1、专题七类比探究题类型一 线段数量关系问题 (2018河南)(1)问题发现如图，在OAB和OCD中，OAOB，OCOD，AOBCOD40，连接AC，BD交于点M.填空：的值为_；AMB的度数为_；(2)类比探究如图，在OAB和OCD中，AOBCOD90，OABOCD30，连接AC交BD的延长线于点M.请判断的值及AMB的度数，并说明理由；(3)拓展延伸在(2)的条件下，将OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD1，OB，请直接写出当点C与点M重合时AC的长【分析】 (1)证明COADOB(SAS)，得ACBD，比值为1；由COADOB，得CAODBO，根据三角形的内角和定理，
2、得AMB180(DBOOABABD)18014040；(2)根据两边的比相等且夹角相等可得AOCBOD，则，由全等三角形的性质得AMB的度数；(3)正确画出图形，当点C与点M重合时，有两种情况：如解图和，同理可得AOCBOD，则AMB90，可得AC的长【自主解答】解：(1)问题发现1【解法提示】AOBCOD40，COADOB.OCOD，OAOB，COADOB(SAS)，ACBD，1.40【解法提示】COADOB，CAODBO.AOB40，OABABO140，在AMB中，AMB180(CAOOABABD)180(DBOOABABD)18014040.(2)类比探究，AMB90，理由如下：在RtO
3、CD中，DCO30，DOC90，tan 30，同理，得tan 30，AOBCOD90，AOCBOD，AOCBOD，CAODBO.AMB180CAOOABMBA180(DABMBAOBD)1809090.(3)拓展延伸点C与点M重合时，如解图，同理得AOCBOD，AMB90，设BDx，则ACx，在RtCOD中，OCD30，OD1，CD2，BCx2.在RtAOB中，OAB30，OB.AB2OB2，在RtAMB中，由勾股定理，得AC2BC2AB2，即( x)2(x2)2(2)2，解得x13，x22(舍去)，AC3；点C与点M重合时，如解图，同理得：AMB90，设BDx，则ACx，在RtAMB中，由勾
4、股定理，得AC2BC2AB2，即(x)2(x2)2(2)2解得x13，解得x22(舍去)AC2.综上所述，AC的长为3或2.图图例1题解图1(2016河南)(1)发现如图，点A为线段BC外一动点，且BCa，ABb.填空：当点A位于_时，线段AC的长取得最大值，且最大值为_(用含a，b的式子表示)(2)应用点A为线段BC外一动点，且BC3，AB1，如图所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE.请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；直接写出线段BE长的最大值(3)拓展如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(5，0)，点P为线段AB外
5、一动点，且PA2，PMPB，BPM90，请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标2(2015河南)如图，在RtABC中，B90，BC2AB8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE.将EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为.(1)问题发现当0时，_；当180时，_；(2)拓展探究试判断：当0360时，的大小有无变化？请仅就图的情形给出证明(3)解决问题当EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长3(2014河南)(1)问题发现如图，ACB和DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE.填空：AEB的度数为_；线段AD，BE之间的数量关系为_(2)拓展探究如图，
6、ACB和DCE均为等腰直角三角形，ACBDCE90，点A，D，E在同一直线上，CM为DCE中DE边上的高，连接BE，请判断AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由(3)解决问题如图，在正方形ABCD中，CD，若点P满足PD1，且BPD90，请直接写出点A到BP的距离4(2018南阳二模)在ABC中，ACB是锐角，点D在射线BC上运动，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90，得到AE，连接EC.(1)操作发现若ABAC，BAC90，当D在线段BC上时(不与点B重合)，如图所示，请你直接写出线段CE和BD的位置关系和数量关系是_，_；(2)猜想论证在(1)的条件下，当D在线段
7、BC的延长线上时，如图所示，请你判断(1)中结论是否成立，并证明你的判断(3)拓展延伸如图，若ABAC，BAC90，点D在线段BC上运动，试探究：当锐角ACB等于_度时，线段CE和BD之间的位置关系仍成立(点C，E重合除外)？此时若作DFAD交线段CE于点F，且当AC3时，请直接写出线段CF的长的最大值是_5已知，如图，ABC，AED是两个全等的等腰直角三角形(其顶点B，E重合)，BACAED90，O为BC的中点，F为AD的中点，连接OF.(1)问题发现如图，_；将AED绕点A逆时针旋转45，如图，_；(2)类比延伸将图中AED绕点A逆时针旋转到如图所示的位置，请计算出的值，并说明理由(3)拓
8、展探究将图中AED绕点A逆时针旋转，旋转角为，090，AD，AED在旋转过程中，存在ACD为直角三角形，请直接写出线段CD的长类型二 图形面积关系问题(2017河南)如图，在RtABC中，A90，ABAC，点D，E分别在边AB，AC上，ADAE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点(1)观察猜想图中，线段PM与PN的数量关系是_，位置关系是_；(2)探究证明把ADE绕点A逆时针方向旋转到图的位置，连接MN，BD，CE，判断PMN的形状，并说明理由；(3)拓展延伸把ADE绕A在平面内自由旋转，若AD4，AB10，请直接写出PMN面积的最大值图图例2题图【分析】 (1)利用三角形的中
9、位线定理得出PMCE，PNBD，进而判断出BDCE，即可得出结论，再利用三角形的中位线定理得出PMCE，继而得出DPMDCA，最后用互余即可得出结论；(2)先判断出ABDACE，得出BDCE，同(1)的方法得出PMBD，PNBD，即可得出PMPN，同(1)的方法即可得出结论；(3)先判断出MN最大时，PMN的面积最大，进而求出AN，AM，即可得出MN最大AMAN，最后用面积公式即可得出结论【自主解答】 解：(1)点P，N是BC，CD的中点，PNBD，PNBD.点P，M是CD，DE的中点，PMCE，PMCE.ABAC，ADAE，BDCE，PMPN.PNBD，DPNADC，PMCE，DPMDCA.
10、BAC90，ADCACD90，MPNDPMDPNDCAADC90，PMPN，(2)由旋转知，BADCAE，ABAC，ADAE，ABDACE(SAS)，ABDACE，BDCE.同(1)的方法，利用三角形的中位线定理，得PNBD，PMCE，PMPN，PMN是等腰三角形，同(1)的方法得，PMCE，DPMDCE，同(1)的方法得，PNBD，PNCDBC.DPNDCBPNCDCBDBC，MPNDPMDPNDCEDCBDBCBCEDBCACBACEDBCACBABDDBCACBABC.BAC90，ACBABC90，MPN90，PMN是等腰直角三角形，例2题解图(3)如解图，同(2)的方法得，PMN是等腰
11、直角三角形，当MN最大时，PMN的面积最大，DEBC且DE在顶点A上面，MN最大AMAN，连接AM，AN，在ADE中，ADAE4，DAE90，AM2，在RtABC中，ABAC10，AN5，MN最大257，SPMN最大PM2MN2(7)2.1(2013河南)如图，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中C90，BE30.(1)操作发现如图，固定ABC，使DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：线段DE与AC的位置关系是_；设BDC的面积为S1，AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是_(2)猜想论证当DEC绕点C旋转到如图所示的位置时，小明猜想(1)中S1与S2的数量
12、关系仍然成立，并尝试分别作出了BDC和AEC中BC，CE边上的高，请你证明小明的猜想(3)拓展探究已知ABC60，点D是角平分线上一点，BDCD4，DEAB交BC于点E(如图)若在射线BA上存在点F，使SDCFSBDE，请直接写出相应的BF的长2已知RtABC中，BCAC，C90，D为AB边的中点，EDF90，将EDF绕点D旋转，它的两边分别交AC，CB(或它们的延长线)于E，F.当EDF绕点D旋转到DEAC于E时，如图所示，试证明SDEFSCEFSABC.(1)当EDF绕点D旋转到DE和AC不垂直时，如图所示，上述结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，试说明理由(2)直接写出图中，SD
13、EF，SCEF与SABC之间的数量关系3(2018郑州模拟)如图所示，将两个正方形ABCD和正方形CGFE如图所示放置，连接DE，BG.(1)图中DCEBCG_；设DCE的面积为S1，BCG的面积为S2，则S1与S2的数量关系为_；猜想论证：(2)如图所示，将矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转后得到矩形FECG，连接DE，BG，设DCE的面积为S1，BCG的面积为S2，猜想S1和S2的数量关系，并加以证明；(3)如图所示，在ABC中，ABAC10 cm，B30，把ABC沿AC翻折得到AEC，过点A作AD平行CE交BC于点D，在线段CE上存在点P，使ABP的面积等于ACD的面积，请写出CP的长4
14、(2018驻马店一模)如图，ABC与CDE都是等腰直角三角形，直角边AC，CD在同一条直线上，点M，N分别是斜边AB，DE的中点，点P为AD的中点，连接AE，BD，PM，PN，MN.(1)观察猜想图中，PM与PN的数量关系是_，位置关系是_；(2)探究证明将图中的CDE绕着点C顺时针旋转(090)，得到图，AE与MP，BD分别交于点G，H，判断PMN的形状，并说明理由；(3)拓展延伸把CDE绕点C任意旋转，若AC4，CD2，请直接写出PMN面积的最大值参考答案类型一针对训练1解：(1)点A为线段BC外一动点，且BCa，ABb，当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BCA
15、Bab.(2)CDBE，理由：ABD与ACE是等边三角形，ADAB，ACAE，BADCAE60，BADBACCAEBAC，即CADEAB.在CAD和EAB中，CADEAB，CDBE.线段BE长的最大值等于线段CD的最大值，由(1)知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上，线段BE长的最大值为BDBCABBC4；(3)将APM绕着点P顺时针旋转90得到PBN，连接AN，如解图，则APN是等腰直角三角形，PNPA2，BNAM.点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(5，0)，OA2，OB5，AB3，线段AM长的最大值等于线段BN长的最大值，当点N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，
16、最大值为ABAN.ANAP2，线段AM的长最大值为23.如解图，过点P作PEx轴于点E.APN是等腰直角三角形，PEAE，OEBOABAE532，P(2，)图图第1题解图2解：(1)当0时，在RtABC中，B90，AC4.点D、E分别是边BC、AC的中点，AE422，BD824，.如解图，当180时，得可得ABDE，.(2)当0360时，的大小没有变化ECDACB，ECADCB.又，ECADCB，.图图图第2题解图(3)如解图，AC4，CD4，CDAD，AD8.ADBC，ABDC，B90，四边形ABCD是矩形，BDAC4.如解图，连接BD，过点D作AC的垂线交AC于点Q，过点B作AC的垂线交A
17、C于点P，AC4，CD4，CDAD，AD8，点D、E分别是边BC、AC的中点，DEAB(82)42，AEADDE826，由(2)，可得，BD.综上所述，BD的长为4或.3解：(1)ACB和DCE均为等边三角形，CACB，CDCE，ACBDCE60，ACDBCE.在ACD和BCE中，ACDBCE(SAS)，ADCBEC.DCE为等边三角形，CDECED60.点A，D，E在同一直线上，ADC120，BEC120，AEBBECCED60.ACDBCE，ADBE.(2)AEB90，AEBE2CM.理由如下：ACB和DCE均为等腰直角三角形，CACB，CDCE，ACBDCE90.ACDBCE.在ACD和
18、BCE中，ACDBCE(SAS)，ADBE，ADCBEC.DCE为等腰直角三角形，CDECED45.点A，D，E在同一直线上，ADC135，BEC135，AEBBECCED90.CDCE，CMDE，DMME.DCE90，DMMECM，AEADDEBE2CM.(3)PD1，点P在以点D为圆心，1为半径的圆上BPD90，点P在以BD为直径的圆上，点P是这两圆的交点当点P在如解图所示位置时，连接PD，PB，PA，作AHBP，垂足为H，过点A作AEAP，交BP于点E.四边形ABCD是正方形，ADB45，ABADDCBC，BAD90，BD2.DP1，BP.BPDBAD90，点A、P、D、B在以BD为直径
19、的圆上，APBADB45.PAE是等腰直角三角形又BAD是等腰直角三角形，点B，E，P共线，AHBP，由(2)中的结论可得：BP2AHPD，2AH1，AH；当点P在如解图所示位置时，连接PD、PB、PA、作AHBP，垂足为H，过点A作AEAP，交PB的延长线于点E，同理可得：BP2AHPD，2AH1，AH.综上所述，点A到BP的距离为或.图图第3题解图4解：(1)ABAC，BAC90，线段AD绕点A逆时针旋转90得到AE，ADAE，BADCAE，BADCAE，CEBD，ACEB，BCEBCAACE90，线段CE，BD之间的位置关系和数量关系为CEBD，CEBD；(2)(1)中的结论仍然成立证明
20、如下：如解图，线段AD绕点A逆时针旋转90得到AE，AEAD，DAE90.ABAC，BAC90，CAEBAD，ACEABD，CEBD，ACEB，BCE90，线段CE，BD之间的位置关系和数量关系为CEBD，CEBD；(3)45；.过A作AMBC于M，过点E作ENMA交MA的延长线于N，如解图.线段AD绕点A逆时针旋转90得到AE，DAE90，ADAE，NAEADM，易证得RtAMDRtENA，NEAM.CEBD，即CEMC，MCE90，四边形MCEN为矩形，NEMC，AMMC，ACB45.四边形MCEN为矩形，RtAMDRtDCF，设DCx，在RtAMC中，ACB45，AC3，AMCM3，MD
21、3x，CFx2x(x)2，当x时，CF有最大值，最大值为.故答案为45，；图图第4题解图5解：(1)ABC，AED是两个全等的等腰直角三角形，ADBC.O为BC的中点，F为AD的中点，AFOC.BACAED90，ABAC，AEDE，DAECBA45，ADBC，四边形AFOC是平行四边形，OFACEC，；故答案：；AOAC，BAOCAO45，DAE45，DAECAO.AEAC，AFAO，AFOAEC，；故答案：.(2)OFEC.理由：在等腰直角ADE中，F为AD的中点，AFADAE.在等腰直角ABC中，O为BC的中点，如解图，连接AO，AOAC，BAOCAO45.DAE45，DAECAO，即DA
22、OCAE.AEAC，AFAO，AFOAEC，；(3)ABC和AED是两个全等的等腰直角三角形，ADBC，EDAEABAC1，当ACD为直角三角形时，分两种情况：图图图第5题解图当AD与AB重合时，如解图，连接CD.当ACD为直角三角形时，ADAC，即将ADE绕点A逆时针旋转45.AD，AC1，由勾股定理可得CD；当AE与AC重合时，如解图，当ACD为直角三角形时，ACCD，即将ADE绕点A逆时针旋转90，此时CDAC1.综上所述，CD的长为或1.类型二针对训练1解：(1)DEC绕点C旋转到点D恰好落在AB边上，ACCD.BAC90B903060.ACD是等边三角形，ACD60，又CDEBAC6
23、0，ACDCDE，DEAC；B30，C90，CDACAB，BDADAC，根据等边三角形的性质，ACD的边AC，AD上的高相等，BDC的面积和AEC的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)，即S1S2；(2)DEC是由ABC绕点C旋转得到，BCCE，ACCD，DCEACB90，ACNACE180，ACNDCM.在ACN和DCM中，ACNDCM(AAS)，ANDM，BDC的面积和AEC的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)，即S1S2；第1题解图(3)如解图，过点D作DF1BE交BA于点F1，易求得四边形BEDF1是菱形，BEDF1，且BE，DF1边上的高相等，此时SDCF1SBDE；过点D作D
24、F2BD.ABC60，F1DBE交BA于点F2，F2F1DABC60.BF1DF1，F1BDABC30，F2DB90，F1DF2ABC60DF1F2是等边三角形，DF1DF2.BDCD，ABC60，点D是角平分线上一点，DBCDCB6030，CDF1180BCD18030150，CDF236015060150，CDF1CDF2.在CDF1和CDF2中，CDF1CDF2(SAS)，点F2也是所求的点ABC60，点D是角平分线上一点，DEAB，DBCBDEABD6030.又BD4，BE4cos 302，BF1，BF2BF1F1F2.故BF的长为或.2解：当EDF绕D点旋转到DEAC时，四边形CED
25、F是正方形；设ABC的边长ACBCa，则正方形CEDF的边长为a，SABCa2，S正方形CEDF(a)2a2，即SDEFSCEFSABC；(1)上述结论成立；理由如下：连接CD，如解图所示ACBC，ACB90，D为AB中点，B45，DCEACB45，CDAB，CDABBD，DCEB，CDB90EDF90，12，在CDE和BDF中，CDEBDF(ASA)，SDEFSCEFSADESBDFSABC；图图第2题解图(2)SDEFSCEFSABC；理由如下：连接CD，如解图所示，同(1)得：DECDFB，DCEDBF135，SDEFS五边形DBFEC，SCFESDBC，SCFESABC，SDEFSCF
26、ESABC.SDEF、SCEF、SABC的关系是SDEFSCEFSABC.3解：(1)如解图中，四边形ABCD、EFGC都是正方形，BCDECG90.BCGBCDDCEECG360，BCGECD180.图图图第3题解图如解图，过点E作EMDC于点M，过点G作GNBN交BN的延长线于点N，EMCN90.四边形ABCD和四边形ECGF均为正方形，BCDDCNECG90，CBCD，CECG，1902，3902，13.在CME和CNG中，CMECNG(ASA)，EMGN.又S1CDEM，S2CBGN，S1S2；故答案为180，S1S2；(2)猜想：S1S2，证明：如解图，过点E作EMDC于点M，过点B
27、作BNGC交GC的延长线于点N，EMCN90.矩形CGFE由矩形ABCD旋转得到的，CECB，CGCD，ECGECNBCD90，1902，3902，13.在CME和CNB中，CMECNB(AAS)EMBN.又S1CDEM，S2CGBN，S1S2; (3)如解图，作DMAC于M，延长BA，交EC于N，ABAC10 cm，B30，ACBABC30，BAC120，根据翻折的性质，得ACEACB30，ADCE，DACACE30，BAD90，DMAD，BNEC.ADtanABDAB，AB10 cm，ADtan 3010 (cm)，DM(cm)SABPABPN，SADCACDM，SABPSADC，ABAC
28、，PNDM.在RtANC中，ACN30，AC10 (cm)，NCcosACNACcos 30105(cm)在EC上到N的距离等于的点有两个，PC cm，PC cm.CP的长为 cm或 cm.4解：(1)PMPN，PMPN，理由如下：如解图，延长AE交BD于O，ACB和ECD是等腰直角三角形，ACBC，ECCD，ACBECD90.在ACE和BCD中，ACEBCD(SAS)，AEBD，EACCBD，EACAEC90，AECBEO，CBDBEO90，BOE90，即AEBD，点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，PMBD，PNAE，PMPN.PMBD，PNAE，AEBD，NPDEAC，
29、MPABDC，EACBDC90，MPANPC90，MPN90，即PMPN.图图第4题解图(2)PMN为等腰直角三角形，理由如下：如解图，设AE交BC于点O.ACB和ECD是等腰直角三角形，ACBC，ECCD，ACBECD90，ACBBCEECDBCE，ACEBCD，ACEBCD，AEBD，CAECBD. 又AOCBOE，CAECBD，BHOACO90.点P，M，N分别为AD，AB，DE的中点，PMBD，PMBD，PNAE，PNAE，PMPN，MGEBHA180，MGE90，MPN90，PMPN，即PMN为等腰直角三角形(3)由(2)可知PMN是等腰直角三角形，PMBD，当BD的值最大时，PM的值最大，PMN的面积最大，当B，C，D共线时，BD的最大值为BCCD6，PMPN3，PMN面积的最大值为33.
