1、等比数列的前等比数列的前n项和项和 国际象棋的棋盘上共有国际象棋的棋盘上共有8行行8列列,构成构成64个格子个格子.国际象棋起源于古代印度国际象棋起源于古代印度,关于关于国际象棋有这样一个传说国际象棋有这样一个传说.引入引入:国王要奖赏国际象棋的发明者国王要奖赏国际象棋的发明者,问他有问他有什么要求什么要求,发明者说发明者说:“请在棋盘的第请在棋盘的第1个格个格子里放上子里放上1颗麦粒颗麦粒,在第在第2个格子里放上个格子里放上2颗颗麦粒麦粒,在第在第3个格子里放上个格子里放上4颗麦粒颗麦粒,在第在第4个格子里放上个格子里放上8颗麦粒颗麦粒,依此依此类推类推,每个格子里放的麦粒数都是前一个每个格
2、子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒的格子里放的麦粒的2倍倍,直到第直到第64个格子个格子,请请你认为国王有能力满足发明者上述你认为国王有能力满足发明者上述要求吗要求吗?给我足够的粮食来实现上述要求给我足够的粮食来实现上述要求”.国王国王觉得这并不是很难办到的觉得这并不是很难办到的,就欣然同意了就欣然同意了他的要求他的要求.让我们来分析一下让我们来分析一下:由于每个格子里的麦粒数都是前一个格由于每个格子里的麦粒数都是前一个格子里的麦粒数的子里的麦粒数的2倍倍,且共有且共有64个格子个格子,各个各个格子里的麦粒数依次是格子里的麦粒数依次是,2,2,2,2,16332 于是发明者要求的麦粒总数就
3、是于是发明者要求的麦粒总数就是,222216332 一、复习一、复习1.等比数列的定义：等比数列的定义：10nnaqa11 nnqaannaaaS 21 2111nSSnSannn2等比数列的通项公式：等比数列的通项公式：数列的前项和与通项之间的关系：数列的前项和与通项之间的关系：二、等比数列前二、等比数列前n项和公式的推导项和公式的推导(一一)用等比定理推导用等比定理推导当当 q=1 时时 Sn=n a1因为因为qaaaaaaaann 1342312所以所以qaaaaaaaann 1321432qaSaSnnn 1qqaaSnn 11)1(1)1(1 qqqaSnn或或(二二)从基本问题出发
4、从基本问题出发 公式公式Sn=a1+a2+a3+.+an-1+an =a1+a1q+a1q2+.+a1qn-2+a1qn-1=a1+q(a1+a1q+.+a1qn-3+a1qn-2)=a1+q Sn-1=a1+q(Sn an)1(1)1(1 qqqaSnn(三三)从从(二二)继续发散开有继续发散开有Sn=a1+a1q+a1q2+a1qn-2+a1qn-1 (*)q Sn=a1q+a1q2+a1q3+a1qn (*)两式相减有两式相减有(1 q)Sn=a1 a1 q n.S n=.三、小结三、小结v上述几种求和的推导方式中上述几种求和的推导方式中v 第一种依赖的是第一种依赖的是定义特征定义特征及
5、及等比性质等比性质 进行推导进行推导,v 第二种则是借助的第二种则是借助的和式的代数特征和式的代数特征进进 行恒等变形而得行恒等变形而得,v而第三种方法我们称之为而第三种方法我们称之为错位相减法错位相减法.v 由由 Sn.an,q,a1 ,n 知三知三而可而可求二求二.四、例题选讲四、例题选讲:例例1.求等比数列求等比数列1/2,1/4,1/8,的前的前n项和项和 分析分析:拆项后构成两个等比数列的和的问拆项后构成两个等比数列的和的问题题,这样问题就变得容易解决了这样问题就变得容易解决了.例例2.求和求和)1,1,0()1()1()1(22 yxxyxyxyxnn例例1 1：解：解：由由a a
6、1 1=1/2 ，n=8,n=8,得得q=1/41/2=1/28n111()25522S12561222111()()()nnxxxyyy22111()()nnxxxyyy:解 当x0,x1,y1时,例例2：11(1)(1)111nnxxyyxy1111nnnnxxyxyy例例3 3：某制糖厂第某制糖厂第1 1年制糖年制糖5 5万吨，如果平均每万吨，如果平均每年的产量比上一年增加年的产量比上一年增加10%10%，那么第，那么第1 1年起，约年起，约几年内可使总产量达到几年内可使总产量达到3030万吨（保留到个位）？万吨（保留到个位）？解：解：根据题意，每年的产量比上一年增加的根据题意，每年的产
7、量比上一年增加的百分率相同，所以从第年起，每年的产量百分率相同，所以从第年起，每年的产量组成一个等比数列组成一个等比数列a an n。其中：其中：a a1 1=5=5，q=1+10%=1.1q=1+10%=1.1，S Sn n=30=30；1.11.1n n=1.6=1.6于是得到：于是得到：整理得：整理得：n5(1 1.1)301 1.1nlg1.1=lg1.6nlg1.1=lg1.6答：约答：约5 5年内可以使总产量达到年内可以使总产量达到3030万吨。万吨。两边取对数：两边取对数：lg1.60.20n5(lg1.10.041年）例例4：已知已知Sn是等比数列是等比数列an的前的前n项和，
8、项和，S3，S9，S6成等差数列，求证：成等差数列，求证：a2，a8，a5成等差数列。成等差数列。分析：由分析：由S3，S9，S6成等差数列，得成等差数列，得S3+S6=2S9，要证，要证a2，a8，a5成等差数列，成等差数列，只要证：只要证：a2+a5=2a8369111(1)(1)2(1)111aqaqaqqqq证明：由由S3，S9，S6成等差数列，得成等差数列，得S3+S6=2S9这里这里q1。事实上，如果。事实上，如果q=1，则，则S3=3a1，S6=6a1，S9=a1，由，由a10，得，得S3+S62S9，与题设矛盾，所以与题设矛盾，所以q1由由S3+S6=2S9，得，得整理，得 q3+q6=2q9360,12qqq由得432511167118,(1)(2)22a aa qa qa qqa qqa qa因此 =285,aaa所 以成 等 差 数 列
