1、思考：思考：下列四个命题：下列四个命题：（1）若）若f(x)是正弦函数，则是正弦函数，则f(x)是周期函数；是周期函数；（2）若）若f(x)是周期函数，则是周期函数，则f(x)是正弦函数；是正弦函数；（3）若）若f(x)不是正弦函数，则不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；不是周期函数；（4）若）若f(x)不是周期函数，不是周期函数，则则f(x)不是正弦函数；不是正弦函数；我们已经知道命题（我们已经知道命题（1）与命题（）与命题（2）（）（3）（4）之间的关系。你能说出其中任意两个命题）之间的关系。你能说出其中任意两个命题之间的相互关系吗？之间的相互关系吗？我们发现，命题（我们发现，命题（2）
2、（）（3）是互）是互为为逆否命题逆否命题，命题（，命题（2）（）（4）是）是互否互否命题命题，命题（，命题（3）（）（4）是）是互逆命题互逆命题。一般地，原命题、逆命题、否命一般地，原命题、逆命题、否命题与逆否命题这四种命题之间的相互关题与逆否命题这四种命题之间的相互关系如下图所示：系如下图所示：原命题原命题逆命题逆命题否命题否命题逆否命题逆否命题若若p，则，则q 若若q，则，则p若若p,则则q若若q,则则p互互 逆逆互互 逆逆互互 否否互互 否否互互 为为 逆逆 否否互互 为为 逆逆 否否 前面考察了四种命题之间的相互关系。前面考察了四种命题之间的相互关系。那么，它们的真假性是否也有一定的相
3、互那么，它们的真假性是否也有一定的相互关系呢？关系呢？下列四个命题：下列四个命题：（1）若）若f（x）是正弦函数，）是正弦函数，则则f（x）是周期函数；）是周期函数；（2）若）若f（x）是周期函数，）是周期函数，则则f（x）是正弦函数；）是正弦函数；（3）若）若f（x）不是正弦函数，）不是正弦函数，则则f（x）不是周期函数；）不是周期函数；（4）若）若f（x）不是周期函数，）不是周期函数，则则f（x）不是正弦函数；）不是正弦函数；真命题真命题真命题真命题假命题假命题假命题假命题探究：探究：1、以、以“若若x2-3x+2=0，则，则x=2”为原命题，为原命题，写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并
4、写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并判断这些命题的真假。判断这些命题的真假。逆命题逆命题:若若x=2,则则x2-3x+2=0否命题否命题:若若x2-3x+2 0,则则x 2逆否命题逆否命题:若若x 2,则则x2-3x+2 0(原命题为假命题原命题为假命题)真命题真命题真命题真命题假命题假命题2、分析其他的一些命题，你能从中发、分析其他的一些命题，你能从中发现四种命题的真假性间有什么规律吗？现四种命题的真假性间有什么规律吗？例如例如(1)原命题原命题:若若x=y,则则x2=y2逆命题逆命题:若若x2=y2,则则x=y否命题否命题:若若x y,则则x2 y2逆否命题逆否命题:若若x2 y2,则则x
5、 y(2)原命题原命题:当当c0时时,若若ab,则则acbc逆命题逆命题:当当c0时时,若若acbc,则则ab否命题否命题:当当c0时时,若若a b,则则ac bc逆否命题逆否命题:当当c0时时,若若ac bc,则则a b真命题真命题真命题真命题真命题真命题真命题真命题真命题真命题真命题真命题假命题假命题假命题假命题 一般地一般地,四种命题的真假性四种命题的真假性,有而有而且仅有下面四种情况且仅有下面四种情况:假假假假假假假假假假真真真真假假真真假假假假真真真真真真真真真真逆否命题逆否命题否命题否命题逆命题逆命题原命题原命题 由于逆命题和否命题也是互为逆否命由于逆命题和否命题也是互为逆否命题题
6、,因此四种命题的真假性之间的关系如下因此四种命题的真假性之间的关系如下:(1)两个命题互为两个命题互为逆否命题逆否命题,它们有它们有相同相同 的真假性的真假性;(2)两个命题为两个命题为互逆命题互逆命题或或互否命题互否命题,它它 们的真假性们的真假性没有关系没有关系.由于由于原命题原命题和它的和它的逆否命题逆否命题有有相同相同的真假的真假性性,所以在直接证明某一个命题为所以在直接证明某一个命题为真命题真命题有困难有困难时时,可以通过证明它的可以通过证明它的逆否命题逆否命题为真命题为真命题,来间来间接地证明接地证明原命题原命题为真命题为真命题.例例4 证明证明:若若p2+q2=2,则则p+q 2
7、分析分析:将若将若“p2+q2=2,则则p+q 2”视为原命视为原命题题.要证明原命题为真要证明原命题为真,可以考虑证明它的可以考虑证明它的逆否命题逆否命题“若若p+q2,则则p2+q2 2”为真命为真命题题,从而达到证明原命题为真命题的目的从而达到证明原命题为真命题的目的.证明证明:若若p+q2,则则 q)q)(p(pq)q)(p(p2 21 1q qp p2 22 22 22 22 2q)q)(p(p2 21 12 22 22 21 12 2例例4 证明证明:若若p2+q2=2,则则p+q 22 2q q所以p所以p2 22 2 这表明这表明,原命题的逆否命题为真命原命题的逆否命题为真命题
8、题,从而原命题也为真命题从而原命题也为真命题.0 0b b则则a af f(-b b),f f(-a a)f f(b b)若若f f(a a)R R,b ba a,)上上的的增增函函数数,-已已知知函函数数f f(x x)是是(:证证明明 例例 证明证明:原命题的逆否命题为原命题的逆否命题为:若若a+b0,则则f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)若若a+b0,则则a-b,b-a即逆否命题为真命题即逆否命题为真命题又又 f(x)在在 上是增函数上是增函数 ),(原命题为真命题原命题为真命题f(a)f(-b),f(b)f(-a)f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)逆否命题为逆否命题为:若若
9、a-b=1,则则a2-b2+2a-4b-3=0证明证明:若若a2-b2+2a-4b 0,则则a-b 1证明证明:a2-b2+2a-4b-3=(a+1)2-(b+2)2-3-1+4因为因为a-b=1 所以所以a=1+ba2-b2+2a-4b-3=(1+b+1)2-(b+2)2=(b+2)2-(b+2)2=0 这表明这表明,原命题的逆否命题为真命原命题的逆否命题为真命题题,从而原命题也为真命题从而原命题也为真命题.小结：小结：1、四种命题的相互关系、四种命题的相互关系2、四种命题的真假判断、四种命题的真假判断原命题原命题逆命题逆命题否命题否命题逆否命题逆否命题真真真真真真真真真真假假假假真真假假真真真真假假假假假假假假假假原命题原命题逆命题逆命题否命题否命题逆否命题逆否命题若若p，则，则q 若若q，则，则p若若p,则则q若若q,则则p互互 逆逆互互 逆逆互互 否否互互 否否互互 为为 逆逆 否否互互 为为 逆逆 否否
