1、选修2-3 1.3.2 杨辉三角与二项式系数的性质一、选择题11(1x)(1x)2(1x)n的展开式的各项系数之和为()A2n1B2n1C2n11D2n答案C解析解法一：令x1得，12222n2n11.解法二：令n1，知各项系数和为3，排除A、B、D，选C.2(xy)7的展开式中，系数绝对值最大的是()A第4项 B第4、5两项C第5项 D第3、4两项答案B解析(xy)n的展开式，当n为偶数时，展开式共有n1项，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，展开式有n1项，中间两项的二项式系数最大，而(xy)7的展开式中，系数绝对值最大的是中间两项，即第4、5两项3若n展开式中的第6项的系数最大，则不
2、含x的项等于()A210 B120 C461 D416答案A解析由已知得，第6项应为中间项，则n10.Tr1C(x3)10rrCx305r.令305r0，得r6.T7C210.4(2008安徽6)设(1x)8a0a1xa8x8，则a0，a1，a8中奇数的个数为()A2 B3 C4 D5答案A解析a0a8C1，a1a7C8，a2a6C28，a3a5C56，a4C70，奇数的个数是2，故选A.5设n为自然数，则C2nC2n1(1)kC2nk(1)nC()A2n B0 C1 D1答案D解析原式(21)n1，故选D.6设A37C35C33C3，BC36C34C321，则AB()A128 B129 C4
3、7 D0答案A解析AB37C36C35C341(31)7128.7.8的展开式中x4项的系数是()A16 B70 C560 D1120答案D解析考查二项式定理的展开式设第r1项含有x4，则Tr1C(x2)8r(2x1)rC2rx163r，163r4，即r4，所以x4项的系数为C241120.8(2010广东惠州)已知等差数列an的通项公式为an3n5，则(1x)5(1x)6(1x)7的展开式中含x4项的系数是该数列的()A第9项 B第10项C第19项 D第20项答案D解析(1x)5(1x)6(1x)7展开式中含x4项的系数是C11C12C135153555，由3n555得n20，故选D.9若n
4、为正奇数，则7nC7n1C7n2C7被9除所得的余数是()A0 B2 C7 D8答案C解析原式(71)nC8n1(91)n19nC9n1C9n2C9(1)n1(1)n1，n为正奇数，(1)n1297，则余数为7.10(2010江西理，6)(2)8展开式中不含x4项的系数的和为()A1 B0 C1 D2答案B解析(2)8的通项式为Tr1C28r()r(1)r28rCx，则x4项的系数为1，展开式中所有项的系数之和为(2)81，故不含x4项的系数之和为0，故选B.二、填空题11若(12x)2011a0a1xa2x2a2010x2010a2011x2011(xR)，则(a0a1)(a0a2)(a0a
5、3)(a0a2010)(a0a2011)_.(用数字作答)答案2009解析令x0，则a01.令x1，则a0a1a2a2010a2011(12)20111.(a0a1)(a0a2)(a0a3)(a0a2010)(a0a2011)2010a0(a0a1a2a3a2011)201012009.12(2008北京11)若n展开式的各项系数之和为32，则n_，其展开式中的常数项为_(用数字作答)答案510解析令x1，得2n32，得n5，则Tr1C(x2)5rrCx105r，令105r0，r2.故常数项为T310.13(2010全国理，14)若9的展开式中x3的系数是84，则a_.答案1解析由Tr1Cx9
6、rr(a)rCx92r得92r3，得r3，x3的系数为(a)3C84，解得a1.14将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的01三角数表从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，第n次全行的数都为1的是第_行；第61行中1的个数是_答案2n132解析用不完全归纳法，猜想得出三、解答题15设(3x1)8a8x8a7x7a1xa0.求：(1)a8a7a1；(2)a8a6a4a2a0.解析令x0，得a01.(1)令x1得(31)8a8a7a1a0，a8a7a2a128a02561255.(2)令x1得(31)8a8a7a6a1a0.得28482(a8a6
7、a4a2a0)，a8a6a4a2a0(2848)32 896.16设(12x)2010a0a1xa2x2a2010x2010(xR)(1)求a0a1a2a2010的值(2)求a1a3a5a2009的值(3)求|a0|a1|a2|a2010|的值分析解析(1)令x1，得：a0a1a2a2010(1)20101(2)令x1，得：a0a1a2a201032010与式联立，得：2(a1a3a2009)132010，a1a3a5a2009.(3)Tr1C12010r(2x)r(1)rC(2x)r，a2k10(kN*)|a0|a1|a2|a3|a2010|a0a1a2a3a2010，所以令x1得：a0a1
8、a2a3a201032010.17证明：(C)2(C)2(C)2(C)2C.证明(1x)n(1x)n(1x)2n，(CCxCx2Cxn)(CCxCx2Cxn)(1x)2n，而C是(1x)2n的展开式中xn的系数，由多项式的恒等定理得CCCCCCC.CC(0mn)，(C)2(C)2(C)2(C)2C.18求(1x2x2)5展开式中含x4的项分析由题目可获取以下主要信息：n5；三项的和与差解答本题可把三项看成两项，利用通项公式求解，也可先分解因式，根据多项式相乘的法则，由组合数的定义求解解析方法一：(1x2x2)51(x2x2)5，则Tr1C(x2x2)r(x2x2)r展开式中第k1项为Tk1Cxrk(2x2)k(2)kCxxk.令rk4，则k4r.0kr,0r5，且k、rN，或或.展开式中含x4的项为C(2)2CC(2)CC(2)0Cx415x4.方法二：(1x2x2)5(1x)5(12x)5，则展开式中含x4的项为CC(2x)4C(x)C(2x)3C(x)2C(2x)2C(x)3C(2x)C(x)4C(2x)015x4.
