1、 微专题 16 含参数函数的单调区间 在高考导数的综合题中，所给函数往往是一个含参数的函数，且导函数含有参数，在分 析函数单调性时面临的分类讨论。本节通过一些例题总结参数讨论的方法与技巧，便于更加 快速准确的分析含参数函数的单调区间。 一、基础知识： 1、导数解单调区间的步骤：利用导数求函数单调区间的方法，大致步骤可应用到解含参函数 的单调区间。 即确定定义域求出导函数令 0fx 解不等式得到递增区间后取定义域 的补集（减区间）单调性列出表格 2、求含参函数单调区间的实质解含参不等式，而定义域对x的限制有时会简化含参不等 式的求解 3、求单调区间首先确定定义域，并根据定义域将导数不等式中恒正恒
2、负的项处理掉，以简化 讨论的不等式 4、关于分类讨论的时机与分界点的确定 （1）分类时机：并不是所有含参问题均需要分类讨论，例如解不等式：0 xa，其解集为 , a ，中间并没有进行分类讨论。思考：为什么？因为无论参数a为何值，均是将a移到 不等号右侧出结果。 所以不需要分类讨论， 再例如解不等式 2 0 xa， 第一步移项得： 2 xa （同样无论a为何值，均是这样变形） ，但是第二步不等式两边开方时发现a的不同取值会导 致不同结果，显然a是负数时，不等式恒成立，而a是正数时，需要开方进一步求解集，分类 讨论由此开始。体会：什么时候开始分类讨论？简而言之，当参数的不同取值对下一步的影 响不相
3、同时，就是分类讨论开始的时机。所以一道题是否进行分类讨论不是一开始就决定的， 而是在做的过程中遇到不同值导致不同步骤和结果，就自然的进行分类讨论。 （2）分界点的 确定：分类讨论一定是按参数的符号分类么？不一定。要想找好分界点，首先要明确参数在要明确参数在 问题中所扮演的角色问题中所扮演的角色。例如上面的不等式 2 xa，a所扮演的角色是被开方数，故能否开方 是进行下一步的关键，那自然想到按a的符号进行分类讨论。 （3）当参数取值为一个特定值时，可将其代入条件进行求解 （4）当参数a扮演多个角色时，则以其中一个为目标进行分类，在每一大类下再考虑其他角 色的情况以及是否要进行进一步的分类。 例如
4、：解不等式：110axx，可得： 12 1 0 ,1xax a 此时a扮演两个角 色，一个是x的系数，将决定解集是小大根之外还是小大根之间，另一个角色是决定 1 x的大 小，进而要和 2 x来角逐大小根。那么在处理时可先以其中一个为主要目标，例如以x系数的 正负，进行分类。 当0a时，此时不等式的解集为小大根之间，而由于0a，以此为前提 12 01xx ， 故小大根不存在问题，解集为 1 ,1 a 当0a 时，不等式变为10,1xx 当0a 时，不等式解集为小大根之外，而 12 1 0,1xx a ， 12 ,x x的大小由a的取值决 定，所以自然考虑再结合小大根进行进一步讨论了。 （重视的对
5、比） 12 01xxa时，不等式解集为 1 ,1, a 12 1xxa时，不等式化为 2 101xx 12 1xxa时，不等式解集为 1 ,1, a 希望通过此例能够体会分类讨论的时机与分界，若能领悟，其分类讨论不再是一个难点，而 是有线索可循了。 二、典型例题： 例 1：已知函数 1 ln x f xx ax ，求 f x的单调区间 解：定义域0,x 1 1 1lnf xx ax 22 111ax fx axxax 令 0fx ，所解不等式为 1 0 ax a 当0a 时，即解不等式 1 10axx a f x的单调区间为： x 1 0, a 1 , a fx + f x 当0a时，10,0
6、axa 0fx恒成立 f x 为增函数: 例 2：已知函数 32 3 31f xaxx a （1）若 f x的图像在1x处的切线与直线 1 1 3 yx 垂直，求实数a的值 （2）求函数）求函数 f x的单调区间的单调区间 解： （1）由切线与 1 1 3 yx 垂直可得： 13f 2 36fxaxx 13631faa （2）思路：导函数 2 36fxaxx，令 0fx 解单调增区间，得到含参不等式。分类 讨论时注意a扮演两个角色：一个是影响最高次项的符号，一个是影响方程的根 解： 2 36fxaxx 令 0fx 即 2 360axx 320 x ax 0a 12 2 0,xx a 21 xx
7、 （将a的范围分类后， 要善于把每一类的范围作为已知条使用 件，在本题中使用0a的条件使得 12 ,x x大小能够确定下来，避免了进一步的分类） f x的单调区间为： x ,0 2 0, a 2 , a fx + f x 0a 21 xx f x的单调区间为： x 2 , a 2 ,0 a 0, fx + f x 例 3：已知函数 2 2lnf xxax，求 f x的单调区间 解：定义域：0,x 2 222 2 ax fxax xx ，令 0fx ，可得： 2 220ax 即 2 1ax 当0a 时， 2 1 0, a xx aa f x的单调区间为： x 0, a a , a a fx f
8、x 当0a 时， 2lnf xx为增函数 当0a时， 2 222 20 ax fxax xx 恒成立 f x为增函数 例 4：讨论函数 2 1 ln1f xaxax的单调区间 解： 2 121 2 aaxa fxax xx 令 0fx 即 22 21021axaaxa （注意定义域为0,+，所以导函数分母恒正，去掉后简 化所解不等式） 0a 时 2 1 2 a x a （求解x需要除以2a后开方，进而两个地方均需要分类讨论，先从2a的 符号入手） 1 00 2 a a a 0fx恒成立， f x在0,单调递增 0a 函数 ln1f xx 为增函数 0a时 2 1 2 a x a （下一步为开方
9、出解集，按 1 2 a a 的符号进行再分类） 当 1 0 2 a a 即1a 时， 0fx 恒成立， f x在0,单调递减 当 1 0 2 a a 即10a 时，解得： 1 0 2 a x a f x的单调区间为： x 1 0, 2 a a 1, 2 a a fx + f x 小炼有话说：本题定义域为0,，故对单调区间既有促进作用又有制约作用：促进作用体 现在对所解不等式的简化，请大家养成一个良好习惯，当已知变量范围时，一边关注范围一 边解不等式。制约作用体现在单调区间应该是定义域的子集，所以在10a 时，表格中自 变量的区间是从0 x 处开始分析的 例 5：已知函数 2 2lnf xxax
10、 x ，讨论 f x的单调性 解：定义域为0, 2 22 22 1 axax fx xxx 令 0fx 即 2 20 xax 考虑 2 8a （左边无法直接因式分解，考虑二次函数是否与x轴有交点） 02 22 2a时 2 20 xax恒成立，故 f x在0,单调递增 2 2a 时 2 20 xax的解 22 12 88 , 22 aaaa xx 12 ,0 x x 2 20 xax的解集为 22 88 0, 22 aaaa f x的单调区间为： x 2 8 0, 2 aa 22 88 , 22 aaaa 2 8 , 2 aa fx + f x 2 2a 时 12 ,0 x x 0,x 0fx
11、f x在0,单调递增 小炼有话说：本题亮点在于的讨论，判断极值点是否在定义域中。进而确定单调性。除 了解出根来判断符号之外，本题还可以利用韦达定理进行判断。 12 2xx，说明两根同号， 而 12 xxa，说明a的符号决定 12 ,x x的正负，从而在0 的情况下进行再次分类讨论 例 6：已知函数 1 ax a fxea x ，其中1a . （1）当1a 时，求曲线 yf x在点 1,1f处的切线方程； （2 2）求）求 f x的单调区间的单调区间 解： （1） 1 2 x fxe x 2 11 2 x fxe xx 13 ,12fe fe 切线方程为：321yee x，即2yexe （2）
12、2 111 ,0 ax xax fxaex x ， 令 0fx ，即解不等式： 1110a xax 当1a 时，解得：1x ，故 f x的单调区间为： x , 1 1,0 0, fx + f x 当10a 时 12 1 1,0 1 xx a ，所以解得： 1 1 1 x a 故 f x的单调区间为： x , 1 1,0 1 0, 1a 1 , 1a fx + f x 0a ，则 1f x ，常值函数不具备单调性 0a 时，解得：1x或 1 1 x a 故 f x的单调区间为： x , 1 1,0 1 0, 1a 1 , 1a fx + f x 例 7：已知函数 2 1 ln1 2 fxxaxa
13、xaR.求函数 f x的单调区间. 解： 2 11 111 xaxx xaa fxxa xxx 令 0fx ，即10 x xa， 12 0,1xxa （参数a角色： 12 ,x x的大小， 2 x是否在定义域内，以为目标分类） 21 10 xxa即1a （此时1a一定在定义域中，故不再分类） 不等式的解集为10 x 或1xa f x的单调区间为： x 1,0 0,1a 1 ,a fx f x 21 1xxa 2 0fxx f x在1, 单调递增 21 01xxa ，要根据 2 x是否在1,0进行进一步分类 当10a 时， 2 0,1x 不等式的解集为0 x 或11xa f x的单调区间为： 当
14、0a 时，则10 xa ，不等式的解集为0 x ， f x的单调区间为： 小炼有话说： （1）在求单调区间时面临一个 0fx 的根是否在定义域中的问题，由此也可体会到定义 域对单调区间“双刃剑”的作用，一方面缩小自变量的范围从而有利于不等式的化简，另一 方面也圈住了单调区间，极值点所在的范围。 （2）体会参数起到多重作用时，是如何进行分类讨论的，以及在某个大前提下，参数讨论也 可进行些简化。 例 8：已知函数 2 ln2f xxaxax，求 f x的单调区间 解：定义域|0 x x 2 2212111 22 axaxxax fxaxax xxx 令 0fx ，即解不等式2110 xax x 1
15、,1a 1 ,0a 0, fx f x x 1,0 0,+ fx f x （1）当0a时，可得10ax ，则不等式的解为 1 2 x f x的单调区间为： x 1 0, 2 1 , 2 fx + f x （2）当0a时， 12 11 , 2 xx a 12 xx时，即 11 2 2 a a ，解得 1 2 x 或 1 0 x a f x的单调区间为： x 1 0, a 1 1 , 2a 1 , 2 fx f x 12 2xxa ，代入到 2 21 0 x fx x 恒成立 f x为增函数 12 20 xxa ，解得： 1 x a 或 1 0 2 x f x的单调区间为： x 1 0, 2 11
16、 , 2a 1 , a fx f x 例 9：设函数 32 1 212,0 3 fxaxaxa x a，求 f x的单调区间； 解： 2 41 2fxaxaxa ，令 0fx 即 2 4120axaxa 22 1641 2244461aaaaaaa （1） 1 00 6 a 则 0fx 恒成立 f x在R上单调递增 （2）00a或 1 6 a 22 42446 2 2 aaaaa x aa 当0a时，解得 22 66 22 aaaa x aa ， f x单调区间为： x 2 6 , 2 aa a 22 66 2, 2 aaaa aa 2 6 2, aa a fx f x 当 1 6 a 时，解
17、得： 2 6 2 aa x a 或 2 6 2 aa x a f x单调区间为： x 2 6 , 2 aa a 22 66 2, 2 aaaa aa 2 6 2, aa a fx f x 例 10：已知函数 , n f xnxx xR，其中,2nN n ，试讨论 f x的单调性 思路： 11 1 nn fxnnxnx ，可令 0fx ，则需解不等式 1 1 n x ，由于1n 的奇偶不同会导致解集不同，所以可对n分奇偶讨论 解： 11 1 nn fxnnxnx 令 0fx 解得 1 1 n x 当n为奇数时，1n为偶数，可解得：11x f x的单调区间为： x , 1 1,1 1, fx f x 当n为偶数时，1n为奇数，可解得：1x f x的单调区间为： x ,1 1, fx f x
