F A B C 例题例题 7. 如图，在四边形 ABCD 中，BCD90 ，AC 为对角线，过点 D 作 DFAB，垂足为 E，交 CB 延 长线于点 F，若 ACCF，CADCFD，DFAD2，AB6，则 ED 的长为 【解答】解：CADCFD，点 A，F，C，D 四点共圆， FAD+DCF180 ，FACFDC， DCF90 ，FAD90 ， ACFC，FACAFC， DFAB，ABF+BFECDF+BFE90 ， ABFCDF，AFBABF，AFAB6， DFAD2，DFAD+2， DF2AF2+AD2，（2+AD）2
16、62+AD2，解得：AD8，DF10， FAD90 ，AEDF，ADEDAF， ，DE， 故答案为： 变式练习变式练习 7 （1）如图 1，E 是正方形 ABCD 的边 AB 上的一点，过点 E 作 DE 的垂线交ABC 的外角平分线于点 F， 求证：FE=DE. （2）如图 2，正方形 ABCD，EAF45 ，当点 E，F 分别在对角线 BD、边 CD 上，若 FC6，则 BE 的 长为 3 图 1 图 2 证明：（1）如图，连接 DB、DF. 四边形 ABCD 是正方形，且 BF 是CBA 的外角平分线， CBF=45 ，DBC=45 ， DBF=90 又DEF=90 ， D、E、B、F
17、四点共圆 DFE=DBE=45 （同弧所对的圆周角相等） DEF 是等腰直角三角形 FE=DE （2）解：作 ADF 的外接圆O，连接 EF、EC，过点 E 分别作 EMCD 于 M，ENBC 于 N（如图） ADF90 ，AF 为O 直径， BD 为正方形 ABCD 对角线，EDFEAF45 ， 点 E 在O 上，AEF90 ， AEF 为等腰直角三角形，AEEF， 在 ABE 与 CBE 中，ABECBE（SAS）， AECE，CEEF， EMCF，CF6，CMCF3， ENBC，NCM90 ，四边形 CMEN 是矩形，ENCM3， EBN45 ，BEEN3， 故答案为：3 例题例题 8.
18、 在锐角ABC 中， AB4， BC5， ACB45， 将ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转， 得到A1BC1， 点 E 为线段 AB 中点，点 P 是线段 AC 上的动点，在ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转过程中，点 P 的对应 点是点 P1，求线段 EP1长度的最大值与最小值 解析解析 如图，过点 B 作 BDAC，D 为垂足， 因为ABC 为锐角三角形，所以点 D 在线段 AC 上， 在 RtBCD 中，BDBCsin45； 当 P 在 AC 上运动与 AB 垂直的时候，ABC 绕点 B 旋转，使点 P 的对应点 P1在线段 AB 上时，EP1最 小，最小值为：EP1BP1BEBDBE
19、2； 当 P 在 AC 上运动至点 C，ABC 绕点 B 旋转，使点 P 的对应点 P1在线段 AB 的延长线上时，EP1最大， 最大值为：EP1BC+BE2+57 变式练习变式练习 8如图，已知等边ABC 的边长为 8，点 P 是 AB 边上的一个动点（与点 A、B 不重合）直线 l 是经过点 P 的一条直线，把ABC 沿直线 l 折叠，点 B 的对应点是点 B当 PB=6 时，在直线 l 变化过程中，求ACB 面积的最大值 CB A P CB A P H B P A BC 【分析】考虑 l 是经过点 P 的直线，且ABC 沿直线 l 折叠，所以 B轨迹是以点 P 为圆心，PB 为半径的圆
20、弧考虑ACB面积最大，因为 AC 是定值，只需 B到 AC 距离最大即可过 P 作作 PHAC 交 AC 于 H 点，与圆的交点即为所求 B点，先求 HB，再求面积答案为4 324. 达标检测 领悟提升 强化落实 1. 如图， AB 是半圆 O 的直径，点 C 在半圆 O 上，AB=10，AC=8D 是弧 BC 上的一个动点，连接 AD， 过点 C 作 CEAD 于 E，连接 BE在点 D 移动的过程中，BE 的最小值为 O E D C BA 答案为：2 134 【分析】E 是动点，E 点由点 C 向 AD 作垂线得来，AEC=90 ，且 AC 是一条定线段，所以 E 点轨迹是以 AC 为直径
21、的圆弧当 B、E、M 共线时，BE 取到最小值连接 BC，勾股定理求 BM，再减去 EM 即可 M O E D C BA AB C E O M 2. 如图，以正方形的边 AB 为斜边在正方形内作直角三角形 ABE，AEB90，AC、BD 交于 O已知 AE、 BE 的长分别为 3，5，求三角形 OBE 的面积 3. 如图，正方形 ABCD 的边长是 4，点 E 是 AD 边上一动点，连接 BE，过点 A 作 AFBE 于点 F，点 P 是 AD 边上另一动点，则 PC+PF 的最小值为_ AB CD E F P 答案为：2 132 【分析】AFB=90 且 AB 是定线段，故 F 点轨迹是以
22、AB 中点 O 为圆心、AB 为直径的圆考虑 PC+PF 是 折线段，作点 C 关于 AD 的对称点 C，化 PC+PF 为 PC+PF，当 C、P、F、O 共线时，取到最小值 O A BC D E O P F E DC BA C AB CD F P O 4. 如图，在 RtABC 中，ACB=90 ，B=30 ，AB=4，D 是 BC 上一动点，CEAD 于 E，EFAB 交 BC 于点 F，则 CF 的最大值是_ F E D C B A 【分析】AEC=90 且 AC 为定值，故 E 点轨迹是以 AC 为直径的圆弧考虑 EFAB，且 E 点在圆上，故 当 EF 与圆相切的时候，CF 取到最
23、大值 连接 OF，易证OCFOEF，COF=30 ，故 CF 可求答案为 3 3 O F E D C B A O F E C B A O F E C B A 5. 如图，ABC 为等边三角形，AB=3，若 P 为ABC 内一动点，且满足PAB=ACP，则线段 PB 长度的 最小值为_ A B C P 答案为3 6. 如图，AB 是半圆 O 的直径，点 C 在半圆 O 上，AB5cm，AC4cmD 是弧 BC 上的一个动点（含端 点 B，不含端点 C），连接 AD，过点 C 作 CEAD 于 E，连接 BE，在点 D 移动的过程中，BE 的取值 范围是 2BE3 【解答】解：如图， 由题意知，A
24、EC90 ， E 在以 AC 为直径的M 的上（不含点 C、可含点 N）， BE 最短时，即为连接 BM 与M 的交点（图中点 E点）， AB5，AC4， BC3，CM2， 则 BM， BE 长度的最小值 BEBMME2， BE 最长时，即 E 与 C 重合， BC3，且点 E 与点 C 不重合， BE3， 综上，2BE3， 故答案为：2BE3 7. 在 Rt ABC 中，C90 ，AC10，BC12，点 D 为线段 BC 上一动点以 CD 为O 直径，作 AD 交O 于点 E，连 BE，则 BE 的最小值为 8 【解答】解：解：如图，连接 CE， CEDCEA90 ， 点 E 在以 AC 为
25、直径的Q 上， AC10， QCQE5， 当点 Q、E、B 共线时 BE 最小， BC12， QB13， BEQBQE8， BE 的最小值为 8， 故答案为 8 8. 如图，在等腰 Rt ABC 中，BAC90 ，ABAC，BC，点 D 是 AC 边上一动点，连接 BD，以 AD 为直径的圆交 BD 于点 E，则线段 CE 长度的最小值为 22 【解答】解：连结 AE，如图 1， BAC90 ，ABAC，BC， ABAC4， AD 为直径， AED90 ， AEB90 ， 点 E 在以 AB 为直径的O 上， O 的半径为 2， 当点 O、E、C 共线时，CE 最小，如图 2， 在 Rt AO
26、C 中，OA2，AC4， OC2， CEOCOE22， 即线段 CE 长度的最小值为 22 故答案为 22 9. 如图，在矩形 ABCD 中，已知 AB4，BC8，点 O、P 分别是边 AB、AD 的中点，点 H 是边 CD 上的 一个动点，连接 OH，将四边形 OBCH 沿 OH 折叠，得到四边形 OFEH，连接 PE，则 PE 长度的最小值是 22 【解答】解：如图，连接 EO、PO、OC 四边形 ABCD 是矩形， BOAP90 ， 在 Rt OBC 中，BC8，OB2， OC2， 在 Rt AOP 中，OA2，PA4， OP2， OEOC2，PEOEOP， PE 的最小值为 22 故答
27、案为 22 10. 如图，矩形 ABCD 中，AB3，BC4，点 E 是 AB 边上一点，且 AE2，点 F 是边 BC 上的任意一点， 把 BEF 沿 EF 翻折，点 B 的对应点为 G，连接 AG，CG，则四边形 AGCD 的面积的最小值为 【解答】解：四边形 ABCD 是矩形， CDAB3，ADBC4，ABCD90 ，根据勾股定理得，AC5， AB3，AE2， 点 F 在 BC 上的任何位置时，点 G 始终在 AC 的下方， 设点 G 到 AC 的距离为 h， S四边形AGCDS ACD+S ACGAD CD+AC h 4 3+ 5 hh+6， 要四边形 AGCD 的面积最小，即：h 最小， 点 G 是以点 E 为圆心，BE1 为半径的圆上在矩形 ABCD 内部的一部分点， EGAC 时，h 最小，即点 E，点 G，点 H 共线 由折叠知EGFABC90 ， 延长 EG 交 AC 于 H，则 EHAC， 在 Rt ABC 中，sinBAC， 在 Rt AEH 中，AE2，sinBAC， EHAE， hEHEG1， S四边形AGCD最小h+6+6 故答案为：
