1、高二数学第 1页（共 6 页）20222023 学年度第二学期期中学情检测高 二 数 学注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1本试卷共 6 页，包含选择题（112）填空题（第 13 题第 16 题，共 80 分）、解答题（第 1722 题，共 70 分）。本次考试时间 120 分钟，满分 150 分、考试结束后，请将答题卡交回。2答题前，请考生务必将自己的姓名、学校、班级、座位号、考试证号用 0.5 毫米的黑色签字笔写在答题卡上相应的位置，并将考试证号用 2B 铅笔正确填涂在答题卡的相应位置。3答题时请用 0.5 毫米的黑色签字笔在答题卡指定区域作答。在试卷或草稿纸上作答一律
2、无效。4如有作图需要，可用 2B 铅笔作图，并请加黑加粗，描写清楚。一、单选题：本大题共一、单选题：本大题共 8 小题，每题小题，每题 5 分，共分，共 40 分。在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合分。在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。题目要求的。1.已知集合2Ax xx，2log1Bx yx，则ABA.1,B.0,C.（0，1）D.0,12.已知复数 z 满足1i12i1zz，则复数 z 的实部与虚部的和为A.1B.1C.15D.153.使命题“21,2),0 xxa ”成立的一个充分不必要条件可以是A.1aB.1a C.4aD.4a 4.为了远程性和安全性上与美国波
3、音 747 竞争，欧洲空中客车公司设计并制造了 A340，它是一种有四台发动机的远程双过道宽体客机，取代只有两台发动机的 A310.,假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障率为p1，且各引擎是否有故障是独立的，已知 A340 飞机至少有 3 个引擎正常运行，飞机就可成功飞行；A310 飞机需要 2 个引擎全部正常运行，飞机才能成功飞行.若要使 A340 飞机比 A310 飞机更安全，则飞机引擎的故障率应控制的范围是A.2,13B.1,13C.20,3D.10,35.为了解全市高三学生身体素质状况，对某校高三学生进行了体能抽样测试，得到学生的体育成绩(70,100)XN，其中 60 分及以上为及格
4、，90 分及以上为优秀，则下列说法正确的是高二数学第 2页（共 6 页）附：若2,XN，则()0.6826PX，(22)0.9544PXA该校学生体育成绩的方差为 10B该校学生体育成绩的期望为 85C该校学生体育成绩的及格率小于 85%D该校学生体育成绩的优秀率大于 3%6.“碳中和”是指通过植树造林、节能减排等形式，以抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”.某“碳中和”研究中心计划派 4 名专家分别到 A，B，C 三地指导“碳中和”工作，每位专家只去一个地方，且每地至少派驻 1 名专家，则分派方法的种数为A.72B.36C.48D.187.某保险公司将其公司的被保险人分为三类
5、：“谨慎的”“一般的”“冒失的”.统计资料表明，这三类人在一年内发生事故的概率依次为 0.05，0.15，0.30.若该保险公司的被保险人中“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的”被保险人占30%，则该保险公司的一个被保险人在一年内发生事故的概率是A0.155B0.175C0.016D0.0968.在三棱锥 P-ABC 中，AB=2BC=2，60ABC，设侧面 PBC 与底面 ABC 的夹角为，若三棱锥 P-ABC 的体积为33，则当该三棱锥外接球表面积取最小值时，tanA.4 33B.34C.3D.4二、多项选择题：本题共多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每
6、小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。9.已知函数 f(x)nxx23，则下列关于 f(x)的展开式的命题中，正确的是A.当 n11 时，f(x)的展开式共有 11 项B.当 n8 时，f(x)的展开式第 3 项与第 6 项的二项式系数之比为 12C.当 n7 时，f(x)的展开式中，各项系数之和为1D.若第 4 项和第 5 项的二项式系数同时最大，则 n710.教育部关于进一步加强中小学生体质
7、健康管理工作的通知中指出，“各地要加强对学生体质健康重要性的宣传，让家长和中小学生科学认识体质健康的影响因素”。提高学生体育与健康素养，增强体质健康管理的意识和能力。某学校共有 2000 名男生，为了了解这部分学生的身体发高二数学第 3页（共 6 页）育情况，学校抽查了 100 名男生的体重情况.根据所得数据绘制样本的频率直方图如图所示，则下列结论中正确的是A.样本的众数为67.5B.样本的 80 百分位数为72.5C.样本的平均值为 66D.该校男生中低于 60 kg 的学生大约为 300 人11.甲、乙两个均匀且完全一样的四面体，每个面都是正三角形，甲四个面上分别标有数字 1,2,3,4，
8、乙四个面上分别标有数字 5,6,7,8，同时抛掷这两个四面体一次，记事件 A 为“两个四面体朝下一面的数字之和为奇数”，事件 B 为“甲四面体朝下一面的数字为奇数”，事件 C 为“乙四面体朝下一面的数字为偶数”，则下列结论正确的是AP(A)P(B)P(C)BP(BC)P(AC)P(AB)CP(B|A)12DP(ABC)1812.已知长方体1111ABCDA B C D的棱12,1ABADAA，点 P 满足：1APABADAA ，、0,1，下列结论正确的是A.当1,0时，P 到11DA的距离为3B.当1时，点 P 的到平面11BDD B的距离的最大值为1C.当0,1时，直线 PB 与平面 ABC
9、D 所成角的正切值的最大值为24D.当11,2时，四棱锥11PBB DD外接球的表面积为28932高二数学第 4页（共 6 页）三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分不需写出解答过程，请把答分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答案直接填写在答题卡相应位置上题卡相应位置上13.32221）（xx的展开式中常数项为14.甲、乙、丙、丁 4 人坐成一排拍照，要求甲、乙两人位于丙的同侧，则共有种不同的坐法.15.某工厂为研究某种产品的产量 x(吨)与所需某种原材料的质量 y(吨)的相关性，在生产过程中收集 4组对应数据(x，y)，如表所示(
10、残差观测值预测值)x3456y2.534m根据表中数据，得出 y 关于 x 的经验回归方程为y0.7xa.据此计算出在样本(4,3)处的残差为0.15，则表中 m 的值为16.已知正六棱柱 ABCDEFA1B1C1D1E1F1的底面边长为 1，P 是正六棱柱内(不含表面)的一点，则APAB的取值范围是四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分请在答题卡指定区域内作答分请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤明过程或演算步骤17.（10 分）分）工信部发布的“十四五“促进中小企业发展规划明确提出建立”百十万千”的中小
11、企业梯度培育体系，引导中小企业走向“专精特新”、“小巨人”、“隐形冠军”的发展方向，“专精特新”是指具备专业化、精细化、特色化，新颖化优势的中小企业，下表是某地各年新增企业数量的有关数据：年份(年)20182019202020212022年份代码(x)12345新增企业数量：(y)817292442(1)请根据上表所给的数据，求出 y 关于 x 的线性回归方程，并预测 2024 年此地新增企业的数量；(2)若在此地进行考察，考察企业中有 4 个为“专精特新”企业，3 个为普通企业，现从这 7 个企业中随机抽取 3 个，用 X 表示抽取的 3 个为“专精特新”全业个数，求随机变量 X 的分布列与
12、期望参考公式：回归方程yabx中，斜率和截距最小二乘法估计公式分别为121niiiniixxyybxx，aybx高二数学第 5页（共 6 页）18.（12 分）分）新能源汽车是指除汽油、柴油发动机之外的所有其他能源汽车，被认为能减少空气污染和缓解能源短缺的压力在当今提倡全球环保的前提下，新能源汽车产业必将成为未来汽车产业发展的导向与目标某车企随机调查了今年 3 月份购买本车企生产的汽车的 100 位车主，经统计其购车种类与性别情况如下表：单位：人购置新能源汽车购置传统燃油汽车总计男性501060女性251540总计7525100(1)根据表中数据，在犯错误的概率不超过 2.5%的前提下，是否可
13、以认为购车种类与性别有关；(2)用样本估计总体，用本车企售出汽车样本的频率代替售出汽车的概率，从该车企今年 3 月份售出的汽车中，随机抽取 3 辆汽车，设被抽取的 3 辆汽车中属于传统燃油汽车的辆数为 X，求 X 的分布列及数学期望附：22()()()()()n adbcab cdac bd，nabcd 2Pk0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819.（12 分）分）如图多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，60,ABCEA平面,ABCD EABF，22ABAEBF.（1）证明：/CF平
14、面ADE；（2）在棱EC上有一点M（不包括端点），使得平面MBD与平面BCF的夹角余弦值为155，求点M到平面BCF的距离.高二数学第 6页（共 6 页）20.（12 分）分）如图 1，在矩形 ABCD 中，2,1ABBC，E 是 CD 的中点，将DAE沿 AE 折起至PAE的位置，使得平面PAE 平面 ABCE，如图 2（1）证明：平面PAE 平面 PBE（2）M 为 CE 的中点，求直线 BM 与平面 PAM 所成角的正弦值21.（12 分）分）在平面直角坐标系xOy中，已知动点 C 到定点(1,0)F的距离与它到直线:4l x 的距离之比为12.(1)求动点 C 的轨迹方程；(2)点 P
15、 为直线 l 上的动点，过点 P 的动直线 m 与动点 C 的轨迹相交于不同的 A，B 两点，在线段AB上取点 Q，满足|,|APPBAQQB，求证：点 Q 总在一条动直线上且该动直线恒过定点.22.（12 分）分）已知函数 12eln,xfxx g xxx.(1)讨论 fx的单调性；(2)证明：当0,2x 吋，fxg x.20222023 学年度第二学期期中学情检测高二数学参考答案一、选择题1.B2.D3.D4.C5.C6.B7.B8.A二、多选题9.BD10.ABD11.ABC12.CD三、填空题13.-2014.1615.4.516.23,21四、解答题17.解：(1)1234535x,
16、8 17292442245y，51216170 5 1 02 1875iiixxyy ，5214101410iixx ，所以51521757.510iiiiixxyybxx，1.5aybx，所以1.57.5yx2024 年，即当7x 时，由线性回归方程可得54y，所以估计 2023 年此地新增企业的数量为 54 家 4 分(2)由题意可知，X 的可能取值为 0，1，2，3，因为3337C10C35P X，312437C C121C35P X，21433718235C CP XC，34374335CP XC，8 分所以 X 的分布列为所以112184120123353535357EX 10 分1
17、8.附：22()()()()()n adbcab cd ac bd，nabcd 2Pk0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828X0123P13512351835435解：（1）设零假设为0H：购车种类与性别无关，根据数表可得22100(15 5025 10)505.02475 25 60 409，3 分所以零假设0H是错的，即在犯错误的概率不超过 2.5%的前提下，可以认为购车种类与性别有关.5 分（2）随机抽取 1 辆汽车属于传统燃油汽车的概率为2511004，被抽取的 3 辆汽车中属于传统燃油
18、汽车的辆数为 X，X 的可能值为：0，1，2，3，依题意，1(3,)4XB，030313270C4464P X，121313271C4464P X，21231392C4464P X，30331313C4464P X，10 分所以 X 的分布列为：X 的数学期望13()344E X.12 分19.解：（1）证明：取AE的中点G，连接,GD GF，因为BFEA，且12BFAE，所以/AG BF且AGBF，所以四边形AGFB是平行四边形，所以AGFB，又因为ABCD是菱形，所以ABDC，且ABDC，所以GFDC且GFDC，所以四边形CFGD是平行四边形，CF/DG，4 分又CF 平面,ADE DG
19、平面ADE，所以CF/平面ADE；6 分（2）连接BD交AC于N，取CE中点P/,PN AE EA 平面,ABCDPN平面ABCD，且CNBN，X0123P27642764964164以N为原点，,NC NB NP所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，设在棱EC上存在点M使得平面MBD与平面BCF的夹角余弦值为155，1,0,2,0,3,0,1,0,0,0,3,1,1,0,0,0,3,0EBCFAD则设2,0,2(01),1 2,0,2CMCEM ，所以12,3,2,0,2 3,0,1,3,0,0,0,1DMDBBCFB 设平面DBM的一个法向量为,nx y z，则00n DMn D
20、B 即1 23202 30 xyzy，令0,2,1 2yxz ，得2,0,1 2,n 8 分设平面FBC的一个法向量为,ma b c，则00m BCm FB ，即300abc，取1b，得3,1,0m，10 分222 315cos,52(2)(1 2)m nn mm n ，解得13或1，又01Q，13此时1222,0,0,3333MCM ，点M到平面BCF的距离2 33323CM mdm 12 分20.解：（1）在矩形 ABCD 中，2,1ABBC，E 是 CD 的中点，2AE,2BE,所以222AEBEAB，所以BEAE，在折叠后的图形中，也有BEAE，2 分因为平面PAE 平面 ABCE，平
21、面PAE平面 ABCEAE，BE 平面 ABCE 且BEAE，所以BE 平面PAE，因为PA平面PAE，所以BEPA，4 分因为PAPE，且PEBEE，所以PA 平面PBE.6 分（2）取AE的中点O，AB的中点F，连PO，OF，因为PAPE，所以POAO，因为/OFBE，BEAE，所以OAOF，因为BE 平面PAE，所以BEPO，所以OFPO，所以,PO OA OF两两垂直,以O为原点，,OA OF OP分别为,x y z轴建立空间直角坐标系，如图：则2(,0,0)2A，2(0,0,)2P，(,)2B2 02，3 22(,0)44M，23 2(,0)44BM ，22(,0,)22PA，5 2
22、2(,0)44AM 设平面PAM的法向量(,)nx y z，则220225 22044n PAxzn AMxy ，令1x，得5y，1z，得(1,5,1)n，10 分所以直线 BM 与平面 PAM 所成角的正弦值为：|n BMnBM 215 244218125 11616 8 3045.12 分21.解：（1）设动点(,)C x y，由动点 C 到定点(1,0)F的距离与它到直线:4l x 的距离之比为12.得22(1)1|4|2xyx，2 分化简得22143xy，即点 C 的轨迹方程为22143xy4 分（2）设1122,(,),(4,)A x yB xyQ x y Pt，直线AB的斜率显然存
23、在设为 k，则AB的方程为(4)yk xt.因为 A，P，B，Q 四点共线，不妨设124xxx，由|,|APPBAQQB可得，,APBP AQQB即 112211224,4,x tyx tyxx yyxx yy，所以1212121244,;,xxxxxxtytyyyyy可得121244xxxxxx，化简可得12122(4)80 x xxxxx.（*）8 分联立直线(4)yk xt和椭圆 C 的方程：221434xyyk xt，消去 y 得：222438(4)4(4)120kxk tk xtk，由韦达定理，1228(4)43 k tkxxk，21224(4)1243tkx xk.代入（*）10
24、分化简得22439433 ktttxktkt，即2943txkt又4ytkx代入上式：29434txyttx，化简：330 xty，所以点 Q 总在一条动直线330 xty上，且该直线过定点(1,0)12 分22.解：（1）函数 fx的定义域为0,，111e1elnelnxxxfxxxxx，记 1lnh xxx，则 22111xhxxxx，所以当01x时，0hx，函数 h x单调递减，当1x 时，0h x，函数 h x单调递增，3 分所以 11h xh，所以 11eln0 xfxxx，所以函数 fx在0,上单调递增；6 分（2）原不等式为12eln1xxxxx x，即1ln1exxxx，即证ln1ln1eexxxx在0,2x 上恒成立，7 分设 exxl x，则 2ee1eexxxxxxlx，所以，当1x 时，0lx，l x单调递增；当1x 时，0lx，l x单调递减，所以 11el xl，9 分令 11ln1,1xt xxxtxxx，当01x时，0tx，t x单调递增；当1x 时，0tx，t x单调递减，所以 max()01t xt，所以ln1xx，且在0,2x 上有ln111xx，所以可得到ln1lxl x，即ln1ln1eexxxx，所以在0,2x 时，有 fxg x成立.12 分
