1、 在解析几何中，我们已经见到平面或空间在解析几何中，我们已经见到平面或空间的向量两个向量可以相加，也可以用一个实的向量两个向量可以相加，也可以用一个实数去乘一个向量这种向量的加法以及数与向数去乘一个向量这种向量的加法以及数与向量的乘法满足一定的运算规律向量空间正是量的乘法满足一定的运算规律向量空间正是解析几何里向量概念连同它们上面定义的线性解析几何里向量概念连同它们上面定义的线性运算的一般化运算的一般化 向量空间是线性代数研究的基本对象向量空间是线性代数研究的基本对象.本本章主要介绍向量空间及基、维数、坐标等概念，章主要介绍向量空间及基、维数、坐标等概念，向量的内积与正交矩阵向量的内积与正交矩
2、阵第一节第一节 向量空间向量空间一、向量空间与子空间一、向量空间与子空间二、基与向量的坐标二、基与向量的坐标三、基变换与坐标变换三、基变换与坐标变换1 向量空间一、向量空间与子空间定义定义 1 1 设设V是一个非空集合，是一个非空集合，P是一个数是一个数域如果在集合域如果在集合V中定义了两种运算：对于其中每中定义了两种运算：对于其中每两个元素两个元素 与与 定义了它们的和定义了它们的和也是也是V中的中的元素；对于任何元素元素；对于任何元素V 与数与数Pk 定义了乘积定义了乘积k 也是集合也是集合V中的元素并且这两种运算满足下列中的元素并且这两种运算满足下列 8 8条运算规律：条运算规律：本节主
3、要介绍向量空间、子空间、向量空间的本节主要介绍向量空间、子空间、向量空间的基和向量的基和向量的坐标等概念坐标等概念.（1 1）；（2 2）()()；（3 3）对于任意对于任意V，均有，均有0；（4 4）对于任意对于任意V，存在，存在V，使得，使得 0；（5 5）1；（6 6）()()k lkl；（7 7）()klkl；（8 8）()kkk.其中其中,是是V中的任意元素，中的任意元素，,1k是是P中的任意中的任意数则称集合数则称集合V是数域是数域P上的上的向量空间向量空间 例例 实数集实数集R上的所有上的所有n维向量组成的集合，维向量组成的集合，记作记作nR.即即 12(,),1,2,nTnix
4、 xxxinRRLL 按照按照n维向量的加法和数乘运算，维向量的加法和数乘运算，nR构成实数域构成实数域R上的向量空间，称上的向量空间，称nR为实数集上的为实数集上的n维向量空间维向量空间.2R为二维向量为二维向量空间空间，二维向量，二维向量(,)Ta b表示以原表示以原点为起点点为起点(,)Ta b为终点的向量为终点的向量.3R为三维向量为三维向量空间空间，三维向量三维向量(,)Ta b c表示以表示以原点为起点原点为起点(,)Ta b c为终点的向量为终点的向量.例例 实数集实数集R上的所有上的所有mn实矩阵的全体，记实矩阵的全体，记为为m nR，即，即 (),1,2,;1,2,m nij
5、m nijaaim jnRRLL 按照按照矩阵矩阵的加法和数乘运算，的加法和数乘运算，m nR构成实数域构成实数域R上上的向量空间的向量空间.例例 设实矩阵设实矩阵()ijm naA，齐次线性方程组，齐次线性方程组Ax0的解集为的解集为x Ax 0S，由齐次线性方程组解，由齐次线性方程组解的性质可以验证的性质可以验证S构成实数域构成实数域R上的向量空间上的向量空间.称称S齐次线性方程组齐次线性方程组Ax0的解空间的解空间.而而非齐次线性非齐次线性方程组方程组Axb的解集为的解集为 ,x Axb b0S 却不是向量空间却不是向量空间，因因当当S 时，对于时，对于12,SS，有有12()2Abbb
6、b，可知，可知12S，故，故S不不是向量空间是向量空间.定义定义 2 2 数域数域P上向量空间上向量空间V的一个非空子集的一个非空子集合合W，如果，如果W对于对于V的两种运算是封闭的，即的两种运算是封闭的，即对任对任意意,W ，有，有W；对任意；对任意,kPW，有，有kW；则称则称W为为V的一个的一个子空间子空间.例例 (,0),TVx yx yR是是3R的子空间的子空间.(0,0,0)TV 是是3R的子空间，称为零子空间的子空间，称为零子空间.例例 齐次齐次方程组方程组Ax0的解空间的解空间x Ax 0S为为nR的子空间的子空间.问题：向量组的极大无关组与向量组等价.因此，只要找到向量组的一
7、个极大无关组，就等于掌握了这个向量组.为此引入向量组基与坐标的概念.二二、nR的的基基与向量的坐标与向量的坐标 引例引例 在三维向量空间在三维向量空间3R中，向量组中，向量组 123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)TTT 就是就是3R的一个线性无关组，的一个线性无关组，3R中任意一个向量中任意一个向量123(,)Ta a a 都可表示为都可表示为 1 12233aaa 向量向量123,称为称为3R的基，而的基，而123(,)a a a称为称为 在基在基123,下的坐标下的坐标.下面给出向量组基的定义下面给出向量组基的定义.定义定义 3 3 在在nR中，任意中，任意n个线性无关的向
8、量个线性无关的向量12,n L称为称为nR的一组的一组基基.nR的基中所含向量的基中所含向量的个数称为的个数称为nR的的维数维数，记为，记为dimnR.这这n个线性无关向量个线性无关向量12,n L构成构成nR的的极大极大无关组，因此，无关组，因此，nR基的概念是将有限个向量构成基的概念是将有限个向量构成的向量组的极大无关组的概念推广到的向量组的极大无关组的概念推广到nR上上.显然，显然，nR中中的的向量组向量组 12(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)TTTnLLLL 为为nR的一组基，一般称的一组基，一般称12,n L称为称为nR的的标准基标准基或或自然基自然基.这样这样dimn
9、nR.定义定义 4 4 设设向量向量12,n L为为nR的一组基，的一组基，是是nR中的向量，则存在唯一的一组数中的向量，则存在唯一的一组数12,na aa，使使1122nnaaaL，称称12,na aa为向量为向量 在在基基12,n L下的下的坐标坐标，记为，记为12(,)na aaL.对于对于nR的标准基的标准基12,n L，由于，由于nR中任意一中任意一个向量个向量12(,)Tna aa L可表示为可表示为 1 122nnaaaL 所以所以12(,)na aaL为为 在标准基在标准基12,n L下的坐标下的坐标.例例 证明证明 12(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)TTTnL
10、LLL 为为nR的 一 组 基的 一 组 基.并 求并 求nR中 任 意 一 个 向 量中 任 意 一 个 向 量12(,)Tna aa L在此基下的坐标在此基下的坐标.证证 由于矩阵由于矩阵12(,)n L的行列式的行列式 12111011,10001n LLLMMML 所以，所以，12(,)n L线性无关，即线性无关，即12(,)n L为为nR的一组基的一组基.设设12(,)Tna aa L在 基在 基12,n L下 的 坐 标 为下 的 坐 标 为12(,)nx xxL，则有，则有1122nnxxxL 此线性方程组的增广矩阵实施初等变换此线性方程组的增广矩阵实施初等变换112223334
11、11111000011101000011001000010001nnaaaaaaaaaaaALLLLLLMMMMMMMMMMLL得到方程组的唯一解为得到方程组的唯一解为 11222311,nnnnnxaaxaaxaaxaL 故故 在基在基12,n L下的坐标为下的坐标为 12231(,)nnnaa aaaa aL 问题：问题：在在nR中，任意中，任意n个线性无关的向量个线性无关的向量都可以作为都可以作为nR的一组基的一组基.同一个向量关于不同同一个向量关于不同的基的坐标是不同的，为了研究不同基下坐标的基的坐标是不同的，为了研究不同基下坐标的关系，下面介绍基变换与坐标变换的关系，下面介绍基变换与
12、坐标变换.三三、nR的的基变换与坐标变换基变换与坐标变换 定义定义 5 5 设设12,n L和和12,n L是是nR的两组的两组基，且基，且 11111221221122221122 (1)nnnnnnnnnnpppppppppLLL L L L L L L L LL1112121222121212(,)(,)(2)nnnnnnnnppppppppp LLLLMMML记矩阵记矩阵()ijn npP，称矩阵，称矩阵P为由基为由基12,n L到基到基12,n L的过渡矩阵的过渡矩阵.（2 2）式称为）式称为基变换公式基变换公式.即即 定理定理 1 1 在在nR中，由中，由基变换公式基变换公式确定的
13、确定的基基12,n L到基到基12,n L的的过渡矩阵过渡矩阵P可逆可逆.证证 取取12(,)n AL,12(,)n BL，由（，由（2 2）式有式有APB.因为因为12,n L与与12,n L线性无线性无关，即关，即BA,均可逆，因此均可逆，因此BAP1可逆可逆.定理定理说明说明在在nR中中基基12,n L到基到基12,n L的的过渡矩阵为过渡矩阵为BAP1.推论推论 若基若基12,n L到基到基12,n L的的过渡过渡矩阵为矩阵为P，则基，则基12,n L到基到基12,n L的的过渡矩过渡矩阵为阵为1P.定理定理 2 2 设设12,n L与与12,n L是是nR的两的两组基，组基，nR，关
14、于基关于基12,n L与基与基12,n L的坐标分别为的坐标分别为12(,)nx xxL和和12(,)ny yyL，则，则 1122nnxyxyxyPMM 或或 11221(3)nnyxyxyxPMM 其中其中P为为基基12,n L到基到基12,n L的的过渡矩阵过渡矩阵.证证 由题意知由题意知 11221122nnnnxxxyyyLL 将上式写成矩阵乘积的形式，有将上式写成矩阵乘积的形式，有11221212(,)(,)nnnnxyxyxy LLMM1212(,)nnyyy PLM再由坐标的唯一性得再由坐标的唯一性得1122nnxyxyxyPMM11221nnyxyxyxPMM或或 称为称为坐
15、标变换公式坐标变换公式.基基12,n L到基到基12,n L过渡矩阵过渡矩阵求法：求法：（1 1）取矩阵）取矩阵12(,)n AL，12(,)n BL，构造矩阵构造矩阵()A BM；（2 2）对）对()A BM作初等行变换，将其化为作初等行变换，将其化为 1()()A BE A BMLM，则，则过渡矩阵为过渡矩阵为BAP1.例例 已知已知3R中的两组基为中的两组基为 123(1,0,0),(1,1,0),(1,2,1)TTT；1(2,0,0)T，2(2,1,0)T ，3(4,4,1)T.（1 1）求）求基基123,到基到基123,的的过渡矩阵过渡矩阵P；（2 2）已知向量）已知向量 在在 基基123,下的坐标 为下的坐标 为(4,1,1)T，求，求 在在基基123,下的坐标下的坐标.解解（1 1）取）取矩阵矩阵123(,)A，123(,)B，对对()A BM作初等行变换作初等行变换 111224100211()012014010012001001001001A B所以，过渡矩阵为所以，过渡矩阵为 211012001P（2 2）过渡矩阵）过渡矩阵P的逆矩阵为的逆矩阵为 11/21/21/2012001P由坐标变换公式，可得由坐标变换公式，可得1112233yxyxyxP1/21/21/2420121100111 所以所以 在在基基123,下的坐标为下的坐标为(2,1,1)T.
