第3讲对角互补模型（解析版）.doc

1、 中考数学几何模型 3：对角互补模型 名师点睛 拨开云雾 开门见山 共顶点模型，即四边形或构成的几何图形中，相对的角互补。主要：含 90的对角互补，含 120的 对角互补，两种类型，种类不同，得出的个别结论会有所区别。解决此类题型常用到的辅助线画法主要有 两种：旋转法和过顶点作两垂线. 类型一：含类型一：含 9090的对角互补模型的对角互补模型 （1）如图，AOB=DCE=90，OC 平分AOB，则有以下结论： CDCE； = 2ODOEOC； 2 1 += 2 OCDOCE SSOC 作法 1 作法 2 （2）如图，AOB=DCE=90，OC 平分AOB，当DCE 的一边与 AO 的延长线交

2、于点 D 时，则有以 下结论： CDCE； -= 2OE ODOC； 2 1 -= 2 OCEOCD SSOC 作法 1 作法 2 类型二：含类型二：含 120120的对角互补模型的对角互补模型 （1）如图，AOB=2DCE=120，OC 平分AOB，则有以下结论： CDCE； =ODOE OC； 2 3 += 4 OCDOCE SSOC 作法 1 作法 2 （2）如图，AOB=DCE=90，OC 平分AOB，当DCE 的一边与 AO 的延长线交于点 D 时，则有以 下结论： CDCE； -= 2OE ODOC； 2 1 -= 2 OCEOCD SSOC 作法 1 作法 2 典题探究 启迪思维

3、 探究重点 例题例题 1. 如图，正方形 ABCD 与正方形 OMNP 的边长均为 10，点 O 是正方形 ABCD 的中心，正方形 OMNP 绕 O 点旋转，证明：无论正方形 OMNP 旋转到何种位置，这两个正方形重叠部分的面积总是一个定值， 并求这个定值 【解答】解：当 OPAD 或 OP 经过 C 点， 重叠部分的面积显然为正方形的面积的，即 25， 当 OP 在如图位置时，过 O 分别作 CD，BC 的垂线垂足分别为 E、F， 如图在 RtOEG 与 RtOFH 中，EOGHOF，OEOF5， OEGOFH， S四边形OHCGS四边形OECF25，即两个正方形重叠部分的面积为 25 变

4、式练习变式练习 1. 角线交于点 O，点 E、F 分别在 AB、BC 上（AEBE） ，且EOF90，OE、DA 的延长线交于点 M， OF、AB 的延长线交于点 N，连接 MN （1）求证：OMON （2）若正方形 ABCD 的边长为 4，E 为 OM 的中点，求 MN 的长 【解答】解： （1）四边形 ABCD 是正方形， OAOB，DAO45，OBA45， OAMOBN135， EOF90，AOB90， AOMBON， OAMOBN（ASA） ， OMON； 例题例题 2. 四边形 ABCD 被对角线 BD 分为等腰直角ABD 和直角CBD，其中A 和C 都是直角，另一条 对角线 AC

5、的长度为 2，求四边形 ABCD 的面积 【解答】解：将ABC 绕点 A 旋转 90，使 B 与 D 重合，C 到 C点， 则有CDCADC+ADCADC+ABC180， 所以 C、D、C在同一直线上，则 ACDC是三角形， 又因为 ACAC， 所以ACC是等腰直角三角形， 在ABC 和ADC中 ABCADC（SAS） ， 四边形 ABCD 的面积等于等腰直角三角形 ACC的面积， 所以 S四边形ABCDSACC222 变式练习变式练习 2. 如图，在四边形 ABCD 中，A=C=90，AB=AD，若这个四边形的面积为 12，则 BC+CD=_. 答案：4 3 例题例题 3. 如图，在 RtA

6、BC 中，ABC90，AB3，BC4，RtMPN，MPN90，点 P 在 AC 上， PM 交 AB 于点 E，PN 交 BC 于点 F，当 PE2PF 时，AP 3 【解答】解：如图作 PQAB 于 Q，PRBC 于 R PQBQBRBRP90， 四边形 PQBR 是矩形， QPR90MPN， QPERPF， QPERPF， 2， PQ2PR2BQ， PQBC， AQ：QP：APAB：BC：AC3：4：5，设 PQ4x，则 AQ3x，AP5x，BQ2x， 2x+3x3， x， AP5x3 故答案为 3 变式练习变式练习 3. 如图，在矩形 ABCD 中，AB3，BC5，点 E 在对角线 AC

7、 上，连接 BE，作 EFBE，垂足为 E，直线 EF 交线段 DC 于点 F，则（ ） A B C D 【解答】解：如图，连接 BF，取 BF 的中点 O，连接 OE，OC 四边形 ABCD 是矩形，EFBE， BEFBCF90，ABCD3，BCAD5， OBOF， OEOBOFOC， B，C，F，E 四点共圆， EBFECF， tanEBFtanACD， ， 故选：B 【本题两种方法解答，过 E 作两垂线亦可】 例题例题 4. 用两个全等且边长为 4 的等边三角形ABC 和ACD 拼成菱形 ABCD把一个 60角的三角尺与 这个菱形叠合，使三角尺的 60角的顶点与点 A 重合，两边分别与

8、AB，AC 重合，将三角尺绕点 A 按逆时 针方向旋转 （1）当三角尺的两边分别与菱形的两边 BC，CD 相交于点 E，F 时， （如图 1） ，通过观察或测量 BE，CF 的长度，你能得出什么结论？（直接写出结论，不用证明） ； （2）当三角尺的两边分别与菱形的两边 BC，CD 的延长线相交于点 E，F 时（如图 2） ，你在（1）中得到 的结论还成立吗？说明理由； （3）在上述情况中，AEC 的面积是否会等于？如果能，求 BE 的长；如果不能，请说明理由 【解答】解： （1）BECF 证明：在ABE 和ACF 中， BAE+EACCAF+EAC60， BAECAF ABAC，BACF60，

9、 ABEACF（ASA） BECF； （3）能 AEC 的 CE 边上的高为等边ABC 的高，为 2， AEC 的面积等于， 底边 CE2， BE6 或 2 变式练习变式练习 4. 我们规定：横、纵坐标相等的点叫做“完美点” （1）若点 A（x，y）是“完美点” ，且满足 x+y4，求点 A 的坐标； （2）如图 1，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 是正方形，点 A 坐标为（0，4） ，连接 OB，E 点从 O 向 B 运动，速度为 2 个单位/秒，到 B 点时运动停止，设运动时间为 t 不管 t 为何值，E 点总是“完美点” ； 如图 2，连接 AE，过 E 点作 PQx 轴分别交 A

10、B、OC 于 P、Q 两点，过点 E 作 EFAE 交 x 轴于点 F， 问：当 E 点运动时，四边形 AFQP 的面积是否发生变化？若不改变，求出面积的值；若改变，请说明理由 【解答】解（1）点 A（x，y）是“完美点” xy x+y4 x2，y2 A 点坐标（2，2） （2）四边形 OABC 是正方形， 点 A 坐标为（0，4） ， AOABBC4 B（4，4） 设直线 OB 解析式 ykx 过 B 点 44k k1 直线 OB 解析式 yx 设点 E 坐标（x，y） 点 E 在直线 OB 上移动 xy 不管 t 为何值，E 点总是“完美点” 例题例题 5. 已知，点 P 是MON 的平分

11、线上的一动点，射线 PA 交射线 OM 于点 A，将射线 PA 绕点 P 逆时针 旋转交射线 ON 于点 B，且使APB+MON180 （1）利用图 1，求证：PAPB； （2）如图 2，若点 C 是 AB 与 OP 的交点，当 SPOB3SPCB时，求 PB 与 PC 的比值； （3）若MON60，OB2，射线 AP 交 ON 于点 D，且满足且PBDABO，请借助图 3 补全图 形，并求 OP 的长 【解答】解： （1）作 PEOM，PFON，垂足为 E、F 四边形 OEPF 中，OEPOFP90， EPF+MON180，已知APB+MON180， EPFAPB，即EPA+APFAPF+F

12、PB， EPAFPB， 由角平分线的性质，得 PEPF， EPAFPB，即 PAPB； （2）SPOB3SPCB， PO3PC， 由（1）可知PAB 为等腰三角形，则 PBC（180APB）MONBOP， 又BPCOPB（公共角） ， PBCPOB， ， 即 PB2POPC3PC2， 达标检测 领悟提升 强化落实 1. 如图，在等腰 RtABC 中，C=90，AC=8，F 是 AB 边上的中点，点 D、E 分别在 AC、BC 边上运动， 且保持 AD=CE，连结 DE、DF、EF，在此运动变化的过程中，下列结论：DEF 是等腰直角三角形；四 边形 CDFE 不可能为正方形；四边形 CDFE 的

13、面积保持不变；DE 长度的最小值为 4；CDE 面积的最 大值为 8，其中正确的结论是_. 答案： 2. 如图，在四边形 ABCD 中，AB=BC，ABC=CDA=90，BEAD 于点 E，且四边形 ABCD 的面积为 8，求 BE 的长. 答案：2 2 3. 如图，正方形 ABCD 的边长为 6，点 O 是对角线 AC，BD 的交点，点 E 在 CD 上，且 DE2CE，连接 BE过点 C 作 CFBE，垂足为点 F，连接 OF求： （1）CF 的长； （2）OF 的长 【解答】解： （1）如图，在 BE 上截取 BGCF，连接 OG， RTBCE 中，CFBE， EBCECF， OBCOC

14、D45， OBGOCF， 在OBG 与OCF 中， ， OBGOCF（SAS） ， OGOF，BOGCOF， OGOF， 在 RTBCE 中，BCDC6，DE2EC， EC2， BE2， BC2BFBE， 则 62BF2解得：BF， EFBEBF， CF2BFEF， CF； 4. 如图，QPN 的顶点 P 在正方形 ABCD 两条对角线的交点处，QPN，将QPN 绕点 P 旋转，旋 转过程中QPN 的两边分别与正方形 ABCD 的边 AD 和 CD 交于点 E 和点 F（点 F 与点 C，D 不重 合） （1）如图，当 90时，DE，DF，AD 之间满足的数量关系是 DE+DFAD ； （2）

15、如图，将图中的正方形 ABCD 改为ADC120的菱形，其他条件不变，当 60时， （1） 中的结论变为 DE+DFAD，请给出证明； （3）在（2）的条件下，若旋转过程中QPN 的边 PQ 与射线 AD 交于点 E，其他条件不变，探究在整 个运动变化过程中，DE，DF，AD 之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明 【解答】解： （1）正方形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 P， PAPD，PAEPDF45， APE+EPDDPF+EPD90， APEDPF， 在APE 和DPF 中 APEDPF（ASA） ， AEDF， DE+DFAD； （2）如图，取 AD 的中点 M，连

16、接 PM， 四边形 ABCD 为ADC120的菱形， BDAD，DAP30，ADPCDP60， MDP 是等边三角形， PMPD，PMEPDF60， PAM30， MPD60， QPN60， MPEFPD， 在MPE 和DPF 中， MPEDPF（ASA） MEDF， DE+DFAD； 5. “如图 1，在 RtABC 中，ACB90，CDAB 于点 D ”这里，根据已学的相似三角形的知识，易 证：在图 1 这个基本图形的基础上，继续添加条件“如图 2，点 E 是直线 AC 上一动点，连 接 DE，过点 D 作 FDED，交直线 BC 于点 F，设 ” （1）探究发现：如图，若 mn，点 E

17、在线段 AC 上，则 1 ； （2）数学思考： 如图 3，若点 E 在线段 AC 上，则 （用含 m，n 的代数式表示） ； 当点 E 在直线 AC 上运动时，中的结论是否仍然成立？请仅就图 4 的情形给出证明； （3）拓展应用：若 AC，BC2，DF4，请直接写出 CE 的长 【解答】解： （1）当 mn 时，即：BCAC， ACB90， A+ABC90， CDAB， DCB+ABC90， ADCB， FDEADC90， FDECDEADCCDE， 即ADECDF， ADECDF， ADCB，ADCBDC90， ADCCDB， 1，1， 故答案为 1 （2）ACB90， A+ABC90， C

18、DAB， DCB+ABC90， ADCB， FDEADC90， FDECDEADCCDE， 即ADECDF， ADECDF， ADCB，ADCBDC90， ADCCDB， ， 故答案为 （3）由（2）有，ADECDF， ， ， CF2AE， 在 RtDEF 中，DE2，DF4， EF2， 当 E 在线段 AC 上时，在 RtCEF 中， CF2AE2（ACCE）2（CE） ，EF2， 根据勾股定理得，CE2+CF2EF2， CE2+2（CE）240 CE2，或 CE（舍） 而 ACCE， 此种情况不存在， 6.（2019贵阳适应性）如图，已知 AC=BC，ACBC，直线 MN 经过点 B，过点 A 作 ADMN，垂足为 D， 连接 CD （1）动手操作：根据题意，请利用尺规将图补充完整； （保留作图痕迹，不写作法） （2）探索证明：在补充完成的图中，猜想 CD、BD 与 AD 之间的数量关系，并说明理由； （3）探索拓广：一天小明一家在某公园游玩时走散了，电话联系后得知，三人的位置如图，爸爸在 A 处， 妈妈在 C 处， 小明在 D 处， B 为公园大门口， 若 B、 D 在直线 MN 上， 且 ACBC， ADMN， AC=BC， AD=100m， CD=40m，求出小明到公园门口的距离 BD 的长度.