1、第四节第四节 向量组的秩向量组的秩一、向量组的等价一、向量组的等价二、极大线性无关组和向量组的秩二、极大线性无关组和向量组的秩三、向量组的秩与矩阵的秩的关系三、向量组的秩与矩阵的秩的关系4 向量组的秩一、向量组的等价定义 1 设有两个向量组()12,s L与()12,t L.如果向量组的每一个向量(1,2,)iis L都可以由向量组线性表示，则称向量组可由向量组线性表示；如果向量组和可以相互线性表示，则称向量组和等价.记作 1212,st LL 例 设向量组()1(1,0,0)T,2(0,1,0)T,3(0,0,1)T；()1(1,1,1)T,2(1,1,0)T,3(1,0,0)T；判别向量组
2、与是否等价.解 显然有1123，212，31，即向量组可由向量组线性表示；由此可以解出13，223，312，即向量组可由向量组线性表示，所以向量组和等价.例 设向量组()1(1,0,0)T,2(0,1,0)T,3(0,0,1)T；()1(0,0,0)T,2(1,1,0)T,3(1,0,0)T；判别向量组与间是否等价.解 显然1123000，212，31，即向量组可由向量组线性表示，但向量3 不能由123,线性表示，于是向量组不能由向量组线性表示，所以向量组和不等价.(1)反身性：任一向量组和它自身等价，即 1212,ss LL (3)传递性：如果1212,st LL，而1212,tp LL则1
3、212,sp LL(2)对称性：如果1212,st LL，则 1212,ts LL 向量组的等价满足下述性质：推论 如果向量组12,s L线性无关，并且可由向量组12,t L线性表示，则st.定理 1 如果向量组12,s L可由向量组12,t L线性表示，且st，则向量组12,s L线性相关.此结论与定理1互为逆否命题.定理 1 如果向量组12,s L可由向量组12,t L线性表示，且st，则向量组12,s L线性相关.*证 因为12,s L可由12,t L线性表示,设 11112121212122221122ttttssststaaaaaaaaaLLL L L L L L L L LL则 1
4、122sskkkL11112121()ttk aaaL 21212222()ttk aaaLL1122()ssststk aaaL 11 112211()ssa ka ka k L21 122222()ssa ka ka k L 1 122()tttssta ka ka k LL 此时只要12,sk kkL满足齐次线性方程组 11 1122121 122221 122000sssstttssa ka ka ka ka ka ka ka ka kLLL L L L L L L L LL就有1122sskkk 0L成立.由于st，即此方程组方程的个数t少于未知量的个数s，于是齐次线性方程组一定有非
5、零解，因此，只须取一组非零解12,sk kkL，就有 1122sskkk 0L 成立，所以向量组12,s L线性相关.二、极大线性无关组和向量组的秩引例：对于三维线性无关向量组 1(1,0,0),2(0,1,0),3(0,0,1)，由向量的线性运算可知，任意一个三维向量123(,)a a a 都可表示为1 12233aaa.它表明三维向量整体可以有部分线性无关向量组123,表示.为了用向量组的局部表示整体，我们介绍向量组的极大无关组的概念.定义 2 若一个向量组A的部分组12,r L满足下述条件：(1)12,r L线性无关；(2)向量组A中的任意一个向量都可以由12,r L线性表示.那么则称部
6、分组12,r L为向量组A的一个极大线性无关组（简称极大无关组）.如果一个向量组12,s L线性无关，则其极大无关组就是自身.如果一个向量组仅含零向量，则该向量组不存在极大无关组.例 设向量组1(1,0,0)T,2(0,1,0)T,3(1,1,0)T 不难看出,部分组12,线性无关，且123,中任一向量都可以由部分组12,线性表示：1120，2120，312 所以12,为向量组123,的一个极大无关组.容易验证：部分组13,与23,也为向量组123,的一个极大无关组.这说明向量组的极大无关组不是唯一的但所含向量的个数是相同的.由定义 2 可以直接得到 定理 2 任一向量组和它的极大无关组等价.
7、利用向量组等价的传递性，可得 推论 1 向量组12,s L中任意两个极大无关组等价.推论 2 两个等价的线性无关的向量组所含向量的个数相同.证 设12,s L和12,t L是两个等价的线性无关的向量组，则由定理 1 推论，可得st和ts，于是st，即所含向量的个数相同.推论 3 向量组12,s L的任意两个极大无关组所含向量的个数相同.由此可以看到，向量组的极大无关组所含向量的个数唯一确定.为此引入向量组秩的概念.定义 3 向量组12,s L的极大线性无关组所含向量的个数称为向量组的秩，记作12(,)sR L 如果一个向量组仅含零向量，则规定其秩为零.例 n维基本向量组 12(1,0,0),(
8、0,1,0),(0,0,1)TTTnLLLL 的秩为12(,)nRn L 例 设向量12(,)na aa 0L，则仅含 的向量组必线性无关，其极大无关组就是其自身，所以()1R.定理 3 向量组12,s L线性无关的充分必要条件是12(,)sRs L.证 必要性 若向量组12,s L线性无关，则其极大线性无关组为其自身，故12(,)sRs L.充分性 若12(,)sRs L，则12,s L的极大无关组应含有个s向量，而这就是向量组本身，所以该向量组线性无关.定理 4 若向量组12,s L可由12,t L线性表示，则1212(,)(,)stRR LL.推论 若向量组12,s L与向量组12,t
9、L等价，则它们的秩相等.定理 4 若向量组12,s L可由12,t L线性表示，则1212(,)(,)stRR LL.*证 设12(,)sRr L，12(,)tRp L 取12,s L的一个极大无关组12,riii L，12,t L的一个极大无关组12,pjjjL，有 因为12,s L可由12,t L线性表示，故12,s L可由12,pjjjL线性表示.从而12,riiiL可由12,pjjjL线性表示.又12,riiiL线性无关由定理 1 推论，得rp，即1212(,)(,)stRR LL.1212,rsiiiLL 及1212,ptjjjLL 三、向量组的秩与矩阵的秩的关系问题：矩阵的秩和向量
10、组的秩之间是否存在一定关系呢？下面讨论这个问题.设A为一个mn矩阵 111212122212nnmmmnaaaaaaaaaALLMMML将A的每一行作为行向量，由12(,)iiiinaaa L(1,2,)imL构成A的行向量组为12,m L；将A的每一列作为列向量，由12(,)Tjjjmjaaa L(1,2,)jnL构成A的列向量组为12,n L.定义 3 矩阵()ijm naA的行向量组12,m L的秩称为矩阵A的行秩；A的列向量组12,n L的秩称为矩阵A的列秩.例 设矩阵 100001000010A有()3RA.显然A的行向量组)0,0,0,1(1，)0,0,1,0(2，)0,1,0,0
11、(3 线性无关，故A的行秩为 3；又A的列向量组的极大无关组为1(1,0,0),T 2(0,1,0),T3(0,0,1),T即A的列秩也为 3；所以A的秩与行秩、列秩之间相等.那么对于一般的m n矩阵A是否也有上述结论呢？有下面定理.定理 5 矩阵()ijm naA的行向量组为12,m L，列向量组12,n L，则 1212()(,)(,)mnRRRA LL 即矩阵的行秩和列秩相等，并且都等于矩阵的秩.定理 5 矩阵()ijm naA的行向量组为12,m L，列向量组12,n L，则 1212()(,)(,)mnRRRA LL 即矩阵的行秩和列秩相等，并且都等于矩阵的秩.*证 记12(,)n
12、AL，设()RrA，则A中有一个r阶子式不为零.而所有的1r阶子式全为零，不妨设A的左上角的r阶子式不为零，即 1112121222120rrrrrraaaaaaDaaaLLMMML则向量组111211(,)TraaaL 212222(,),Traaa LL 12(,)Trrrrraaa L 线性无关.将此向量组的每个向量的第r个分量后面添加mr个分量得到的向量组12,r L也线性无关，即矩阵A的前r个列向量组成的向量组线性无关.又A的所有的1r阶子式全为零，知A中的任意1r个列向量组线性相关，则向量组12,r L为A的列向量组的一个极大无关组，于是A的列向量组的秩为r.故12()(,)nRR
13、 AL 又1212(,)(,)()()TTTTmmRRRR AALL 所以1212()(,)(,)mnRRRA LL 说明：由定理 5 可知，向量组的秩与其构成的矩阵的秩相等，因此求向量组的秩可以转换成用初等变换求其构成矩阵的秩，而且，由定理的证明过程可知，当()RrA时，A的r阶非零子式所在的行（列）就构成A的行（列）向量组的一个极大无关组.求向量组的极大无关组和向量组秩的方法：(1)将向量组12,s L以列向量形式构成矩阵12(,)s AL；(2)对12(,)s AL实施初等行变换将其化成行阶梯形矩阵12(,)s BL(3)由12,s L之 间 的 线 性 关 系 得 到12,s L的极大
14、无关组和向量组的秩.(4)若要把向量组的其余向量用极大无关组线性表示，则需要将行阶梯形矩阵再化为行最简形矩阵，再写出线性表示式.例 知向量组1(1,1,0,0),T 3(0,1,1,1),T 4(1,3,2,1)T 5(2,6,4,2)T 求向量组的秩和向量组的一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示.解 对矩阵12345(,)A实施初等行变换 1101211012121360112401124011240111201112 A11 012011240001200000 11012011240000000036 11000011000001200000 101000110000012
15、00000 12345(,)21rr3242rrrr4343rrr23132rrrr12rr因为3)(AR,所以12345(,)3R .又因为124(,)3R ，所以124,线性无关且是12345,的一个极大无关组.所以，相应地124,是12345,的极大无关组.显然312，542，而矩阵的初等行变换不改变矩阵的列向量组之间的线性关系（请思考），因此，相应地有 312，542.*例 设,A B为m n矩阵，证明()()()RRRABAB.证 设(),()Rr RpAB，且矩阵A和B的列向量组分别为12,n L和12,n L 它们对应的一个极大无关组分别为 12,riiiL和12,pjjjL 则
16、对任意的(1,2,)ttn L有 1212rttititrikkkL 同理，对任意的(1,2,)ttn L有 1212pttjtjtpjllkL 12121212rptttititritjtjtpjkkkllkLL 于是即AB的任意列向量tt(1,2,)tnL可由12,riiiL，12,pjjjL线性表示.故AB的列向量组的极大线性无关组可由12,riiiL，12,pjjjL线性表示.由定理 1 的推论，有 AB的列秩pr 即()()()RRRABAB.*例 设矩阵()ijm saA，()ijs nbB，证明：()min(),()RRRABAB.证 设12(,)m nn ABCL，令12(,)s AL则由CAB,即 1112121222121212(,)(,)nnnssssnbbbbbbbbb LLLLMMML得 1122jjjsjsbbbL(1,2,)jnL 即矩阵C的列向量组可由A的列向量组线性表示.由定理 4 可知,C的列秩A的列秩.即()()RRABA，同理可证()()RRABB 所以()min(),()RRRABAB
